Квадрат суммы чисел равен сумме кубов чисел

[Droog_Andrey]

Есть ли у уравнений

$$\left(\sum_{k=1}^{n}a_k\right)^2=\sum_{k=1}^{n}a_k^3$$

другие решения в целых положительных числах $a_k$, кроме $a_k=k$ и $a_k=n$?

[gris]

$(1+1+2+4+5+5)^2=324=1+1+8+64+125+125$

Или нужно, чтобы для любого $n$ выполнялось?

[Droog_Andrey]

Для любого $n$, очевидно, выполняться не будет. Но за пример спасибо. Я ищу такие $n$, при которых есть решения, отличные от тривиального.

[gris]

Есть ещё одно тривиальное решение для любого $n$:
$a_k=n$
Получается $n^4=n^4$

[Droog_Andrey]

Действительно. Что-то я совсем туго соображать стал. Исправил первое сообщение темы.

[gris]

Для небольших $n>3$ решения находятся достаточно легко:
1,2,2,4
1,2,2,3,5
1,1,3,4,4,5,7
1,1,1,1,4,5,6,6
1,1,1,1,1,2,4,4,7
....
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,3,9
28 раз по 1,2,12

[Droog_Andrey]

Для $n=2$ уравнение принимает вид

$(a+b)^2 = a^3+b^3$

Исключив тривиальный случай $a=b=2$, примем $x=\frac{b}{a}<1$. Тогда имеем

$(1+x)^2 = a + bx^2$

$(b-1)x^2-2x+(a-1)=0$

При $b=1$ имеем другой тривиальный случай $a=2$; иначе же

$x=\frac{1-\sqrt{1-(b-1)(a-1)}}{b-1}$

Очевидно, выражение под корнем отрицательно при $b>1$, поэтому нетривиальных решений при $n=2$ нет.

P.S. Найденные перебором решения:

 Trying n=1:
(1)
 Trying n=2:
(12)(22)
 Trying n=3:
(123)(333)
 Trying n=4:
(1224)(1234)(2244)(4444)
 Trying n=5:
(12235)(12345)(55555)(33336)(33346)
 Trying n=6:
(111225)(111445)(112455)(114555)(222226)(122346)(122446)(123456)(224466)(144466)(333666)(244666)(666666)(333357)(244557)(345567)(355567)(455667)
 Trying n=7:
(1122556)(1222366)(1224666)(1155666)(1236666)(1266666)(1223337)(1223457)(1134457)(2222557)(1145557)(1234567)(2333577)(1355577)(2335677)(1445677)(1556677)(2366677)(7777777)(2333448)(2244448)(3333468)(3333568)(3334668)(2446668)(2666668)(3555778)(4445559)(4555669)(6666669)
 Trying n=8:
(11111155)(11111236)(11112256)(11122566)(11114566)(11125666)(11222247)(11125557)(11223567)(12233377)(12224577)(12225577)(22223677)(12334777)(12255777)(22236777)(22257777)(12577777)(22223338)(12224448)(11333458)(11244558)(11245558)(12234468)(12234568)(12244668)(13333578)(22235578)(11455578)(12345678)(13336678)(22344778)(12455778)(22346778)(12566778)(13467778)(22577778)(22677778)(22444488)(13444588)(13445688)(22446688)(13466688)(33335788)(22556788)(14557788)(23467788)(14567788)(15577788)(23677788)(16666888)(33577888)(27777888)(44448888)(26668888)(88888888)(22344459)(33333669)(22444669)(22446669)(33334579)(13555579)(33335679)(23355679)(14466679)(23455779)(33445689)(24466689)(24666789)(25567789)(34777789)(34566889)(36777889)(45558889)(66888889)(44455599)(44455699)(44555799)(35666799)(44667799)(46667899)(55777899)(66778899)(444444610)(255555610)(266666610)(444455710)(345556710)(345566710)(355567710)(366677710)(455667810)(555777810)(666666910)
 Trying n=9:
(111112447)(111113557)(111123367)(112222477)(111155677)(111236677)(122223777)(222222228)(122222248)(111233358)(111224458)(222222268)(111256668)(122233378)(112234578)(112246678)(112266678)(122333778)(111666778)(222237778)(222333388)(113334588)(123334788)(122345788)(113356788)(112666788)(123377788)(123444888)(123355888)(223336888)(133347888)(133377888)(123777888)(124468888)(224488888)(228888888)(123333339)(222224449)(113333559)(122235559)(111455559)(123333369)(113334469)(222233569)(112345569)(122334669)(113335669)(222244479)(122344579)(112455579)(122345679)(222246679)(112556679)(122366679)(113456779)(122557779)(222367779)(122567779)(222444489)(133335589)(233333689)(122555689)(222356689)(233334789)(124444789)(114555789)(123456789)(114556789)(123466789)(115557789)(123567789)(116677789)(224444889)(133466889)(224447889)(133557889)(233367889)(124667889)(125777889)(134678889)(144788889)(136788889)(333336699)(124566699)(233445799)(125556799)(223566799)(144447799)(134577799)(333445899)(234457899)(225557899)(135677899)(244478899)(333778899)(333666999)(145666999)(244557999)(155577999)(235677999)(334668999)(245578999)(156678999)(247788999)(345579999)(356799999)(999999999)...

