Фундаментальные свойства степеней

[venco]

Petern1 в сообщении #240789 писал(а):

Venco

Почему Вы ушли с дискуссии? Ранее Вы высказывали ценные мысли. Надо продолжить.

ДЛЯ ВСЕХ убываю на 2-3 дня

Во-первых, у меня тоже бывают другие дела.

Во-вторых, дискуссии-то нет. Вы ведь не читаете, что вам пишут.
Где ответ на:

venco писал(а):

Вы можете внятно объяснить, из каких соображений вы выбрали $x=6def$?

[grisania]

dmd в сообщении #240701 писал(а):

Для примера покажу, как бы я построил изложение о "разности разностей кубов". Далее будут мои обозначения, ни как не связанные с Вашими, уважаемый Petern1.
Пусть имеем два натуральных $x$ и $y$, $x>y$. Любое натуральное можно представить суммой двух меньших, поэтому положим $x=b_2+d$ и $y=b_1+d$, $b_2>b_1$. Рассмотрим разность кубов $x^3-y^3$:
$x^3-y^3=(b_2+d)^3-(b_1+d)^3=b_2^3-b_1^3+3d(b_2-b_1)(b_2+b_1+d)$
откуда получается "разность разностей кубов":
$(x^3-y^3)-(b_2^3-b_1^3)=3d(b_2-b_1)(b_2+b_1+d)$
Отсюда мне пока видно только то, что "разность разностей" делится на $3$. Вам же, уважаемый Petern1, из этих разноразностей нужно показать, что не существует такого натурального $z$, что $x^3-y^3=z^3$. В Ваших обозначениях мне честно не понятно, как Вы этого добиваетесь, даже с учетом исправления вышеозначенной ошибки $x=b_1$.
Пока пытался это объяснить разглядел, что из этих разностей спуском можно получить $x^3-y^3=3k+1$, что это дает - не вижу. Если не напутал конечно.

Прекрасное изложение идей Petern1. Что за спуск вы делаете, что бы получить $x^3-y^3=3k+1$? Если вы предположили, что 3 делит $z$, а спуском получили $z=3k+1$, то ВТФ для тройки доказана
Если вы предполагаете, что 3 делит $x$ или $y$ , то всегда $y=3k+2$, либо $z=3k+1$ или наоборот. Это 2-ой случай теоремы Ферма.
Если предположить ${{x}^{3}}={{y}^{3}}+{{z}^{3}}$, то из формулы

${{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)=\left( a+b \right)\frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}+3{{\left( a-b \right)}^{2}}}{4}$

Получаем

${{x}^{3}}=\left( y+z \right)\left( {{y}^{2}}-yz+{{z}^{2}} \right)=\left( y+z \right)\frac{{{\left( y+z \right)}^{2}}+3{{\left( y-z \right)}^{2}}}{4}$

Теперь если предположить, что 3 делит $x$, то видим, что $y=3k+2$, либо $z=3k+1$ или наоборот.
2-ой случай теоремы Ферма для тройки, т.е. что хотя одно из чисел $x,y,z$ делится на 3, выполняется всегда и его нетрудно доказать для ВТФ в случае тройки.

[Petern1]

Venco

Читаю и даже очень читаю. И я уже отвечал Вам на этот вопрс. С Вами и age я советовался, что если я скажу так: положить $x=6def$ мне подсказала интуиция, предвидение, или черт знает еще что, Но дальнейшие безошибочные выкладки позволили получить формулу вычисления таких $b_1$, при которых $3de(2b_1+d+e)$ равно кубу. И этим разве не доказывается обоснованность $x+6def$? На это Вы ничего не сказали. И я сейчас повторяю этот ответ. Легче легкого сказать почему 6, почему $f$, а почему $d,e$, так и без слов понятно. И, мне кажется, что мы топчемся вокруг этой детали и уходим от главного, от обстоятельного изучения чисел, название у которых разности разностей кубов (РРК). Эти РРК реально существуют, это наша математическая материя. Там свойства, квадраты, кубы расположены в строго отведенных местах. Если Вы потрудитесь и досканально изучите изложенное мною, обдумаете, то подобные вопросы отпадут сами по себе. Взгляните на $3de(2b_1+d+e)$. Разве не видно, что при любых $b_1,d,e.$ это число четное--- значит 6. Если Вы положите $x=6de$ без $f$, тогда получите формулу
$b_1=36(2d_1+1)^2(2e_1+1)^2-d-e-1$ Для каждой пары $d,e$ мы будем получать единичное $b_1$. А мы же помним что такое $d,e$ , что для каждой этой пары существует бесчисленное множество $b_1$, при которых $3de(2b_1+d+e)$ равно кубу.
Venco, надо взяться основательно за этот вопрос, и труд Ваш будет вознагражден сопричастностю к важным событиям.
С уважением Petern1.

