Геометрия-Пересечение цилиндров

[Moland]

Подскажите кто-нибудь формулу для расчета длины линии пересечения двух цилиндров. Сейчас поясню условия пересечения. Представьте трубу диаметром D лежащую на горизонтальной поверхности (земле) и под углом 90 градусов (т.е. вертикально) в её боковую поверхность врезается другая труба диаметром d. Оси труб (цилиндров) лежат в одной плоскости и они взаимно перпендикулярны. D всегда больше или равно d. Формулу длины этой линии вообще можно выразить хотя бы приблизительно с инженерной точностью как можно, например, вырызить длину эллипса? Эта формула имеет практическое значение например при изготовлении тройников стальных длина этой линии будет длиной сварного шва и можно таким образом рассчитать расход сварочного материала.

[ewert]

$$ L={d\over2}\int_0^{2\pi}\sqrt{D^2-d^2\sin^4t\over D^2-d^2\sin^2t}\;dt$$

(если ничего не напутал).

Подынтегральная функция -- периодическая и бесконечно гладкая. Поэтому: если диаметры хоть сколько-то заметно различаются, то интеграл очень быстро считается по формуле прямоугольников. Например (навскидку): если они различаются ну хоть процентов на 20 -- для достижения 15 правильных значащих цифр достаточно будет взять не более сотни узлов.

[alekcey]

***

[vvvv]

Вот сделано в Маткаде.

Здесь цилиндры пересекаются под углом отличным от прямого.


ewert, а как будет выглядеть интеграл, приведенный Вами, в таком случае?

[vvvv]

Можно подсчитать и так.

Нужно добавить - в данном случае оси цилиндров пересекаются под углом 45 градусов.

[nn910]

alekcey в сообщении #240670 писал(а):

С помощью Метода решаются привычные нелинейные уравнения

Мне интересно через дифур, хотя люди уже решили по-другому.Пусть s-длина дуги, все производные будем писать по s.Естественно,
$(x')^2+(y')^2+(z')^2=1$ и
$xx'+yy'=0$
$xx'+zz'=0$ (дифференцируя условия $x^2+y^2=d^2$ и $x^2+z^2=D^2$ соответственно). Система трех дифуров. Правильно ли , и что дальше делать?

[ewert]

vvvv в сообщении #240714 писал(а):

ewert, а как будет выглядеть интеграл, приведенный Вами, в таком случае?

Не знаю, лень разбираться. А тот интеграл, коль уж задача инженерная, надо считать так:

$$L = {d\over2}\;(- 0.43863 \; t^3 + 1.39292 \; t^2 - 2.31110 \; t + 7.63805),\ \ \ \text{где}\ \ \ t=\sqrt{1-{d^2\over D^2}}$$

(максимальная относительная погрешность $3.1\cdot 10^{-4}$). Или, если хочется точнее, то так:

$$L = {d\over2}\;(0.1064253 \; t^6 - 0.4855429 \; t^5 + 1.0407424 \; t^4 - 1.5161474 \; t^3 + 1.8926103 \; t^2 - 2.3952807 \; t + 7.6403860)$$

(c относительной погрешностью $\leqslant 1.25\cdot 10^{-6}$). Или совсем уж по рабоче-крестьянски:

$$L = {d\over2}\;\left(7.535 - 1.335\;\sqrt{1-{d^2\over D^2}}\right)$$

с относительной погрешностью менее полутора процентов (вряд ли толщина шва выдерживается с большей точностью).

[alekcey]

***

[Jnrty]

Jnrty:

alekcey в сообщении #241003 писал(а):

Я на этом форуме не владею правилами записи выражений

А напрасно. Школьники легко разбираются. Наведите курсор мыши на понравившуюся Вам формулу и увидите её код. Подробности можно найти в темах http://dxdy.ru/topic8355.html и http://dxdy.ru/topic183.html.

[nn910]

alekcey в сообщении #241003 писал(а):

Цитата:

$(x')^2+(y')^2+(z')^2=1$ и
$xx'+yy'=0$
$xx'+zz'=0$

Вашу систему диффуравнений я не понял, кроме двух последних в ней уравнений

Я хотел выразить в 1м уравнении, что$ds^2=dx^2+dy^2+dz^2$ ,те что это дифференциал дуги. А какое еще может быть первое уравнение? И значит 2е и 3е уравнения- те, что надо? Или ищется система 4х4??
Со своей стороны готов переводить Ваши слова в формулы. Чтобы тему двух цилиндров закончить здесь без ссылок на более общие теоремы.
У Вас наверное когда-то была Maple9 Потянет ли она систему 3х дифуров?Тогда бы и я попробовал.
Заранее благодарю!

[ewert]

nn910 в сообщении #241105 писал(а):

Потянет ли она систему 3х дифуров?

Её не надо никуда тянуть -- сама идея метода (и его универсальность) в том, что система решается численно. Надо лишь привести её к нормальной форме:

$$\begin{cases}x'=\pm{1\over\sqrt{1+{x^2\over y^2}+{x^2\over z^2}}};\\ y'=\mp{x\over y\sqrt{1+{x^2\over y^2}+{x^2\over z^2}}};\\ z'=\mp{x\over z\sqrt{1+{x^2\over y^2}+{x^2\over z^2}}}.\end{cases}$$

(На каждом шаге общий знак всей системы определяется знаком на предыдущем шаге той из производных, которая была максимальна по модулю.)

Ну, точность, конечно, не ахти, и придётся предусмотреть механизм автоматического выбора шага в зависимости от кривизны траектории, и немножко побороться с нулями знаменателей, и ловля конечной точки (которая по идее должна совпасть с начальной, но -- лишь по идее) тоже есть некоторая техническая проблема.

[alekcey]

***

[nn910]

ewert в сообщении #241106 писал(а):

Надо лишь привести её к нормальной форме:

$$\begin{cases}x'=\pm{1\over\sqrt{1+{x^2\over y^2}+{x^2\over z^2}}};\\ y'=\mp{x\over y\sqrt{1+{x^2\over y^2}+{x^2\over z^2}}};\\ z'=\mp{x\over z\sqrt{1+{x^2\over y^2}+{x^2\over z^2}}}.\end{cases}$$

Спасибо. Но я так понимаю что это не метод Драгилева , потому что тот хорошо борется с обнулением скорости при подходе к критической точке (видел результаты,но не все понял о процессе)

[alekcey]

***

[ewert]

alekcey в сообщении #241121 писал(а):

И, если есть желание разобраться, то почему возникают вопросы в разрез данной мною ссылки?

Потому, что ссылка идёт вразрез теме.