Ряд - нетривиальный контрпример

[id]

Даны положительные возрастающие последовательности $\{a_n\}_n, \{b_n\}_n$ такие, что $\sum \frac 1 {a_n} = \sum \frac 1 {b_n} = \infty$.
Верно ли, что $\sum \frac 1 {a_n + b_n} = \infty$?

Контрпример не угадывается ( если, скажем, попробовать использовать неравенство Коши, то нужно получить сходящийся ряд $\sum \frac 1 {\sqrt {a_n b_n}}$, что тоже не угадывается, как и напрямую ).

[worm2]

Может, в Олимпиадные перенести?

[id]

Можно бы, если оно и впрямь олимпиадное.

[jetyb]

Воспользуйтесь тем, что $a_i+b_i$ лежит между $2a_i$ и $2b_i$.

[RIP]

Забавная задачка. Вот контрпример. Для упрощения формул последовательности будут неубывающие.

$$a_n=\begin{cases}nk^3,&2^{(2k-2)^2}\le n<2^{(2k-1)^2};\\2^{(2k-1)^2}k^3,&2^{(2k-1)^2}\le n<2^{(2k)^2};\end{cases}$$

$$b_n=\begin{cases}2^{(2k-2)^2}k^3,&2^{(2k-2)^2}\le n<2^{(2k-1)^2};\\nk^3,&2^{(2k-1)^2}\le n<2^{(2k)^2}.\end{cases}$$

Здесь $k\in\mathbb N$.

[fnake]

jetyb в сообщении #241720 писал(а):

Воспользуйтесь тем, что $a_i+b_i$ лежит между $2a_i$ и $2b_i$.

Это не поможет.

[id]

RIP
Да, контрпример так контрпример. Из каких соображений он вылез?

Спасибо!

[RIP]

Я поправил пример.

id в сообщении #241731 писал(а):

Из каких соображений он вылез?

Примерно из таких. Понятно, что для немонотонных последовательностей контрпример строится влёт: надо просто разбить $\mathbb N$ на 2 множества $A$ и $B$ и взять $a_n$ такие, что ряд из $1/a_n$ сходится на $A$ и расходится на $B$, а с $b_n$ всё наоборот. Проблема возникает из-за требования монотонности. Оказывается, это накладывает определённые условия на множества A и B: они должны иметь нулевую нижнюю асимптотическую плотность, т.е. быть "очень-очень дырявыми". Ну, я взял первый попавшийся пример такого разбиения и начал строить контрпример; это уже не представляет особых проблем. Вот как-то так.
ПыСы Меня никак не оставляет ощущение, что похожая задачка уже возникала на форуме...

[nn910]

RIP в сообщении #241735 писал(а):

Меня никак не оставляет ощущение, что похожая задачка уже возникала на форуме...

topic24436.html
topic24437.html похожи. Причем 2я (сам немало посидел) так и не решена. Надежда на Вас

[Paata]

Во второй задаче ряд всегда будет расходится для всех $p \geq 2$.
Есть один человек Профессор Федор Львович Назаров который уже давно решил эту задачу