Модераторы.
Pav
Maxal
Jnrty
Супермодераторы.

Прошу Вас принять участие в рассмотрении чисел, которые называются Разности разностей кубов (РРК), или Разности разностей степеней n (РРn). n---простое. Эти числа весьма интересны и очень важны. Нужны 2-3 достойных математика, которые могли бы потрудиться над этим вопросом. Вот смотрите: РРК$=3de(2b_1+d+e$. РРn$=nde(2b_1+d+e)A_n$. Поразительная схожесть РРК и РРn. Число $nde(2b_1+d+e)$ может быть равно квадрату кубу и т.д. Но для нас будет важно, что оно равно степени не числа $b_1$, а другого числа $g$? Да так, что они никогда не могут быть равны.
Пожалуйста, или вы сами, или поручите кому_нибудь из математиков заняться изучением свойств этих чисел. Я им выложу все.
То что происходит сейчас, на мой взгляд совершенно недостаточно. Это дискуссией не назавешь. С уважением Petern1

[venco]

Petern1 в сообщении #241552 писал(а):

положить $x=6def$ мне подсказала интуиция, предвидение, или черт знает еще что, Но дальнейшие безошибочные выкладки позволили получить формулу вычисления таких $b_1$, при которых $3de(2b_1+d+e)$ равно кубу.

Но не тому кубу, что нам нужен. Поэтому ваш выбор выражения для $x$ неправилен. Т.е. вы доказали, что если $x=6def$, то решения нет. Но вы не доказали, что решения нет при других $x$, а ведь ваша подстановка не единственная, дающая куб.

Цитата:

Легче легкого сказать почему 6, почему $f$, а почему $d,e$, так и без слов понятно.

Без слов непонятно, и вообще неверно.
Вам age уже давал пример:

$$3\cdot967^3\cdot9\cdot693^3(2\cdot1574+9\cdot693^3+967^3)=3164358582^3$$

Здесь $b_1=1574, d=967^3, e=9 \cdot 693^3, x=3164358582=6de \cdot \frac{1574}{2 \cdot 967^2 \cdot 693^2}$, т.е. ваше выражение равно кубу целого числа, которое не равно $6def$.
Вот такие варианты вы и пропустили, а ведь среди них может оказаться решение!

[dmd]

dmd в сообщении #240701 писал(а):

Пока пытался это объяснить разглядел, что из этих разностей спуском можно получить $x^3-y^3=3k+1$, что это дает - не вижу. Если не напутал конечно.

Нет, напутал конечно, это не верно, контрпримеры легко найти.

[Petern1]

Venco

Принято, подумаю. Но ответить смогу в четверг- пятницу.

[Petern1]

Venco

В вашем числовом примере $(c_2^3-b_2^3)-(c_1^3-b_1^3)=3164358582^3$ дайте, пожалуйста, числовое значение кубов слева.

[venco]

Petern1 в сообщении #241630 писал(а):

В вашем числовом примере $(c_2^3-b_2^3)-(c_1^3-b_1^3)=3164358582^3$ дайте, пожалуйста, числовое значение кубов слева.

Пример не мой, а age.
А разве вы сами не можете восстановить их из $d$ и $e$?
Это ведь ваши преобразования привели к такой формуле.

