Линейное дифференциальное уравнение в частных производных

[TOTAL]

_v_l в сообщении #250324 писал(а):

Доказываем. Сделано.

Что сделано? Где Вы доказали, что решение обязано быть постоянным на прямых $x-y=const$?
Т.е. где Вы доказали, что $f_x+f_y=0$?

[ewert]

_v_l в сообщении #250324 писал(а):

В данном случае от $x-y$.

Доказываем. Сделано.

Как именно сделано?...

Тупо, конечно, можно доказать: если функция постоянна на каждой линии $x-y=\mathrm{const}$, то это -- решение.

А обратно?...
Уравнение-то у Вас второго порядка, и условие на полную первую производную из него не вытянешь.

[_v_l]

TOTAL в сообщении #250331 писал(а):

Что сделано? Где Вы доказали, что решение обязано быть постоянным на прямых $x-y=\mathrm{const}$?

Вы правы, нигде .

TOTAL писал(а):

Т.е. где Вы доказали, что $f_x+f_y=0$?

Там же

Пример был придуман, чтобы понять как рассуждали другие участники форума над первой задачей, а дальше разобраться с тем "бардаком", что творится "у мене на чердаке" .

ewert в сообщении #250332 писал(а):

Как именно сделано?...

Тупо, конечно, можно доказать: если функция постоянна на каждой линии $x-y=\mathrm{const}$, то это -- решение.

А обратно?...

Никак, я не доказывал ни прямое ни обратное, я хотел подтолкнуть вас к примеру с абсурдными рассуждениями и из комментариев понять ход ваших мыслей.

ewert писал(а):

Уравнение-то у Вас второго порядка, и условие на полную первую производную из него не вытянешь.

Полагаю здесь ключевые слова второго порядка, первая производная.

Если честно, я рассуждал над вашим решением так: уравнение первого порядка, значит имеет "одно" решение. Доказываем, что на $y=kx$ функция постоянна, отсюда заключаем что это единственное решение.

Однако ваше "полную первую производную" заставило меня усомниться в моих рассуждениях.

По поводу приведённого примера: решается двумя способами: заменой переменной и методом Фурье (разделения переменных).

Это волновое уравнение. Я его не с потолка взял.

P.S. Кажется я понял ход ваших рассуждений.
P.P.S. Проще прощения у собеседников за столь глупый и беспардонный эксперимент.

Большое спасибо за участие. (Надо же как-то повышать свой уровень

[TOTAL]

_v_l в сообщении #250369 писал(а):

Доказываем, что на $y=kx$ функция постоянна, отсюда заключаем что это единственное решение.

Неверно. Решений много. Но любое решение постоянно на линиях $y/x=const$

[_v_l]

TOTAL в сообщении #250373 писал(а):

Неверно. Решений много. Но любое решение постоянно на линиях $y/x=\mathrm{const}$

Вопрос что понимать под решением, поэтому не буду спорить.

Говоря что решение единственное, я понимая под этим то, что уравнение приводит только к одной зависимости между переменными $x$, $y$.

Функций может быть много, но одно у них общее: как они зависят от переменных $x$ и $y$.