Часы

[Capella]

Sasha2 писал(а):

Для вычисления вероятности это ничего не даст, но это даст для доказательства гипотезы того, что часовая стрелка пребывает ближе к минутной одно и то же время, что и к часовой.

Это не верно! Я-же написала Вам случай, когда секундная стрелка внутри интервала будет дольше ближе к минутной, чем к часовой. Разбeрите этот пример.

[bot]

А-а-а! Оказывается он всё ещё верит, что вероятность всегда будет 1/2, хотя это уже опровергнуто многочисленными простыми примерами. Да он просто не читает того, что написано другими.
Пусть хотя бы рассмотрит такой случай:
Часовая стрелка пусть стоит, а минутная и секундная движутся с одинаковым скоростями в одном направлении, так что произвольно заданный между ними угол сохраняется. Я уже писал, что в этом случае в зависимости от этого угла получим очевидно любую вероятность от 0 до 1.

[Руст]

Он прав в одном, если хотя бы одно из отношений скоростей иррационально, то вероятность равно 1/2. Отклонение от этого именно за счёт рациональности отношения скоростей стрелок.

[Sasha2]

Я не верю (верят попы и необразванные люди), а я просто показал, что эта вероятность равна 1/2. А Вы, уважаемый bot, если меняете условия задачи, то можете, конечно получить и другой ответ.

[Sasha2]

Далее для уважаемой Capella

Ну Вы тоже внимательно же читайте, что я хочу сказать. Вы берете только один сектор и в нем рассматриваете длительности, а надо брать два один исходный, а другой симметричный (тот, который указан мной выше) и считать времена для обоих этих секторов.
В одном из них секундная будет больше времени к часовой, а в другом больше времени к минутной, но общие эти времена совпадут.

[Capella]

Sasha2 писал(а):

Далее для уважаемой Capella

Ну Вы тоже внимательно же читайте, что я хочу сказать. Вы берете только один сектор и в нем рассматриваете длительности, а надо брать два один исходный, а другой симметричный (тот, который указан мной выше) и считать времена для обоих этих секторов.
В одном из них секундная будет больше времени к часовой, а в другом больше времени к минутной, но общие эти времена совпадут.

Уважаемый Sasha2, а что измениться в постановке задачи в том примере, который привела я, если взять ещё и симметричный сектор со стрелками в виде диаметров? У Вас секундная в симметричном будет бежать от 6 часов до 10, точно так-же догоняемая минутной.
Насчёт постановки задач, вообще никто ничего не менял, Вам приводят просто примеры, которые Вас просят по меньшей мере просто прочитать

[Sasha2]

Нет изменит: в одном секторе секундная убегает от минутной и догоняет часовую, а в другом - убегает от часовой и догоняет минутную. Вот в чем разница.

[Sasha2]

Да вариант со стрелками в виде диаметров не проходит. Я просто изначально по невнимательности предложил его, а первый самый вариант проходит.

[bot]

Руст писал(а):

Он прав в одном, если хотя бы одно из отношений скоростей иррационально, то вероятность равно 1/2. Отклонение от этого именно за счёт рациональности отношения скоростей стрелок.