-- Вт сен 08, 2009 22:20:36 --

$$(3899545650^3-2995314587^3)-(904232637^3-1574^3)=3164358582^3$$

[Petern1]

Venco

Благодарю Вас.
1)В прошлых моих сообщениях было введено понятие Разности Разностей Кубов (РРК---это абравиатура). И была получена формула вычисления этих чисел РРК=$3de(2b_1+d+e)$. Если положить $d=1,e=1$, тогда РРК=$3(2b_1+2)=6(b_1+1)$. Это РРК соседних кубов. Придавая значения $b_1=0,1,2,3…$, мы получим ВСЕ РРК. Если $(b_1+1)=6f^2$, то РРК=квадрату, если $(b_1+1)=36f^3$, то РРК=кубу. Отсюда $b_1=36f^3-1$ Вот при таких эначениях $b_1$ РРК соседних кубов будет равно кубу. Пример: $f=1 , b_1=35 , c_1=36 , b_2=36 , c_2=37$
$(37^3-36^3)-(36^3-35^3)=216=6^3$.

2)РРК не соседних кубов.
Это значит, что либо $d$, либо $e$, либо оба больше 1. Важно отметить, что вычисляемые по формуле $3de(2b_1+d+e)$
РРК будут те же, что и в п.1). Но $b_1$ здесь будут меньше, чем в п.1). Формула $3de(2b_1+d+e)$ при любых $d,e$ есть четное число. Поэтому, если оно равно кубу, то оно должно быть $2^3*3^3f^3$. Здесь $g=2*3f$. Запишем
$3de(2b_1+d+e)=2^3*3^3f^3$. $de(2b_1+d+e)=8*9f^3$. От сюда
$b_1=\frac{8*9f^3-de(d+e)}{2de}$. Задавшись некоторым $f$, и затем придавая числам $d$ и $e$ различные значения…stop. Какие значения?! Очевидно, что надо буквам $d,e$ придавать такие числа, которые есть в виде множителей в первом числе числителя т. е. в $8*9f^3$. Это 2, это 3, это $f$, их сочетания. И мы будем получать различные значения $b_1$, при которых $3de(2b_1+d+e)$=кубу. Вариантов для перебора много, есть границы. Это исследовать и описывать на мой взгляд нам не надо. Можно лишь привести случай вычисления наименьшего из возможных $b_1$. Это будет, если$d=3f,e=3f$
$b_1=\frac{8*9f^3-3f3f(3f+3f)}{2*3f3f}=\frac{8f-6f}{2}=f$
Пример:$f=1 , b_1=1 , c_1=b_1+3f=4 , b_2=4 , c_2=7$
$7^3-4^3-(4^3-1^3)=216.$ [Вот такой пример следовало привести
age].

3) Могут или не могут быть равны $b_1$ и $g=2*3f$. Т.е. мы ставим вопрос может ли быть такое равенство
$\frac{8*9f^3-de(d+e)}{2de}=6f$ Или
$8*9f^3-de(d+e)=12def$ Перебирем 5 вариантов
$d=f,e=f$. 70=12 (число слева---число справа)
$d=2f,e=2f$---56=48; $d=3f.e=3f$---18=106; $d=3f,e=f$---60=36;
$d=4f,e=2f$---24=96; Какие-нибудь еще другие варианты вообще не приемлемы.
Venco, я понимаю, что это не есть красивое решение. Хотя в математике применяется метод перебора. Но на данный момент лучшего нет. Быть может при дальнейшей работе удасться найти лучшее решение этого места.
Ваше мнение? Petern1

[venco]

Petern1 в сообщении #242436 писал(а):

Очевидно, что надо буквам $d,e$ придавать такие числа, которые есть в виде множителей в первом числе числителя т. е. в $8*9f^3$. Это 2, это 3, это $f$, их сочетания.

... а также делители $f$ и их сочетания - вариант, который вы забыли рассмотреть.

[Petern1]

Venco.

