2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 сходимость ряда, найти последовательност..
Сообщение09.08.2009, 18:40 


18/07/09
37
Saint-Petersburg
рассматривается положительная последовательность $\{a_{n} \}$ со свойством : $a_{n} \leq a_{n+1} + a_{n^{p}}$
где $p$ натуральное число строго большее единицы.
всегда ли будет сходится ряд $\sum a_{n}$ ?
( интуитивно "понятно" что при $p=2$ можно подобрать такую последовательность что ряд будет расходится, а для $p>2$ это будет неверно. )
И кто с этим согласен ? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость ряда, найти последовательност..
Сообщение09.08.2009, 19:08 


25/05/09
231
Paata в сообщении #233973 писал(а):
рассматривается положительная последовательность $\{a_{n} \}$ со свойством : $a_{n} \leq a_{n+1} + a_{n^{p}}$
неравенство бы в другую сторону исправить. Вам. :?: А то там и константа годится.

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость ряда, найти последовательност..
Сообщение09.08.2009, 19:41 


18/07/09
37
Saint-Petersburg
неравенство правильное.
просто вопрос не совсем правильный :).
всегда ли будет расходится ряд?
для двойки думаю можно подобрать такой ряд чтобы он сходился а для больших чисел думаы будет расходится

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость ряда, найти последовательност..
Сообщение10.08.2009, 10:13 


25/05/09
231
Paata в сообщении #233979 писал(а):
неравенство правильное.
просто вопрос не совсем правильный :).
всегда ли будет расходится ряд?
для двойки думаю можно подобрать такой ряд чтобы он сходился а для больших чисел думаы будет расходится
С обратным неравенством и с обратным вопросом было бы более привычно. А в Вашей постановке могу предложить док-во для $a_n$ монотонной и p>2.
Если бы ряд сходился, то ряд из $b_n=2^na_{2^n}$ тоже сойдется,тк его n-е суммы оцениваются удвоенными $2^n$-ми исходного. Складывая $2^n$ неравенств вида$$a_{2^n+k-1}-a_{2^n+k} \leq a_{(2^n+k-1)^p}\leq a_{2^{np}}$$для k=1..$2^n$, получаем$b_n-b_{n+1}/2 \leq 2^{2n-np}*b_{np} \leq b_{np}/2$и b не может стремиться к 0. Противоречие.
Остальное (есть коечто) скорей для олимпийского подфорума

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость ряда, найти последовательност..
Сообщение10.08.2009, 11:37 


18/07/09
37
Saint-Petersburg
В монотоном случае согласен, дэйствительно можно использовать Критерии коши для сравнения рядов
http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_condensation_test после чего рекурентность сводится к линейной рекурентности относительно аргументов и в оценке появляется константа 2 снизу.
Но я не думаю что в общем случае можно свести задачу к этому случаю .. :(

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость ряда, найти последовательност..
Сообщение10.08.2009, 12:07 


25/05/09
231
Paata!Если Вы можете доказать то,что я уже доказал для монотонной, проще (по КрКоши) ,тогда озвучьте. Мне тоже не нравится, что у меня сложно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group