Не совсем так. Пусть $ 0 \le v_1 \le v_2$ и $v,v+v_1, v+v_2 $ - скорости часовой, минутной и секундной стрелок соответственно. Очевидно от v ничего не зависит и мы можем перейти в систему отчёта, в которой часовая стрелка неподвижна - она превращается в столб, от которого бегут два спортсмена со скоростями $v_1$ и $v_2 $. Исключая тривиальный случай $v_1=0$ с искомой вероятностью P=0 (ещё раз специально для Sasha2), за счёт выбора единицы времени мы можем считать, что $v_1=1$, а скорость секундной за счёт переобозначения представим в виде:
$v_2 = \frac{1}{2} \cdot (1 + \alpha)$.
Ясно, что все три отношения исходных скоростей могут быть иррациональными и при рациональном $\alpha$.
Под рациональными часами я разумел те, для которых рационально относительное отношение скоростей, то есть рационально$\alpha$.
Для случая $\alpha=\frac{p}{q}$, где p и q взаимно простые нечётные и когда все три стрелки в один момент стартуют с одного места через лемму о лишней единице получаем, что искомая вероятность равна $\frac{1}{2} (1+\frac{1}{pq})$.
Если же pq чётно, то тут и так ясно, что плюсы и минусы взаимно нокаутируются и получается P=1/2.
Опять для Sasha2 крайний случай (уже говорил): p=q, то есть слиплись секундная и минутная. Искомая вероятность очевидно равна 1.
Если не нравятся такие крайние случаи, можно посмотреть такой: $\alpha=3$,
иначе говоря, скорости стрелок 0, 1, 2 или опять если не нравится стоящая стрелка, то 1, 2, 3.
В этом случае искомая вероятность равна 2/3 - это легко проверить непосредственно.
Попутно отмечу вариант остановки минутной стрелки, вместо чаовой - он ничем не хуже в рассмотрении. Тогда для 0, 1, 2 получим -1, 0, 1, то есть секундная и часовая бегут навстречу друг другу с равными скоростями.
Теперь будем портить часы - сдвигать секундную, в момент совпадения часовой и минутной. Если мысленно повернуть секундную стрелку на 180 градусов, то очевидно событие ближе-дальше изменит смысл на противоположный, то есть в этом случае возможно и P < 1/2.
Для случая иррациональных часов в предположении, что эта задача корректна, 1/2 получается легко. В этом случае очевидно нельзя полагать, что есть момент совпадения всех трёх стрелок, а тогда все положения равноправны. Сдвигаем секундную в любой момент на 180 градусов и в сумме с исходным положением получаем вероятность 1 на любом конечном промежутке времени.
Как убедиться в корректности? Что-то меня не убеждают соображения, что множество положений секундной стрелки в целые моменты времени будет всюду плотно на окружности и даже непрерывная зависимость вероятности от смещения на любом конечном промежутке времени. Сколь угодно близкое к диаметрально противоположному положению стрелки конечно будет, но точного не будет никогда. Надо считать. Видимо так:
Для часов со скоростями $0, 1, \beta$ следует рассмотреть интервалы времени (n, n+1). Если смещение $S_0$ секундной стрелки задать в момент t=0, то и в момент t=n они легко определяются: $S_n = S_0 + \beta n - [S_0 + \beta n]$
Теперь надо сосчитать искомую вероятность $P_n (S_n)$ для интервала (n, n+1) и перейти к пределу в сумме
$\frac {1}{n}(P_0 + P_1 + P_2 + ... + P_{n-1})$.
Если этот предел существует и не зависит от смещения $S_0$, то это и будет означать корректность. Собственно если его сосчитать и если он не зависит от смещения, то конечно же получится 1/2.
Вообще говоря, надо бы двойной предел - не только в будущее брать, но и в прошлое, но уже из этого понятно будет, если пройдёт.

[bot]

А сумму не надо, да и неподвижной лучше считать биссектрису между часовой и минутной. Тогда разница между вероятностями (= удвоенная добавка к 1/2) получается такая, в фигурных скобках дробная часть:

$$\lim \frac{1}{n} \int\limits_0^n sgn (\frac{1}{2} - \{S+\beta t \})dt$$

Заменой отсюда получим:

$$\lim \frac{1}{\beta n} \int\limits_S^{S+\beta n} sgn (\frac{1}{2} - \{x\})dx$$

.

Пределы интегрирования теперь можно заменить на целые части от них (так как переход к пределу уничтожит погрешность), а на целом промежутке интеграл очевидно равен 0.

Уф - всё-таки 1/2 для иррациональных часов.

[Sasha2]

Вы знаете уважаемый bot, ну может быть, что то и есть в Ваших рассуждениях. Я просто не такой образованный и мне они непонятны. Но я все же предлагаю рассмотреть то, что понятно и шккольникам. А именно:
1) для случая, когда секундная расположена между часовой и минутной предлагается рассмотреть симметрию относительно прямой перпендикулярной секундной стрелке.
2) Для обратного (когда секундная расположена вне сектора, образуемого минутной и часовой по кратчайше дуге их соединяющей) рассмотреть положение, когда минутная идет вдоль минутной, а часовая вдоль часовой (вертикальные углы).

[bot]

bot писал(а):

А сумму не надо...,

Вот так прокосячил!
Собирая сумму в один интеграл, упустил из виду, что слагаемые надо брать с чередованием знаков.
Обнаружил косяк просто потому, слишком всё просто и вообще ни от чего не зависит - ни от смещения, ни от скоростей. Правильно надо так:

$$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \int\limits_0^n sgn (\frac{1}{2} - \{ \frac{t}{2} \}) sgn (\frac{1}{2} - \{S+\beta t \})dt$$

А заменой отсюда ничего хорошего не получишь. Что ли в ряд Фурье попробовать разложить?

Цитата:

Уф - всё-таки 1/2 для иррациональных часов.

Нет, до уф ещё далековато.

Sasha2 писал(а):

Но я все же предлагаю рассмотреть то, что понятно и школьникам. А именно:
1) для случая, когда секундная расположена между часовой и минутной предлагается рассмотреть симметрию относительно прямой перпендикулярной секундной стрелке.

