Я поправил пример.
Из каких соображений он вылез?
Примерно из таких. Понятно, что для немонотонных последовательностей контрпример строится влёт: надо просто разбить
![$\mathbb N$ $\mathbb N$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/6/a76bc60b8ab614c43a72e09bf81806ee82.png)
на 2 множества
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
и
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
и взять
![$a_n$ $a_n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/1/6512cbd0d448700a036bf3a691c37acc82.png)
такие, что ряд из
![$1/a_n$ $1/a_n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/3/2e3397ce635041486500e64835b8384582.png)
сходится на
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
и расходится на
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
, а с
![$b_n$ $b_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/5/935aab151b542081e51a21ca914e3be682.png)
всё наоборот. Проблема возникает из-за требования монотонности. Оказывается, это накладывает определённые условия на множества A и B: они должны иметь нулевую нижнюю асимптотическую плотность, т.е. быть "очень-очень дырявыми". Ну, я взял первый попавшийся пример такого разбиения и начал строить контрпример; это уже не представляет особых проблем. Вот как-то так.
ПыСы Меня никак не оставляет ощущение, что похожая задачка уже возникала на форуме...