Я ничего не упустил?
Думаю нет
Может решение с помощью новых переменных громоздко
По сути --- то же самое, но ваш подход короче и более понятен: логарифмы появляются сами и вполне "естественно".
Правда, вы опустили кое-какие детали, но дописать "лишние" формулы проще простого.
Ведь достаточно в одну строку доказать постоянство решения на прямых

А что такое "единственность"?... Теорема (в обратную сторону) формулируется однозначно: если решение, то зависит только от отношения. Ну так это и доказано. И пусть тот студент не смог доказать этого корректно, однако же заслуживает уважения хотя бы за то, что он достаточно чётко осознал, что именно нуждается в доказательстве.
Здесь --- не теорема, но это детали.
Похоже, что я непонимаю, что вы имеете здесь в виду под "единственностью".
Прошу прощения у почтенной публики, но я вынужден на время оставить вас: нужно обдумать сказанное
ewert и
TOTAL. Не доходит

, видимо тугодум.
---
WBW, Vladimir