Ферматики докажите, что (k+1)^3=k^3 +y^3 не имеет решений

[grisania]

Ферматики, я вижу что ВТФ для тройки у вас не заладился. Но ВТФ для тройки можно очень упростить. Надо доказать, что уравнение

${{\left( k+1 \right)}^{3}}+{{x}^{3}}={{k}^{3}}$

Поэтому предлагаю всем ферматикам в начале доказать такой упрощенный ВТФ для тройки своими методами. Неферматикам тоже есть над чем подумать Лучше записать так

${{\left( k+1 \right)}^{3}}={{k}^{3}}+{{y}^{3}}$

где естественно положить все числа натуральными. Так как ${{\left( k+1 \right)}^{3}}-{{k}^{3}}={{y}^{3}}$, то из формулы

${{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)=\left( a-b \right)\frac{{{\left( a-b \right)}^{2}}+3{{\left( a+b \right)}^{2}}}{4}$

Получаем

$1+3{{\left( 2k+1 \right)}^{2}}=4{{y}^{3}}$

Сделав замену $x=2k+1$, получаем диофантово уравнение

$1+3{{x}^{2}}=4{{y}^{3}}$

Таким образом следующие утверждения эквивалентны: 1) уравнение ${{\left( k+1 \right)}^{3}}={{k}^{3}}+{{y}^{3}}$, где все числа натуральные, не имеет решений; 2) уравнение $1+3{{x}^{2}}=4{{y}^{3}}$ не имеет решений, за исключением $x=\pm 1$, $y=1$. Я утверждаю обе эти задачи эквивалентны 3) уравнение ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}={{z}^{3}}$ не имеет решений для всех $x,y,z\ne 0$, т.е общему случаю ВТФ для тройки. Задача ВТФ для тройки упрощена до умопомрачительной простоты, а сложность от этого не уменьшилась.

Дополнение.
Рассмотрим тщательнее уравнение

$1+3{{x}^{2}}=4{{y}^{3}}$

Ясно, что $x$ нечетно. Пусть $x=2k+1$. Также ясно, что могут быть только два случая: $k=2l$, либо $k=2l+1$.
1-ый случай: $k=2l$, тогда $x=4l+1$ и $1+3{{\left( 4l+1 \right)}^{2}}=4{{y}^{3}}$, откуда

$1+3{{\left( 4l+1 \right)}^{2}}=4{{y}^{3}}$
$1+3\left( 16{{l}^{2}}+8l+1 \right)=4{{y}^{3}}$
$3\cdot 16{{l}^{2}}+3\cdot 8l+4=4{{y}^{3}}$
$12{{l}^{2}}+6l+1={{y}^{3}}$
${{\left( 1+3l \right)}^{2}}+3{{l}^{2}}={{y}^{3}}$

Следовательно, уравнение $1+3{{x}^{2}}=4{{y}^{3}}$ в случае $x=4l+1$ эквивалентно уравнению

${{\left( 1+3l \right)}^{2}}+3{{l}^{2}}={{y}^{3}}$

2-ой случай: $k=2l+1$, тогда $x=4l+3$ и $1+3{{\left( 4l+2 \right)}^{2}}=4{{y}^{3}}$, откуда

$1+3{{\left( 4l+3 \right)}^{2}}=4{{y}^{3}}$
$1+3\left( 16{{l}^{2}}+24l+9 \right)=4{{y}^{3}}$
$3\cdot 16{{l}^{2}}+3\cdot 24l+28=4{{y}^{3}}$
$12{{l}^{2}}+18l+7={{y}^{3}}$
${{\left( 2+3l \right)}^{2}}+3{{\left( l+1 \right)}^{2}}={{y}^{3}}$

Следовательно, уравнение $1+3{{x}^{2}}=4{{y}^{3}}$ в случае $x=4l+3$ эквивалентно уравнению

${{\left( 2+3l \right)}^{2}}+3{{\left( l+1 \right)}^{2}}={{y}^{3}}$

Таким образом разрешимость уравнения $1+3{{x}^{2}}=4{{y}^{3}}$ в целых числах эквивалентна разрешимости в целых числах аж 2-ух уравнений

${{\left( 1+3l \right)}^{2}}+3{{l}^{2}}={{y}^{3}}$ и ${{\left( 2+3l \right)}^{2}}+3{{\left( l+1 \right)}^{2}}={{y}^{3}}$

Можно конечно пробовать использовать Лемму Эйлера о параметрических решениях уравнения ${{a}^{2}}+3{{b}^{2}}={{c}^{3}}$. Но от этого не становится легче. Хотя есть соображения, которые я изложу. Но с наскоку не получается. Жаль, что я не умею доказывать в духе ферматиков, но каждому свое

Лемма Эйлера. Все решения уравнения $a, b, c$ где $gcd(a,b)=1$, диофантова уравнения ${{a}^{2}}+3{{b}^{2}}={{c}^{3}}$
задаются формулами

$a={{u}^{3}}-9u{{v}^{2}}$,
$b=3{{u}^{2}}v-3{{v}^{3}}$,
$c={{u}^{2}}+3{{v}^{2}}$.

