Не решена.
Лаконичный ответ

, "Краткость, сестра таланта".
Не решена -- логическая ошибка: пропорциональность частных производных следовала бы из определённости направления градиента, но ведь именно эта определённость фактически и подлежит доказательству.
Ээ, не могу понять суть, но попробую; всё-таки ваши рассуждения более понятны
-- уже некоторый перебор. Надо:
Как я понял, здесь вы рассуждаете так: рассмотрим

--- решение ДУ, предположим, что между переменными

,

есть связь:

, тогда

. Далее рассмотрим

и дальше дифференцируем сложную функцию.
Если 
, то

, с учётом условия отсуда следует, что

. С этим согласен, но откуда следует, что других решений нет, т.е. другие зависимости

не являются решением.
Хотя, если честно, не понимаю, причём здесь

и данное ДУ.
Может решение с помощью новых переменных громоздко, но оно более понятно (по крайней мере мне):
==================================================
Докажем, что других решений нет. Пусть

,

, тогда

Подставляем в исходное:

Заменяем

,

,

значит

, таким образом

--- не зависит от

. Получаем

Любая

--- решение исходного уравнения представимо в виде

, что и требовалось доказать.
==================================================
Спасибо за участие.