Уравнение в целых числах (x^2+y^2+z^2=p^2)

[SALEH]

Привет. Подскажите пожалуйста как решить данное уравнение в целых числах
$X^2+Y^2+Z^2=P^2$
решается ли оно? как называются уравнении такого вида?
Заранее благодарю!

[Trotil]

$z=0$ - получаем Пифагоровы тройки

[SALEH]

Больщое спасибо! Про пифагоровы тройки не знал.
Я забыл написать условие P не равно 0. Извените.

-- Чт сен 10, 2009 17:37:20 --

Z не равно 0
Y не равно 0
X не равно 0

[venco]

Одно множество решений - вложеные пифагоровы тройки.
Например:
1) $3^2+4^2=5^2$
2) $5^2+12^2=13^2$
следовательно:
$3^2+4^2+12^2=13^2$

[gris]

Теорема Лагранжа утверждает, что все натуральные числа представимы в виде суммы четырех квадратов. Числа, представимые в виде суммы трех квадратов описал Гаусс в 1801 году.

[Батороев]

SALEH
Можно переписать:
$x^2+y^2 = p^2 - y^2$
и рассмотреть обе части уравнения по отдельности.
$ x^2+y^2 = m$ - о таких числах написано немало.
$ p^2-z^2$= n - о таких числах также информация имеется.
Сопоставьте собранные факты с учетом $ m=n$.

[Sonic86]

gris писал(а):

Числа, представимые в виде суммы трех квадратов описал Гаусс в 1801 году.

Подскажите, пожалуйста, книжку на эту тему.

[gris]

Sonic86,
Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел.
Есть на eqworld. Пункт 266 "Отступление, содержащее исследование о тройничных формах" и далее. Там даже Теорема Ферма доказывается, правда, не Великая.
Вообще в книге очень много интересного. Я бы ферматикам посоветовал этот труд штудировать в обязательном порядке. Многое, наверное, уже устарело, вернее, есть более понятное и строгое изложение, но я в теории чисел дилетант и современных исследований не знаю.

[Sonic86]

gris писал(а):

Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел.

Спасибо! Я посмотрю. Кажется она еще в КолХозе есть.

-- Пт сен 11, 2009 16:39:01 --

А что за сайт eqworld? www.eqworld.com не очень смахивает на нужное...

[RIP]

Sonic86 в сообщении #242351 писал(а):

А что за сайт eqworld?

http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library.htm
Гугль - друг человека.

[Коровьев]

Это старая задача о целочисленной диагонали параллелепипеда с целочисленными же сторонами.

$(ac - bd)^2 + (ad + bc)^2 + \left( {\frac{{a^2 + b^2 - c^2 - d^2 }}{2}} \right)^2 = \left( {\frac{{a^2 + b^2 + c^2 + d^2 }}{2}} \right)^2 $

Решается она в поле целых комплексных чисел весьма просто.
$ x^2 + y^2 + z^2 = p^2 $
$ x^2 + y^2 = p^2 - z^2 = (p + z)(p - z) $
Пусть x, y - взаимно простые, тогда слева все простые множители имеют вид
$p=4k+1$ и раскладываются на сумму двух квадратов. Справа каждый множитель состоит из произведения таких чисел и тоже раскладывается на сумму двух квадратов, не обязательно единственным образом.
$ p + z = a^2 + b^2 $
$ p - z = c^2 + d^2 $
$(p + z)(p - z)=[(a + ib)(c + id)][(a - ib)(c - id)]=$
$ = [(ac - bd) + i(ad + bc)] [(ac - bd) - i(ad + bc)] =(x + iy)(x + iy)=x^2 + y^2 $
$ x = ac - bd$
$ y = ad + bc $
$ 2p = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 $
$ 2z = a^2 + b^2 - c^2 - d^2 $

[Батороев]

Мне показалось, что вполне можно обойтись и без комплексных чисел.
Алгоритм простой:
1) $x^2+y^2=m$ (1), т.е. выписываем числа, которые могут быть представлены суммой квадратов двух чисел.
2) $m = p^2-z^2$ (2), т.е. рассматриваем представление каждого записанного числа в виде разности квадратов двух чисел.

Т.к. для простых чисел представления (1) и (2) - единственны, то существует "сквозная" ветвь решений для любых целых $x$:
$ x^2+(x+1)^2+[x(x+1)]^2=[x(x+1)+1]^2$.

Другая ветвь образуется при любых сочетаниях чисел разной четности $x$ и $y$:
$ x^2+y^2 + [\frac{x^2+ y^2-1}{2}]^2=[\frac{x^2+ y^2+1}{2}]^2$,

Для составных $m$ будут образовываться и другие соотношения, систематизировать которые, как мне кажется, довольно трудно или вовсе невозможно, т.е. при каждом составном $m$ необходимо конкретно рассматривать все его представления (1), (2) и их сочетания.

[VAL]

Коровьев в сообщении #242365 писал(а):

Решается она в поле целых комплексных чисел весьма просто.

Извиняюсь за занудство. А с каких пор целые числа (хоть бы и гауссовы) стали полем?

[V.V.]

Единственным решением при $p=0$ будет $x=y=z=p=0$, поэтому без зазрения совести можем поделить на $p^2$ и искать решения уравнения $a^2+b^2+c^2=1$ в рациональных числах, где $a=x/p$, $b=y/p$, $c=z/p$.

Выберем на сфере $a^2+b^2+c^2=1$ какую-нибудь рациональную точку. Ну, например, $M(0,0,1)$. Понятно, что любая прямая $MN$, где $N(a,b,c)$ - точка с рациональными координатами, пересекает плоскость $0ab$ в рациональной точке $R(s,t,0)$. Опять же, любая прямая $MR$ пересекат сферу в рациональной точке $N$.
Таким макаром, мы понимаем, что имеется соответствие между рациональными точками на сфере и рациональными точками на плоскости.

Легко видеть, что
$a=\frac{2s}{s^2+t^2+1}$, $b=\frac{2t}{s^2+t^2+1}$, $c=\frac{s^2+t^2-1}{s^2+t^2+1}$.

Вспоминая теперь, что $s$ и $t$ - рациональные числа, положим
$s=\frac{k}{l}$, $t=\frac{m}{n}$.
Приводя к общему знаменателю, получаем
$x=2kln^2r$, $y=2l^2mnr$, $z=(k^2n^2+l^2m^2-l^2n^2)r$, $p=(k^2n^2+l^2m^2+l^2n^2)r$.
(Надеюсь, что я правильно привел к этому самому общему знаменателю.)