Для
уравнение принимает вид
Исключив тривиальный случай
, примем
. Тогда имеем
При
имеем другой тривиальный случай
; иначе же
Очевидно, выражение под корнем отрицательно при
, поэтому нетривиальных решений при
нет.
P.S. Найденные перебором решения:
Код:
Trying n=1:
(1)
Trying n=2:
(12)(22)
Trying n=3:
(123)(333)
Trying n=4:
(1224)(1234)(2244)(4444)
Trying n=5:
(12235)(12345)(55555)(33336)(33346)
Trying n=6:
(111225)(111445)(112455)(114555)(222226)(122346)(122446)(123456)(224466)(144466)(333666)(244666)(666666)(333357)(244557)(345567)(355567)(455667)
Trying n=7:
(1122556)(1222366)(1224666)(1155666)(1236666)(1266666)(1223337)(1223457)(1134457)(2222557)(1145557)(1234567)(2333577)(1355577)(2335677)(1445677)(1556677)(2366677)(7777777)(2333448)(2244448)(3333468)(3333568)(3334668)(2446668)(2666668)(3555778)(4445559)(4555669)(6666669)
Trying n=8:
(11111155)(11111236)(11112256)(11122566)(11114566)(11125666)(11222247)(11125557)(11223567)(12233377)(12224577)(12225577)(22223677)(12334777)(12255777)(22236777)(22257777)(12577777)(22223338)(12224448)(11333458)(11244558)(11245558)(12234468)(12234568)(12244668)(13333578)(22235578)(11455578)(12345678)(13336678)(22344778)(12455778)(22346778)(12566778)(13467778)(22577778)(22677778)(22444488)(13444588)(13445688)(22446688)(13466688)(33335788)(22556788)(14557788)(23467788)(14567788)(15577788)(23677788)(16666888)(33577888)(27777888)(44448888)(26668888)(88888888)(22344459)(33333669)(22444669)(22446669)(33334579)(13555579)(33335679)(23355679)(14466679)(23455779)(33445689)(24466689)(24666789)(25567789)(34777789)(34566889)(36777889)(45558889)(66888889)(44455599)(44455699)(44555799)(35666799)(44667799)(46667899)(55777899)(66778899)(444444610)(255555610)(266666610)(444455710)(345556710)(345566710)(355567710)(366677710)(455667810)(555777810)(666666910)
Trying n=9:
(111112447)(111113557)(111123367)(112222477)(111155677)(111236677)(122223777)(222222228)(122222248)(111233358)(111224458)(222222268)(111256668)(122233378)(112234578)(112246678)(112266678)(122333778)(111666778)(222237778)(222333388)(113334588)(123334788)(122345788)(113356788)(112666788)(123377788)(123444888)(123355888)(223336888)(133347888)(133377888)(123777888)(124468888)(224488888)(228888888)(123333339)(222224449)(113333559)(122235559)(111455559)(123333369)(113334469)(222233569)(112345569)(122334669)(113335669)(222244479)(122344579)(112455579)(122345679)(222246679)(112556679)(122366679)(113456779)(122557779)(222367779)(122567779)(222444489)(133335589)(233333689)(122555689)(222356689)(233334789)(124444789)(114555789)(123456789)(114556789)(123466789)(115557789)(123567789)(116677789)(224444889)(133466889)(224447889)(133557889)(233367889)(124667889)(125777889)(134678889)(144788889)(136788889)(333336699)(124566699)(233445799)(125556799)(223566799)(144447799)(134577799)(333445899)(234457899)(225557899)(135677899)(244478899)(333778899)(333666999)(145666999)(244557999)(155577999)(235677999)(334668999)(245578999)(156678999)(247788999)(345579999)(356799999)(999999999)...
Интересно было бы найти нетривиальное решение, где все
различны.
Кстати, в решениях, найденных перебором, просматривается ещё один общий случай, получаемый из тривиального
заменой числа
на число
. И, действительно,
.