Ферматики, я вижу что ВТФ для тройки у вас не заладился. Но ВТФ для тройки можно очень упростить. Надо доказать, что уравнение
Поэтому предлагаю всем ферматикам в начале доказать такой упрощенный ВТФ для тройки своими методами. Неферматикам тоже есть над чем подумать
![Very Happy :D](./images/smilies/icon_biggrin.gif)
Лучше записать так
где естественно положить все числа натуральными. Так как
![${{\left( k+1 \right)}^{3}}-{{k}^{3}}={{y}^{3}}$ ${{\left( k+1 \right)}^{3}}-{{k}^{3}}={{y}^{3}}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e16139a8d98b872396636ababe0434f82.png)
, то из формулы
Получаем
Сделав замену
![$x=2k+1$ $x=2k+1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/a/92ac171fe55485b358c6fa58bfeb6aab82.png)
, получаем диофантово уравнение
Таким образом следующие утверждения эквивалентны: 1) уравнение
![${{\left( k+1 \right)}^{3}}={{k}^{3}}+{{y}^{3}}$ ${{\left( k+1 \right)}^{3}}={{k}^{3}}+{{y}^{3}}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/8/398130ce7b50a052de2e676eec8a5b9c82.png)
, где все числа натуральные, не имеет решений; 2) уравнение
![$1+3{{x}^{2}}=4{{y}^{3}}$ $1+3{{x}^{2}}=4{{y}^{3}}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/3/1f30bfac0c7b20027180e9919277f8cb82.png)
не имеет решений, за исключением
![$x=\pm 1$ $x=\pm 1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/0/64020107defd3817dcc7cca0a452c4f282.png)
,
![$y=1$ $y=1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/e/0ae115a65fe296fc4641cc1190e57d4a82.png)
. Я утверждаю обе эти задачи эквивалентны 3) уравнение
![${{x}^{3}}+{{y}^{3}}={{z}^{3}}$ ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}={{z}^{3}}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/e/e3ede320d7a63c43fc647de9eaf5514582.png)
не имеет решений для всех
![$x,y,z\ne 0$ $x,y,z\ne 0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/6/6/c667c0d3e0ca476d21e94c4e9b5f6f8082.png)
, т.е общему случаю ВТФ для тройки. Задача ВТФ для тройки упрощена до умопомрачительной простоты, а сложность от этого не уменьшилась.
Дополнение.Рассмотрим тщательнее уравнение
Ясно, что
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
нечетно. Пусть
![$x=2k+1$ $x=2k+1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/a/92ac171fe55485b358c6fa58bfeb6aab82.png)
. Также ясно, что могут быть только два случая:
![$k=2l$ $k=2l$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/e/75e60c80681544f49a86c723b8f66d6a82.png)
, либо
![$k=2l+1$ $k=2l+1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/7/5b7546dc5d45e5786a1804fe15e2b94882.png)
.
