Иррациональные числа и их свойства

[ljubarcev]

Что можно сказать по поводу "Утверждение 3:Любое целое число можно представить в виде суммы двух кубических иррациональностей.
Способ такого представления дается приведенным ниже тождеством.

$$a=\frac{1}{2}\sqrt[3]{a^3+3acb^2+(3ba^2+cb^3)\sqrt c} +\frac{1}{2}\sqrt[3]{a^3+3acb^2-(3ba^2+cb^3)\sqrt c}$$. Это из темы "Трудная задача", но там все молчат.
Дед.

[bot]

Дык, вроде бы там же и ответили. Корней кубических у нас три. Итого для Вашей суммы имеем 9 возможностей.
Стало быть можно лишь говорить о тождестве в том смысле, что если оно имеет место быть, то лишь для определённого выбора
корней и не факт, что именно для арифметических.

нг в той теме писал(а):

Разбивайте, пожалуйста, длинные цепочки формул. И посмотрите, как изменено это и предыдущее сообщение.

А и в самом деле, почему бы Вам не прислушаться к совету модератора? Может быть кому и пофиг,
а мне неприятно читать такую раздолбаную Вашими постами страницу. Бегаешь как тот заяц из очень
старого анекдота, который на жирафе женился. А если и захочешь сам написать, то приходится
принудительно на ентер жать и несколько раз редактировать, проверяя что пост не вылез за рамки.

[Dan_Te]

ljubarcev
Если вы завели для какой-то задачи отдельную тему, и все равно пытаетесь обсуждать ее здесь, то не стоит этого делать.

[Pointer]

Цитата:

Иррациональное число, математ., соответствует величине, которая не может быть выражена ни целым числом, ни арифмет. дробью и представляется бесконечной и периодической дробью.

(Брокгауз)

Является ли $\pi$ иррациональным числом, если последовательность символов в его записи случайна?
Мне здесь видится одно противоречие:
Если цифры, составляющие число $\pi$, подчиняются закону равномерного распределения, то это, как минимум не запрещает конечности цифровой записи числа $\pi$. Например, есть ненулевая (хотя и стремящаяся к нулю) вероятность того, что, начиная с некоего n-го знака, все последующие знаки будут "ноль" (либо периодически повторят последовательность с 1-го до (n-1)-го).
Стало быть, само определение иррациональности числа подразумевает вероятность собственной ошибочности. Или:
Если число иррациональное, то оно может оказаться рациональным.

Таким образом, иррациональность числа не выражается через вероятность появления символов его записи, а осторожное определение Брокгауза и Ефрона не даёт основания хотя бы какому-нибудь реально представимому числу присвоить звание иррационального.

PS.
e=2.7 1828 1828 ...
1828 - год рождения Льва Толстого. Дело нечистое, нутром чую. Не иначе, масонский заговор.
%]

[незваный гость]

У Брокгауза -- ошибка. Должно быть непериодической дробью.

[Pointer]

2 незванный гость.
Точно! А я проглядел...
Разумеется, в моём предыдущем посте, в цитируемом определении подразумевалось слово "непериодической".

[juna]

Интереснее найти подход к ответу на вопрос: является ли число $\pi$ слабо нормальным - т.е. все цифры встречаются одинаково часто, нормальным - любая конечная последовательность встречается одинаково часто. В математике не выработано никаких подходов в этом направлении.
Интересно также - любая ли произвольная конечная последовательность цифр встретится в числе $\pi$ - скорее всего здесь есть ограничения.

[juna]

Тут на сайте http://www.worldwideschool.org/library/ ... hap35.html
представлено 170000 цифр постоянной Эйлера.
Интересно, что пятерка на любом из проверяемых мною достаточно длинных отрезков встречается чаще. Вот статистика для 170000 цифр:
0 - 16945
1 - 16970
2 - 16873
3 - 16991
4 - 16848
5 - 17257
6 - 17088
7 - 16910
8 - 17017
9 - 17101

[Борис Лейкин]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Интересно также - любая ли произвольная конечная последовательность цифр встретится в числе $\pi$ - скорее всего здесь есть ограничения.

А если применить код, любая ли произвольная последовательность букв встретится?
Например, стихи Пушкина, или "Война и мир" Толстого.
В числе $\pi$ может быть содержится вся информация обо всём на свете, и даже
информация о будущих событиях .

http://pisearch.lbl.gov/ - Поиск строки в первых 4 миллиардах цифр $\pi$
Я попробовал "shit" - нашлось:

Цитата:

search string = "shit"
20-bit binary equivalent = 10011010000100110100

search string found at binary index = 867325268
binary pi : 0000010010011010000100110100000000001001110110001010001001100110
binary string: 10011010000100110100
character pi : f:wzw_pcmw-vkmpdshit_bnxtisdwtezahmna
character string: shit

вот ещё - "moscow":

Цитата:

search string = "moscow"
30-bit binary equivalent = 011010111110011000110111110111

search string found at binary index = 4489880
binary pi : 0000000001101011111001100011011111011101010111010010100001100101
binary string: 011010111110011000110111110111
character pi : z-;nt;bohmwwun:x_moscow.ear:clslofd--
character string: moscow

"leykin"

Цитата:

search string = "leykin"
30-bit binary equivalent = 011000010111001010110100101110

search string found at binary index = 1037860905
binary pi : 1000100001100001011100101011010010111000111101011100110000000111
binary string: 011000010111001010110100101110
character pi : vyqrgqr-.,bqdhleykinguypcziu-qfcjqntfm
character string: leykin

[shwedka]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Интересно, что пятерка на любом из проверяемых мною достаточно длинных отрезков

А какой смысл вы придаете здесь слову 'достаточно'???

