Великая теорема Ферма. Классическое доказательство

[venco]

"А есть вы тоже за меня будете?"

[victor_sorokin]

venco в сообщении #241821 писал(а):

"А есть вы тоже за меня будете?"

"Стол для Вас будет накрыт в Москве (без меня) и у меня дома. Приятного аппетита!"

-- Чт сен 10, 2009 13:15:12 --

Задача упрощается: будет доказываться бесконечность только числа
$v=[(c-b)^n-a^n]-[(c-a)^n-b^n]$ (оно имеет на конце бесконечное число нулей).

[victor_sorokin]

Элементарное доказательство ВТФ

Общеизвестные положения

Допустим (после устранения общих делителей в числах $A, B, C$, где для определенности $AB$ не кратно простому $n>2$),
1°) $A^n+B^n=C^n$, где число
2°) $A+B-C=U=U'n^k$ и $U'$ не кратно $n$.
Кроме того, из 2° имеем:
3°) $A+B=C+U, C-B=A-U, C-A=B-U$.

Не исключено, что нам понадобятся и соотношения:
4°) $A+B=c^n$ (или $c^*^nn^{n-1}$), $C-B=a^n, C-A=b^n$ (для числа, кратного $n$, соотношение не выписывается) с их
5°) $a+b-c=u=u'n^t$.
6°) Числа $A^{n-1}, B^{n-1}, C^{n-1}$, не кратные $n$, в базе $n$ оканчиваются на 01.


Доказательство Великой теоремы Ферма

Число $V=[(C-A)^n-B^n)]-(C-B)^n-A^n]$, или (см. 3°)

7°) $V=[(B-U)^n-B^n)]-[(A-U)^n-A^n]=n(A^{n-1}-B^{n-1})n^k+… $ делится как минимум на $n^{k+2}$, поскольку число $A^{n-1}-B^{n-1}$ делится, согласно малой теореме Ферма, на $n$.

В этом месте мы сделаем небольшую остановку, поскольку возможны несколько продолжений.

[shwedka]

А сначала подумать, а потом написать -- борода мешает.

[victor_sorokin]

Элементарное доказательство ВТФ

Продолжение 1-е – для $ABC$ не кратном $n$. (Ошибочное)

Из $V \equiv 0 \pmod{n^{k+2}}$, расписанного с использованием формулы бинома Ньютона, следует, что
8°) $A^{n-1} \equiv B^{n-1} \pmod{n^{k+1}}$ (одно $n$ забрал коэффициент бинома Ньютона).
Аналогично из равенств 7° для пары $C, A$ имеем:
9°) $A^{n-1} \equiv C^{n-1} \pmod{n^{k+1}}$.
И теперь из равенства 1° находим, что
10°) $A+B-C \equiv 0 \pmod{n^{k+1}}$, что противоречит 2°.

При беглом просмотре случай с $ABC$ кратным $n$, доказывается точно так же. Этот случай можно доказать и с помощью специального $U=A+B$ (если $C$ кратно $n$).

[shwedka]

victor_sorokin в сообщении #242137 писал(а):

делится как минимум на $n^{k+2}$.

Обманываете!!! Доказательства, как обычно, показать не можете. В лучщем случае, опять МТФ будете клясться.
Никогда в жизни ничего небанального не доказали. Борода мешает!!!

[victor_sorokin]

Состояние дел на текущий момент

1. Просмотр отшибки в первой попытке продолжения доказательства оказался весьма полезным – он показал, что в сопоставлении 10 упущено еще $k$ нулей, крайне необходимых для последней идеи завершения доказательства ВТФ, т.е. правильно будет так:
10°) $A+B-C \equiv 0 \pmod{n^{k^2+1}}$

2. Если эта идея окажется реализуемой, то найденное доказательство ВТФ будет отвечать на все вопросы, за исключением одного: «А причем тут Арифметика Диофанта?».

3. Переориентация на эту идею делает ненужным использование заглавных букв, а соотношения 4-5 оказываются излишними (вместо них понадобятся другие).

4. Формула искомого противоречия теперь выглядит так:
В последовательности равенств $c^t-a^t-b^t=u_t$ нулевые окончания чисел $v_t$ при достаточно большом $t$ превышают сами числа $u_t$.

