Вроде придумал доказательство.
Лемма. Для натуральных чисел
,
, справедливо неравенство:
Доказательство очевидно.
Предположим, что у нас есть решение
в котором
является натуральными. Если в отрезке
имеется две "дырки", то есть, два натуральных числа
, которые не являются элементами множества
, то беря ближайший к
слева элемент
и ближайший к
справа элемент
, заключаем, что
также являются дырками. Увеличивая
на 1 и уменьшая
на 1, мы не изменяем сумму
, но уменьшаем сумму
(по лемме), причём все
по-прежнему являются попарно различными натуральными числами.
Будем осуществлять подобные операции, покуда у нас имеются две дырки. Заметим, что величина "разброса"
при каждой такой операции уменьшается как мининимум на 2. Поэтому рано или позно мы придем к ситуации с максимум одной дыркой и неравенством
причем равенство имеется только в том случае, когда набор
- исходный.
Если дырок нет, то
для всех
и некоторого
. Тогда для
и
имеем
Сокращая на
, получаем
и, следовательно,
. В этом случае
представляют наш исходный набор.
Если дырка одна, то аналогично для
,
и некоторой дырки
,
, имеем:
или
Найдем максимум левой части как функции от
. Производная равна
, и её корнями являются
. Так как меньший корень (соответствующий локальному максимуму) отрицательный, то максимум в отрезке
достигается на одном из его концов. Поэтому должно выполняться хотя бы одно из неравенств:
или
Первое неравенство равносильно:
но, как нетрудно видеть, все скобки и остальные слагаемые в нём отрицательны (учитывая
).
Второе неравенство и того проще:
в нем все слагаемые отрицательны, и поэтому выполняться оно не может.
Итак, решением
, где все натуральные числа
различны, единственно и является набором первых
натуральных чисел.