[juna]

Борис Лейкин: не любая последовательность цифр может встретиться в числе $\pi$, соответственно выпадает бесконечный кусок метафизическо-мистических знаний, да и код хитрее кода да Винчи
shwedka: в пределах 170000 разумная достаточность - больше 10000. Конечно, должен сознаться, что серьезного эксперимента не было, но несколько попыток - штук 5 было.

[shwedka]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

shwedka: в пределах 170000 разумная достаточность - больше 10000. Конечно, должен сознаться, что серьезного эксперимента не было, но несколько попыток - штук 5 было.

А почему достаточно??? И для чего??

[Руст]

Определим число x=0,123...k(k+1)... Т.е. после запятой идут все числа подряд после 9000000 идёт 9000001 и т.д. Легко доказать что это число иррациональное и все цифры встречаются одинаково часто. К тому же, если расшифровать как код, то это число содержит как тут выражались все знания (так как содержит любую подпоследовательность цифр конечной длины). Тем не менее это число никому не интересно. Поэтому я не понимаю здешний ажиотаж о цифрах числа пи.

[Someone]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Вот статистика для 170000 цифр:
...

Странно, но мои подсчёты с помощью программы Mathematica 4.1 дают другие числа (DigitCount[Floor[N[EulerGamma*10^N,N]]]):

N     170     1700     1870     17000     18870     170000     188870
0      19      186      205      1705      1901      17005      18845
1      10      169      191      1703      1875      16954      18881
2      18      167      183      1664      1847      16639      18505
3      19      161      172      1658      1835      17055      18920
4      23      169      185      1693      1872      16801      18626
5      14      168      183      1659      1867      17323      19268
6      20      154      170      1698      1868      17110      19040
7      18      193      210      1712      1915      16905      18855
8      12      156      173      1765      1948      17061      18897
9      17      177      198      1743      1942      17147      19033

Может быть, кто-нибудь попробует применить статистические критерии к этим данным с целью проверки равномерности?

Вот первые 200 цифр (без "0,"):
577215664901532860606512090082402431042159335939923598805767234884867726777664\
670936947063291746749514631447249807082480960504014486542836224173997644923536\
25350033374293733773767394279259525824709491

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Борис Лейкин: не любая последовательность цифр может встретиться в числе $\pi$, соответственно выпадает бесконечный кусок ...

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Интересно также - любая ли произвольная конечная последовательность цифр встретится в числе $\pi$ - скорее всего здесь есть ограничения.

Почему "скорее всего" не любая конечная последовательность цифр может встретиться в числе $\pi$? Или это просто ни на чём не основанная гипотеза?

[juna]

Someone писал(а):

Почему "скорее всего" не любая конечная последовательность цифр может встретиться в числе $\pi$? Или это просто ни на чём не основанная гипотеза?

Вначале это была просто гипотеза, а затем прочитал в книжке http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books ... ook.18.pdf
Вот цитата:

Цитата:

Рассмотрим любые m цифр числа $\pi$, идущие подряд, начиная с самого начала: 314… Австралийский математик Альф ван дер Поортен доказал, что сразу же за этими m цифрами в десятичном разложении числа $\pi$ не может идти набор из 7m девяток: за первой цифрой 3 не идёт 7 девяток; за цифрами 31 не идут 14 девяток и т. д.
Г. А. Гальперин выдвигает гипотезу, что сразу же за m первыми цифрами числа $\pi$ не может идти набор из m девяток. Эта гипотеза верна по крайней мере для тех цифр числа $\pi$, которые в настоящее время вычислены с помощью компьютеров. Верна ли эта гипотеза в общем случае, неизвестно.

Someone писал(а):

Странно, но мои подсчёты с помощью программы Mathematica 4.1 дают другие числа (DigitCount[Floor[N[EulerGamma*10^N,N]]]):

Вы будете смеяться, но указанную статистику я получил в тривиальном MSWord. Сами можете проверить. Кто врет - Mathematica 4.1, http://www.worldwideschool.org/library/ ... hap35.html , MSWord - не знаю. Однако, Ваши расчеты подтверждают указанную тенденцию.

shwedka писал(а):

А почему достаточно??? И для чего??

Конечно, никто не гарантирует, что на миллиарде цифр тенденция сохранится, статистика эта ничего не доказывает и Ваши козыри бесспорны.

Руст писал(а):

...я не понимаю здешний ажиотаж о цифрах числа пи.

Лично меня в этом вопросе интересует лишь связь с трансцендентностью - есть она или нет.
Раскладывая эти постоянные в ряд через дзета функции имеем:
$\pi=\frac{\zeta(2)}{2}+\frac{\zeta(3)}{2}+\frac{13\zeta(4)}{32}+\frac{10\zeta(5)}{32}+\frac{121\zeta(6)}{512}+\frac{91\zeta(7)}{512}+...$
Для постоянной Эйлера здесь - http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=12711&highlight=#12711
Что такого особенного в коэффициентах при дзета функции, чтобы быть им трансцендентными.