Великая теорема Ферма. Классическое доказательство

[victor_sorokin]

venco в сообщении #240266 писал(а):

victor_sorokin в сообщении #240256 писал(а):

если $a+b$ не равно $c$, то $a^n+b^n-c^n$ не кратно $n$?

Нет. $7+10 \ne 11, 7^3+10^3-11^3=12 = 4 \cdot 3$.

Какая жалость!!!

Но есть еще один вопрос на эту же тему:

Если $1+b$ не равно $c$, то $1+b^n-c^n$ не кратно $n$?[/quote]

[venco]

victor_sorokin в сообщении #240297 писал(а):

venco в сообщении #240266 писал(а):

victor_sorokin в сообщении #240256 писал(а):

если $a+b$ не равно $c$, то $a^n+b^n-c^n$ не кратно $n$?

Нет. $7+10 \ne 11, 7^3+10^3-11^3=12 = 4 \cdot 3$.

Какая жалость!!!

Но есть еще один вопрос на эту же тему:

Если $1+b$ не равно $c$, то $1+b^n-c^n$ не кратно $n$?

Так тоже не правильно. Пример ищите сами. Надоело.

[PAV]

Часть дискуссии, инициированная участником KORIOLA, отделена в тему Уважаемые господа фермисты

[victor_sorokin]

В связи с восстановлением темы даю материал и здесь

Элементарное доказательство ВТФ

Допустим,
1°) $a^n+b^n=c^n$, где простое $n>2$ и число
2°) $a+b-c=u$ делится на $n^k$ и
3°) не делится на $n^{k+1}$.
И, кроме того, после устранения общих делителей в числах $a, b, c$,
4°) числа $a+b, c-b, c-a$ являются взаимнопростыми.

Доказательство Великой теоремы Ферма

5°) Числа $(c-a)^n-b^n [=(a+b-c)p], (c-b)^n-a^n [=(a+b-c)q], (a+b)^n-c^n [=(a+b-c)r]$ делятся на $n^{k+1}$, ибо число $a+b-c$ делится на $n^k$, а числа $p, q, r$, как известно, делятся на $n^1$ (и не делятся на $n^2$).

Следовательно, число $2[(c-a)^n+(c-b)^n-(a+b)^n]-2(a^n+b^n-c^n [=0])$,
или $[(c-a)^n+(c-b)^n]-[(a+b)^n-(c-b)^n]-[(a+b)^n-(c-a)^n]$, ИЛИ
6°) $[(c-a)+(c-b)]R-[(a+b)-(c-b)]Q-[(a+b)-(c-a)]P$, где все три числа
$R, Q, P$ в базе $n$, оканчиваюся на цифру 1 (см. 4°).

Следовательно, число $[(c-a)+(c-b)]-[(a+b)-(c-b)]-[(a+b)-(c-a)]$, или
$[(c-a)+(c-b)]-[(a+b)-(c-b)]-[(a+b)-(c-a)]$, или $[2c-a-b]-[2b-(c-a)]-[2a-(c-b)]$, или
$2c-a-b-2b+(c-a)-2a+(c-b)]$, ИЛИ
7°) $4(c-a-b)$ ДЕЛИТСЯ на $n^{k+1}$,
что противоречит 3° .

Теорема доказана.

[shwedka]

victor_sorokin в сообщении #241487 писал(а):

где все три числа
$R, Q, P$ в базе $n$, оканчиваюся на цифру 1

и никогда это не докажете!!

[victor_sorokin]

Есть ощущение, что $k+1$-значные окончания чисел $R, Q, P$ в базе $n$, оканчиваюся на 00...001 с $k$ нулями перед 1.
Возможно, доказательство этого факта следует проводить методом математической индукции, начиная с $k=2$.

-- Вт сен 08, 2009 14:09:59 --

shwedka в сообщении #241490 писал(а):

victor_sorokin в сообщении #241487 писал(а):

где все три числа
$R, Q, P$ в базе $n$, оканчиваюся на цифру 1

и никогда это не докажете!!

Читайте внимательно малую теорему Ферма.

[shwedka]

victor_sorokin в сообщении #241493 писал(а):

Читайте внимательно малую теорему Ферма.

это не доказательство

[venco]

victor_sorokin в сообщении #241493 писал(а):

Есть ощущение, что $k+1$-значные окончания чисел $R, Q, P$ в базе $n$, оканчиваюся на 00...001 с $k$ нулями перед 1.

Ощущения вас уже много раз обманывали.
Доказывайте.

[victor_sorokin]

venco в сообщении #241514 писал(а):

victor_sorokin в сообщении #241493 писал(а):

Есть ощущение, что $k+1$-значные окончания чисел $R, Q, P$ в базе $n$, оканчиваюся на 00...001 с $k$ нулями перед 1.

Ощущения вас уже много раз обманывали.
Доказывайте.

На этот раз пока проносит.

Для $k=2$ простое доказательство основано на факте, что числа $a+b, c-b, c-a$ являются $n$-ми степенями. (А если одно из них не является (в случае, если оно кратно $n$), то оно нисколько не мешает доказательству.

Подробности при первой свободной минуте.

[shwedka]

victor_sorokin в сообщении #241517 писал(а):

то оно нисколько не мешает доказательству.

несуществующему....

[victor_sorokin]

Скорее всего, идея бесплодна, однако ж симпатичная.

[shwedka]

victor_sorokin в сообщении #241587 писал(а):

Скорее всего, идея бесплодна, однако ж симпатичная.

А Вы почитайте повнимательнее малую теорему Ферма!

[victor_sorokin]

Интересная находка:
одно из чисел $a+b, c-b, c-a, a-b, c+b, c+a$ бесконечно.
Для доказательства этого факта последний текст доказательства ВТФ придется слегка (где-то на два действия) изменить.
Так что еще не вечер...

[shwedka]

victor_sorokin в сообщении #241799 писал(а):

одно из чисел $a+b, c-b, c-a, a-b, c+b, c+a$ бесконечно.
Для доказательства этого факта последний текст доказательства ВТФ придется слегка (где-то на два действия) изменить.

бесконечное число раз

[victor_sorokin]

Искомое противоречие:
Числа $u=a+b-c$ и/или $v=[(c-b)^n-a^n]-[(c-a)^n-b^n]$ и/или $v’=[(c-b)^n-a^n]+[(c-a)^n-b^n]$ имеют на конце бесконечное число нулей.

Аппарат простейший: слегка измененные формулы 5-6 да малая теорема Ферма в самом простом виде – с концевой единицей в степенях $n-1$.

Суть легко реализуемой идеи: получить сумму $n$-х степеней с числом нулей на конце БОЛЕЕ чем $k+1$. (Все бесконечные попытки доказательства с помощью суммы с $k+1$ концевыми нулями оказывались тщетными.)

Обсуждение обещает быть интересным. Приглашаю к столу!