Доказательство леммы Эйлера с использованием факториальности излагается в [Постников , стр. 34-50], [Эдвардс , стр. 71-73], однако изложение требует десятка страниц, поэтому его нельзя назвать элементарным. В [Рибенбойм , стр. 40-44] можно найти одновременное применение факториальности алгебраических колец и квадратичных вычетов, но доказательства от этого не стало короче. Доказательства с применением квадратичных вычетов даны в [Andreescu T., Andrica D., стр. 87-93] и [Sierpinski , стр. 384-387], но и их нельзя назвать элементарными.
1. Andreescu T., Andrica D. An Introduction to Diophantine Equations, GIL, Publishing House, 2003
2. Sierpinski W. Elementary Theory of Numbers, PNW, Warszawa; North Holland, Amsterdam, 1987
3. Мачис Ю.Ю. О предполагаемом доказательстве Эйлера, Матем. заметки, 82:3 (2007), 395–400
4. Постников М. М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел. Москва, Наука, 1978.
5. Рибенбойм П. Последняя теорема Ферма для любителей. Москва Мир, 2003
6. Эдвардс Г. Теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. Москва. Мир, 1980

[gris]

grisania писал(а):

${{\left( k+1 \right)}^{3}}+{{x}^{3}}={{k}^{3}}$

И правда смефно. При натуральных переменных левая часть строго больше правой. Гы-гы-гы.

Тщательнее надо острить, товарищ!

[grisania]

gris в сообщении #241000 писал(а):

grisania писал(а):

${{\left( k+1 \right)}^{3}}+{{x}^{3}}={{k}^{3}}$

И правда смефно. При натуральных переменных левая часть строго больше правой. Гы-гы-гы.

Тщательнее надо острить, товарищ!

Это ваш метод защитан, но пока для натуральных переменных , а вот пусть пусть ферматики своими хитроумными методами это сделают

[gris]

Здешние ферматики далеко не такие дураки, как Вы
думаете.

[grisania]

gris в сообщении #241008 писал(а):

Здешние ферматики далеко не такие дураки, как Вы
думаете.

Я не думаю, но я бы им советовал проверять свои доказательства на очевидных примерах. Кстати, как там с ненатуральными числами?

[gris]

Хотел было продолжить дерзко, но решил удержаться
Просто я очень уважаю и люблю наших ферматиков.

[grisania]

gris в сообщении #241016 писал(а):

Хотел было продолжить дерзко, но решил удержаться
Просто я очень уважаю и люблю наших ферматиков.

Любите это хорошо, но я как не заметил, что вы их труды читаете . Может я ошибаюсь, так как на форуме недавно

[gris]

А Вы вообще, кого на раёне-то знаете?
Виктора Ширшова знаете? А Леонида Вайсруба? Лошкарёва?
Что Вам говорят эти имена?
Я читаю, причём уже три года, но решаюсь вставить хоть словечко, если только вижу досадную оплошность, описку или чисто техническую недоработку.
А иногда даже и принимаю участие в дискуссии.
Но я тоже только что вернулся с каникул и не успел ещё придти в состояние ума, позволяющее высказывать своё мнение.

[grisania]

gris в сообщении #241000 писал(а):

grisania писал(а):

${{\left( k+1 \right)}^{3}}+{{x}^{3}}={{k}^{3}}$

И правда смефно. При натуральных переменных левая часть строго больше правой. Гы-гы-гы.

Тщательнее надо острить, товарищ!

Посмотрите начальный пост, который я немного дополнил, все не так просто и даже очень сложно.
Но ферматикам это будет хороший вариант проверить свои методы на такой упрощенной записи ВТФ для тройки

[gris]

Ув. grisania, да ладно уж, я вчера чего-то не по делу развыступался. Просто я точно знаю, что кто-то на нашем форуме в ближайшие полгода получит доказательство. Может быть и в прямом смысле получит, через тонкие поля там разные - я не разбираюсь точно в этих делах. Поэтому любопытно - кто. И хочется посмотреть на доказательство, доступное даже школьнику. Это, разумеется, не перевернёт математику, но будет таким радостным событием.
Я на самом деле читаю сообщения, но редко разбираюсь в них. Иногда такое написано, что голову сломаешь, пока поймёшь хоть строчку. До чего же люди умные. И главное - это дерзновение, мечта, полёт. Поэтому подшучивать над людьми, кропотливо исследующими самую загадочную тайну в математике, я считаю нечестным. Вы же тоже интересуетесь этим, просто может быть стесняетесь выкладывать Ваши исследования, опасаясь насмешек. И сами же устраиваете эти самые насмешки. А может быть именно Вам покорится Великая Теорема.