Я упорно потрудился над формулой $3de(2b_1+d+e)=(6f)^3$, откуда $b_1=\frac{216f^3-3de(d+e)}{6de}$. Пытаясь, методом проб и ошибок вычислять $b_1$ (целые), и среди них обнаружить, чтобы $b_1=f$. И в числах и в общем виде. И пришел к выводу, что на этом пути достичь желаемого результата или очень трудно, или даже невозможно.
А почему бы нам не поступить вот так? Предположим, что
$3de(2b_1+d+e)=b_1^3$. Тогда $ b_1=\frac{b_1^3-3de(d+e)}{6de}$. Но лучше записать так
$b_1*6de=b_1^3-6de\frac{d+e}{2}$. Здесь совершенно очевидно, что $b_1^3$ должно делиться на $6de$, значит $b_1=6def$. Тогда $6def*6de=216d^3e^3f^3-6de\frac{d+e}{2}$.$6def=72d^2e^2f^3-\frac{d+e}{2}$ Не обращая внимания на букву $f$ скажем, что здесь $\frac{d+e}{2}$ должно делиться на $6de$, или быть равно $6de$.
$\frac{d+e}{2}=6de , d+e=12de$. Произведение двух чисел не может быть равно их сумме (исключение 2*2=2+2) и тем более произведение умноженное на 12.
Поэтому равенство $3de(2b_1+d+e)=b_1^3$ невозможно.
Ваше мнение? Petern1.

[venco]

Petern1 в сообщении #243281 писал(а):

Но лучше записать так
$b_1*6de=b_1^3-6de\frac{d+e}{2}$. Здесь совершенно очевидно, что $b_1^3$ должно делиться на $6de$, значит $b_1=6def$.

Опять?
Из делимости $b_1^3$ на $6de$ не следует делимость $b_1$ на $6de$.
Эта ошибка, ЕМНИП, была у вас в самом начале этой темы.

[yk2ru]

Наступают на одни и те же грабли?

[Petern1]

Venco

yk2ru

Чтобы ответить на этот вопрос, полагаю целесообразным поступить так: $d=d_1^2 , e=e_1^2 ,b_1=6d_1e_1f $
$b_1^3=216d_1^3e_1^3f^3$. Тогда наше равенство
$b_1*6de=b_1^3-6de\frac{d+e}{2}$ будет
$6d_1e_1f*6d_1^2e_1^2=216d_1^3e_1^3f^3-6d_1^2e_1^2\frac{d_1^2+e_1^2}{2}$. Здесь $b_1^3$ делится на
$6de$, а $b_1=6d_1e_1f$ не делится на $6de=6d_1^2e_1^2$. Надо полагать Вы это имели в виду.
Сокращаем на $6d_1^2e_1^2$
$6d_1e_1f=36d_1e_1f^3-\frac{d_1^2+e_1^2}{2}$. Не обращаем внимания на $f$ и видим , что $\frac{d_1^2+e_1^2}{2}$ должно делиться или быть равно $6d_1e_1$.
$6d_1e_1=\frac{d_1^2+e_1^2}{2}$,$12d_1e_1=d_1^2+e_1^2$.
Три случая: первый---$d_1 , e_1$ взаимно простые числа. Сумма взаимно простых чисел не имеет множителей, входящих в слагаемые. Второй $d_1=kd_2 , e_1=ke_2$
$12k^2d_2e_2=k^2(d_2^2+e_2^2 , 12d_2e_2=d_2^2e_2^2$. Что и в первом. Третий---$d_1=e_1$. $12d_1^2=2d_1^2$
Таким образом равенство $3de(2b_1+d+e)=b_1^3$ невозможно.
Найдете ли Вы такой ответ удовлетворительным?

[venco]

Petern1 в сообщении #243430 писал(а):

Найдете ли Вы такой ответ удовлетворительным?

Нет.

-- Пн сен 14, 2009 16:21:16 --

Petern1 в сообщении #243430 писал(а):

Чтобы ответить на этот вопрос, полагаю целесообразным поступить так: $d=d_1^2 , e=e_1^2 ,b_1=6d_1e_1f $

А я не полагаю целесообразным так поступить.