А какая разница как считать знак события - непосредственно или через перпендикуляр? Главное, что Вы упускаете - это то, что и я вот упустил во вчерашнем посте: смена знака в событии ближе-дальше происходит не только в момент прохода секундной стрелки через биссектрису (неважно острого угла или тупого) между минутной и часовой, но и в моменты когда минутная обгоняет часовую. Вот это можно понять школьнику. Эти два фактора налагаются друг на друга и получаются интервалы времени, отмеченные знаками + и -, для рациональных часов это поддаётся счёту в силу периодичности. Без учёта этих факторов начинать считать бессмысленно.

[Sasha2]

Это понятно, но какое отношение это имеет к счету.
Давайте постепенно начнем разбираться.
Я просто предлагаю все моменты времени (или все положения стрелок, если хотите) разбить на два одни это те, когда секундная между час и мин (т.е. находится на кратчайшей дуге их соединяющей), и все остальные.
Так вот рассмотрим сперва второй класс положений стрелок и каждому из них поставим в соответствие то, при котором часовая идет вдоль часовой, а минутная вдоль минутной. Положение секунной то же самое. Ну понятно, что если в первом случае часовая будет ближе, то во втором она будет дальше и наоборот. Т.е. для всех моментов времени (или для всех положений стрелок), когда секундная вне кратчайшей дуги, образуемой минутной и часовой, множество всех событий, состоящих в том, что секундная ближе к минутной, равномощно множеству всех событий, состоящих в том, что секундная ближе к часовой.
Отсюда кстати следует, что время, в течение которого сек. ближе к мин. равно времени, когда наоборот даже и для множества времен, когда секундная находится вне кратчайшей дуги, соединяющей минутную и часовую.
Если это понятно, то будем дальше разбирать.

[bot]

Sasha2 писал(а):

Это понятно, но какое отношение это имеет к счету.

Именно это и имеет отношение к счёту. Поймите же, наконец, что не имеет никакого значения, где секундная стрелка, внутри острого или тупого угла между минутной и секундной. Важно другое:
когда происходит переключение с ближе на дальше. Таких моментов имеется два типа:
1) моменты прохода секундной через биссектрису (острого или тупого, неважно) угла между минутной и часовой
2) моменты совпадения минутной и часовой
Эти моменты повторяются периодически с разными периодами. Нарисуйте для каждого из типов ось, разбейте её через соответствующий период и, начав с плюса, припишите полученным интервалам знаки плюс и минус, чередуя их. Наложение этих двух осей по правилу умножения знаков даст нам новое разбиение оси на интервалы, знаки в точках которой и будут указывать ближе она к минутной или к часовой. Для рациональных часов найдётся общий период. Остаётся сосчитать алгебраическую (то есть с учётом знака) сумму длин всех интервалов этого периода. Отношение этой суммы к периоду даст разницу между вероятностями быть ближе и быть дальше.

Корректность иррациональных часов. Имхо, это надо делать так.
Рассмотрим часы с начальным смещение S и скоростями $-\frac{1}{2} , \frac{1}{2} , \beta $. На интервале конечной длины L мы можем посчитать их алгебраическую сумму длин и, отнеся его к L, получим разницу между вероятностями - обозначим её $I(S,\beta)$ - это и есть интеграл, который был написан выше. Требуется показать, что предел этого отношения при неограниченном увеличении промежутка равен 0.
Фиксируем пока промежуток. Досточно понятно, как доказывать, что:
1) $I(S,\beta)$ непрерывно зависит от $\beta$
2) Колебание функции $L\cdot I(S,\beta)$ относительно переменной S ограничено.
Теперь приближаем $2\beta$ рациональным числом $\frac{p}{q}$ и рассмотрим $I(S,\frac{p}{q})$. С точностью до "хвоста", возникающего из-за того, что L не кратно периоду рациональных часов будем иметь, что либо $I(S,\frac{p}{q})=0$, либо $I(S,\frac{p}{q})=\frac{1}{pq}$. Если рациональное приближение улучшать, то знаменатель q будет неограниченно увеличиваться и в силу 2) получим ...
а нифига не получим, скорее это похоже на наоборот:
с точностью до "хвоста" мы получим в пределе 0, но весь интервал зато превратится в этот самый хвост!
М-дась, начинал в полной уверенности, что получу 1/2, а пришёл (???) к некорректности. Стирать жаль - оставляю.
Как ни крути, а перестановку пределов по $2\beta$ и по L на халяву не обоснуешь.

[Руст]

Иррациональными часами можно назвать такие, у которого в системе отсчёта, где одна из стрелок стоит, отношение стрелок двух других иррационально. Тут начальное смещение не имеет никакой роли и вероятность всегда равно 1/2 (за бесконечно большое время наблюдений).
Я поряжаюсь терпением bota в объяснении простого эффекта отличия вероятности от 1/2 для рациональных (не всех) чисел. У меня в таких случаях терпения не хватает.