1-ый случай: ![$k=2l$ $k=2l$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/e/75e60c80681544f49a86c723b8f66d6a82.png)
, тогда
![$x=4l+1$ $x=4l+1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/4/4b4a372be21351f989e258576e0c130382.png)
и
![$1+3{{\left( 4l+1 \right)}^{2}}=4{{y}^{3}}$ $1+3{{\left( 4l+1 \right)}^{2}}=4{{y}^{3}}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/6/636a0dfa0887739ac7615dc90745efbc82.png)
, откуда
Следовательно, уравнение
![$1+3{{x}^{2}}=4{{y}^{3}}$ $1+3{{x}^{2}}=4{{y}^{3}}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/3/1f30bfac0c7b20027180e9919277f8cb82.png)
в случае
![$x=4l+1$ $x=4l+1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/4/4b4a372be21351f989e258576e0c130382.png)
эквивалентно уравнению
2-ой случай: ![$k=2l+1$ $k=2l+1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/7/5b7546dc5d45e5786a1804fe15e2b94882.png)
, тогда
![$x=4l+3$ $x=4l+3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/8/9b8fd1b9124f67b5f3703ee6298644d282.png)
и
![$1+3{{\left( 4l+2 \right)}^{2}}=4{{y}^{3}}$ $1+3{{\left( 4l+2 \right)}^{2}}=4{{y}^{3}}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/f/a7f4260790e17f30a3a9215d192c612482.png)
, откуда
Следовательно, уравнение
![$1+3{{x}^{2}}=4{{y}^{3}}$ $1+3{{x}^{2}}=4{{y}^{3}}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/3/1f30bfac0c7b20027180e9919277f8cb82.png)
в случае
![$x=4l+3$ $x=4l+3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/8/9b8fd1b9124f67b5f3703ee6298644d282.png)
эквивалентно уравнению
Таким образом разрешимость уравнения
![$1+3{{x}^{2}}=4{{y}^{3}}$ $1+3{{x}^{2}}=4{{y}^{3}}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/3/1f30bfac0c7b20027180e9919277f8cb82.png)
в целых числах эквивалентна разрешимости в целых числах аж 2-ух уравнений
![${{\left( 1+3l \right)}^{2}}+3{{l}^{2}}={{y}^{3}}$ ${{\left( 1+3l \right)}^{2}}+3{{l}^{2}}={{y}^{3}}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/d/95d044dc022be7ae7209afc146a84b0182.png)
и
![${{\left( 2+3l \right)}^{2}}+3{{\left( l+1 \right)}^{2}}={{y}^{3}}$ ${{\left( 2+3l \right)}^{2}}+3{{\left( l+1 \right)}^{2}}={{y}^{3}}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/9/a/99acefa2cdb4f1d90f82192415045fe882.png)
Можно конечно пробовать использовать Лемму Эйлера о параметрических решениях уравнения
![${{a}^{2}}+3{{b}^{2}}={{c}^{3}}$ ${{a}^{2}}+3{{b}^{2}}={{c}^{3}}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/a/53a8fd5dbc7f371fed92030b814d49e382.png)
. Но от этого не становится легче. Хотя есть соображения, которые я изложу. Но с наскоку не получается. Жаль, что я не умею доказывать в духе ферматиков, но каждому свое
Лемма Эйлера. Все решения уравнения
![$a, b, c$ $a, b, c$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/5/c7511ce56cd9c8457f7a29917f39df8d82.png)
где
![$gcd(a,b)=1$ $gcd(a,b)=1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/9/059f61bdbf943adf2640702e206c8e7a82.png)
, диофантова уравнения
![${{a}^{2}}+3{{b}^{2}}={{c}^{3}}$ ${{a}^{2}}+3{{b}^{2}}={{c}^{3}}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/a/53a8fd5dbc7f371fed92030b814d49e382.png)
задаются формулами
Доказательство леммы Эйлера с использованием факториальности излагается в [Постников , стр. 34-50], [Эдвардс , стр. 71-73], однако изложение требует десятка страниц, поэтому его нельзя назвать элементарным. В [Рибенбойм , стр. 40-44] можно найти одновременное применение факториальности алгебраических колец и квадратичных вычетов, но доказательства от этого не стало короче. Доказательства с применением квадратичных вычетов даны в [Andreescu T., Andrica D., стр. 87-93] и [Sierpinski , стр. 384-387], но и их нельзя назвать элементарными.
1. Andreescu T., Andrica D. An Introduction to Diophantine Equations, GIL, Publishing House, 2003
2. Sierpinski W. Elementary Theory of Numbers, PNW, Warszawa; North Holland, Amsterdam, 1987
3. Мачис Ю.Ю. О предполагаемом доказательстве Эйлера, Матем. заметки, 82:3 (2007), 395–400
4. Постников М. М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел. Москва, Наука, 1978.
5. Рибенбойм П. Последняя теорема Ферма для любителей. Москва Мир, 2003
6. Эдвардс Г. Теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. Москва. Мир, 1980