Интересно было бы найти нетривиальное решение, где все $a_k$ различны.

Кстати, в решениях, найденных перебором, просматривается ещё один общий случай, получаемый из тривиального $a_k=k$ заменой числа $n-1$ на число $2$. И, действительно,

$\left(\frac{n^2+n}2\right)^2-\left(\frac{n^2+n}2-(n-1)+2\right)^2 \equiv (n-1)^3-2^3$.

[maxal]

Droog_Andrey в сообщении #240506 писал(а):

$$\left(\sum_{k=1}^{n}a_k\right)^2=\sum_{k=1}^{n}a_k^3$$

Если выполняется это равенство, то неравенство о средних влечёт неравенство:

$$\sum_{k=1}^{n}a_k \leq n^2.$$

Таким образом, для каждого $n$ задача поиска $a_1, a_2, \dots, a_n$ сводится к конечному перебору.

[maxal]

См. также эту тему: topic13593.html

[Droog_Andrey]

Спасибо за полезную информацию!

[Garik2]

Вот решения для n=6

1 1 1 2 2 5
1 1 1 4 4 5
1 1 2 4 5 5
1 1 4 5 5 5
1 2 2 3 4 6
1 2 2 4 4 6
1 2 3 4 5 6
1 4 4 4 6 6
2 2 2 2 2 6
2 2 4 4 6 6
2 4 4 5 5 7
2 4 4 6 6 6
3 3 3 3 5 7
3 3 3 6 6 6
3 4 5 5 6 7
3 5 5 5 6 7
4 5 5 6 6 7
6 6 6 6 6 6

То же для n=7
1 1 2 2 5 5 6
1 1 3 4 4 5 7
1 1 4 5 5 5 7
1 1 5 5 6 6 6
1 2 2 2 3 6 6
1 2 2 3 3 3 7
1 2 2 3 4 5 7
1 2 2 4 6 6 6
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 6 6 6 6
1 2 6 6 6 6 6
1 3 5 5 5 7 7
1 4 4 5 6 7 7
1 5 5 6 6 7 7
2 2 2 2 5 5 7
2 2 4 4 4 4 8
2 3 3 3 4 4 8
2 3 3 3 5 7 7
2 3 3 5 6 7 7
2 3 6 6 6 7 7
2 4 4 6 6 6 8
2 6 6 6 6 6 8
3 3 3 3 4 6 8
3 3 3 3 5 6 8
3 3 3 4 6 6 8
3 5 5 5 7 7 8
4 4 4 5 5 5 9
4 5 5 5 6 6 9
6 6 6 6 6 6 9
7 7 7 7 7 7 7

Текст проги для последнего случая:

open #1,"1","w"
n=25
for a1=1 to n
for a2=a1 to n+1
for a3=a2 to n+2
for a4=a3 to n+3
for a5=a4 to n+4
for a6=a5 to n+5
for a7=a6 to n+6
d2=(a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7)^2
d3=a1^3+a2^3+a3^3+a4^3+a5^3+a6^3+a7^3
if d2=d3 then
print a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7
print #1, a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7:fi
next a7
next a6
next a5
next a4
next a3
next a2
next a1

[maxal]

Garik2 в сообщении #345228 писал(а):

Текст проги для последнего случая:

open #1,"1","w"
n=25

Эта граница выглядит взятой с потолка. Соответственно, где гарантия, что других решений нет?

[venco]

Я смог доказать границы:

$$\sum{a_k} \le n^2$$

$$a_k\le n(n-1)$$

[maxal]

venco в сообщении #345242 писал(а):

Я смог доказать границы:

$$\sum{a_k} \le n^2$$

$$a_k\le n(n-1)$$

Первое уже было: post241010.html#p241010
Из него следует также, что

$$a_k \leq n^{4/3},$$

что сильнее вашего второго неравенства.

[Garik2]

Меня вообще-то удивило, что есть граница. Взял n=25 действительно наугад.