[georg38]

Теорему Ферма можно упростить постановкой вопроса-=может-ли быть биноминальное дополнение по какой-либо степени..быть само данной степенью целого числа?

[grisania]

gris в сообщении #241332 писал(а):

Ув. grisania, да ладно уж, я вчера чего-то не по делу развыступался. Просто я точно знаю, что кто-то на нашем форуме в ближайшие полгода получит доказательство. Может быть и в прямом смысле получит, через тонкие поля там разные - я не разбираюсь точно в этих делах. Поэтому любопытно - кто. И хочется посмотреть на доказательство, доступное даже школьнику. Это, разумеется, не перевернёт математику, но будет таким радостным событием.
Я на самом деле читаю сообщения, но редко разбираюсь в них. Иногда такое написано, что голову сломаешь, пока поймёшь хоть строчку. До чего же люди умные. И главное - это дерзновение, мечта, полёт. Поэтому подшучивать над людьми, кропотливо исследующими самую загадочную тайну в математике, я считаю нечестным. Вы же тоже интересуетесь этим, просто может быть стесняетесь выкладывать Ваши исследования, опасаясь насмешек. И сами же устраиваете эти самые насмешки. А может быть именно Вам покорится Великая Теорема.

У меня более скромная цель - это элементарное доказательство ВТФ для тройки, в том смысле элементарное, что его смог бы понять школьник, любящий математику. Уже известно такое одно такое доказательство, использующее лемму Эйлера и которую элементарно доказал Мачис. Хочется найти другое, не использующее лемму Эйлера.

На данный момент доказательсво ВТФ для тройки есть с другим доказательством леммы Эйлера, в русле идей Мачиса и [Sierpinski, стр. 384-387]. Серпинский использует квадратичные вычеты, это можно обойти.
Sierpinski W. Elementary Theory of Numbers, PNW, Warszawa; North Holland, Amsterdam, 1987
Я его изложу когда будет время, там все четко.

Также я хочу на примерах ВТФ для тройки показать как сложно доказать общий случай и что здесь всякие арифметические трюки типа число четное-нечетное, делится на 3 или нет и т.д. не помогут.
Доказательсва ВТФ для тройки, которые мне известны используют спуск, а многие ферматики пытаются доказать общий случай ВТФ только используя арифметические трюки.

[gris]

grisania, мне кажется идти надо в направлении отличия квадратов от других натуральных степеней. Сумма квадратов алгебраически неразложима на множители, а сумма больших степеней разложима. Вот тут и будет решение.

[KORIOLA]

Ответ gris-y
Перепишите уравнение $(K+1)^3= K^3 + Y^3^$следующим образом: $(K+1)^3 - K^3 =Y^3.$ Преобразовав его, получите:
$Y^3 = 2K(K+1) +1.$Вынеся множитель $(K+1)$
за скобки, получите: $Y^3 = (K+1)[(2K + 1/(K+1)].$Очевидно,
что выражение в квадратных скобках - дробное число. Кроме того, здесь число
$(K+1)$в первой степени, а каждое из чисел в квадратных скобках не содержит в себе сомножителя $(K+1).$Очевидно,
что число Y - всегда дробное число. И нет здесь "высоких материй".
KORIOLA

[grisania]

KORIOLA в сообщении #241922 писал(а):

Ответ gris-y
Перепишите уравнение $(K+1)^3= K^3 + Y^3^$следующим образом: $(K+1)^3 - K^3 =Y^3.$ Преобразовав его, получите:
$Y^3 = 2K(K+1) +1.$Вынеся множитель $(K+1)$
за скобки, получите: $Y^3 = (K+1)[(2K + 1/(K+1)].$Очевидно,
что выражение в квадратных скобках - дробное число. Кроме того, здесь число
$(K+1)$в первой степени, а каждое из чисел в квадратных скобках не содержит в себе сомножителя $(K+1).$Очевидно,
что число Y - всегда дробное число. И нет здесь "высоких материй".
KORIOLA

Осталось только доказать, что множитель $(K+1)$ делит $Y^3$, тогда как вы утверждаете выражение в квадратных скобках$[(2K + 1/(K+1)]$ будет дробным.
А тут и нужны "высокие материи" .