5. Формула для $u_t$ незначительно меняется.

Так что самое интересное еще впереди…

[shwedka]

victor_sorokin в сообщении #242456 писал(а):

делает ненужным использование заглавных букв

полностью заменяются бритвой. Привет бороде.

[victor_sorokin]

shwedka в сообщении #242467 писал(а):

Привет бороде.

Привет усам!

-- Пт сен 11, 2009 20:35:45 --

Объяснение противоречия

При переходе к следующей степени ее показатель увеличивается в $n$ раз; приблительно так же возрастает и $u$ (здесь все числа обозначены малыми буквами), особенно с учетом того, что при достаточно больших степенях $u$ приблительно равно $c^n$. А вот число $v$ растет в степени $n-1$; разница вроде бы небольшая, но благодаря ей рост нулей в последовательности $v$ ОПЕРЕЖАЕТ относительный рост значения $u$. И рано или поздно произведение всех $n$ в $v$ будет превышать сами числа $v$.

Пока остается только один не совсем ясный вопрос: как формируются третьи степени в числах $u$?

Однако спешить некуда…

P.S. Считаю важным излагать суть идеи ДО больших вычислений - это всем экономит время.

-- Пт сен 11, 2009 21:10:58 --

========
Вопрос снимается, если числа $v$ считать характеристиками ("адьютантами") чисел $u$, состоящих из трех слагаемых.

[victor_sorokin]

victor_sorokin в сообщении #242456 писал(а):

Состояние дел на текущий момент
4. Формула искомого противоречия теперь выглядит так:
В последовательности равенств $c^t-a^t-b^t=u_t$ нулевые окончания чисел $v_t$ при достаточно большом $t$ превышают сами числа $u_t$.

Последняя точка: вместо "нулевые окончания чисел" должно быть:
"нулевые окончания чисел в базе 2", т.е. противоречие обнаруживается не по сомножителю $n$ числа $u$, а по сомножителю 2.

[shwedka]

victor_sorokin в сообщении #242561 писал(а):

Последняя точка:

Зафиксировано!! Обещали! Больше точек рисовать нельзя!

victor_sorokin в сообщении #242561 писал(а):

"нулевые окончания чисел в базе 2"

А Вы попробуйте в базе полтора. Еще проще получится!

[victor_sorokin]

victor_sorokin в сообщении #242561 писал(а):

Последняя точка: вместо "нулевые окончания чисел" должно быть:
"нулевые окончания чисел в базе 2", т.е. противоречие обнаруживается не по сомножителю $n$ числа $u$, а по сомножителю 2.

Интересна и идея использовать простой сомножитель $pn+1$ числа $u$ вместо $n$ при формировании чисел $u_t$.
После чего в равенстве $A^n+B^n=C^n$ имеем $A+B-C=abcn^k$. (Тоже "хлеб"!)

[KORIOLA]

Уважаемые господа,
я компьютерщик начинающий, хотя математик старый.
Подскажите, пожалуйста, как в сообщении впечатывать в математических формулах корни и двухэтажные дроби.
С остальным я справляюсь с помощью math .
KORIOLA

[ewert]

KORIOLA в сообщении #242587 писал(а):

как в сообщении впечатывать в математических формулах корни и двухэтажные дроби.

$\sqrt[3]{x+y} \cdot \frac{5}{x^2+1} - \frac{1}{1+\frac{1}{1+y}}$

$\sqrt[3]{x+y} \cdot \frac{5}{x^2+1} - \frac{1}{1+\frac{1}{1+y}}$

Баксы обязательны.

[KORIOLA]

Уважаемый ewert!
Спасибо за разъяснения!
KORIOLA

-- Сб сен 12, 2009 17:12:42 --

Уважаемый ewert!
Извините за навязчивость, но, как я понял, sgrt, cdot, frac - это не набираемые с помощью букв на клавиатуре сочетания, а какие-то команды. Но где они на панели инструментов? Я пытался использовать Math Tipe, но ничего не получается. Какие кнопки надо последовательно нажать, после чего набирать формулу? Если моя просьба Вас затрудняет, можете не отвечать.
KORIOLA