Формула для пифагоровых троек

[age]

Cave
Отнюдь. Доказательство от VAL не отвечает на главный вопрос темы, а могут ли быть другие решения?

Ведь вам же интересно узнать, есть ли другие решения или нет?

[Cave]

Мне неинтересно, я это знаю, как и остальные участники темы. Об этом и в Википедии написано, и вообще это фолклор. Мне привычнее доказательство через кольцо $\mathbb{Z}[i]$, но и справедливость рассказанного здесь не подвергаю сомнению. Опять же, как и остальные участники.

[age]

Cave
Вы знаете, я отвечу так:
Теорему Пифагора проходят в школе, кажется в 5-м классе. А понятие "кольцо" кажется совсем не проходят.
Объяснять пятикласснику со своими мудреными выкладками, кольцами, гауссовыми числами, что уравнение Пифагора не имеет других решений - это все равно что из пушки по воробьям стрелять! По-русски это называется одним словом - неадекват.
Если преподаватель вуза, профессор не может доказать что множество решений теоремы Пифагора единственно, не прибегая к выкладкам высшей математики - то дальше что? С помощью контурных интегралов пересматривать таблицу умножения? Вот отсюда все беды в науке (особенно в западной, в нашей еще не так). Что не зная элементарных вещей уровня 5-го класса, они начинают лезти в какие-то высшие их уму не постижимые материи!
Очевидно, что этот путь тупиковый и надо сперва пройти программу 5-класса, т.к. без знаний теоремы Пифагора бессмысленно изучать геометрию, физику и те же кольца и контурные интегралы с гауссовыми числами!

[Алексей К.]

Замечу, что задачу "объяснить пятикласснику" Вы в изначальном посте не ставили. И ежели кто-то привык к кольцам, и прочим "мудрёным выкладкам", то ему вовсе не обязательно спускаться к уровню пятиклассника, пока это явно не заказано.
Это не из пушки по воробьям. Это что-то другое, типа одним выстрелом десяток зайцев. Сразу одно утверждение, и другое (для пятиклассника --- вроде бы и совсем непохожее на первое) , третье, и десятое. Не вставая с дивана.
Мудрость не порок, а достижение. Да, идут к ней через теорему Пифагора и прочая, никто не спорит.
Сам, к сожалению, кольцами мыслить не научился, тоже пятиклассничаю по любому поводу.

Преподаватель вуза, профессор может доказать что множество "решений теоремы Пифагора единственно" (цитируется с сохранением всего), не прибегая к выкладкам высшей математики. И даже я могу. Просто здесь как-то получилось, что мы недостаточно мотивированы. Кому-то лень, у кого-то полный лес опят, кто-то не хочет за Вас читать книжки Школьных библиотечек, кому-то Ваш апломбик не по нраву.

[age]

Алексей К.
Ну я не знаю как вас мотивировать! Как!?

[Алексей К.]

Так я посмотрел внимательно --- доказательства-то были! А я на людей бочку лени качу... В промежутках между закладыванием в бочку очередного слоя опят...

[gris]

age, несущественное уточнение. Теорему Пифагора в обычной школе проходят в 8 классе.

[RIP]

Кстати, доказательство VALа здесь не совсем аккуратно. Он доказывает, что $(z+y)/2$ squareful, а не точный квадрат.

age
VAL не предполагает, что $(z\pm y)/2$ --- точные квадраты, а доказывает (правда, неверно ). А вот доказательство venco верно (по сути, это чуть более подробно расписанная и подправленная версия доказательства, предложенная VALом). Если Вы его не понимаете, то это Ваши проблемы, хотя и Ваше право. Любой толковый пятиклассник его поймёт...

[VAL]

RIP в сообщении #240763 писал(а):

Кстати, доказательство VALа здесь не совсем верно.

На "не совсем верно" не согласен! Согласен на "не совсем аккуратно"
Причем данную неаккуратность вижу давно, а не реагирую, поскольку age обвиняет меня совсем в другом.

Кстати, Ваши ссылки не открываются.

[RIP]

VAL в сообщении #240772 писал(а):

Кстати, Ваши ссылки не открываются.

Странно, у меня всё открывается.

[VAL]

RIP в сообщении #240775 писал(а):

VAL в сообщении #240772 писал(а):

Кстати, Ваши ссылки не открываются.

Странно, у меня всё открывается.

Действительно странно! Ибо они теперь и у меня открываются

[Gem]

venco в сообщении #239991 писал(а):

Выражаем все числа через :
.
Других решений для взаимно простых нет.

На мой взгляд, решение есть решение рассматриваемого уравнения.
Возможно, вот оно.
$x^2+y^2=z^2$
$x=d^{2q}\pm2c^kd^q$
$y=2c^{2k}\pm2c^kd^q$
$z=2c^{2k}+d^{2q}\pm2c^kd^q$
Решение найдено методом подстановки.
Параметры могут быть любыми, в том числе натуральными.
Некоторые параметры могут быть иррациональными-при целочисленности решений.
Наконец, параметры могут быть комплексными числами и даже комплексными функциями.

[TOTAL]

Gem в сообщении #315436 писал(а):

Возможно, вот оно.
$x^2+y^2=z^2$
$x=d^{2q}\pm2c^kd^q$
$y=2c^{2k}\pm2c^kd^q$
$z=2c^{2k}+d^{2q}\pm2c^kd^q$
Решение найдено методом подстановки.

$x=u^2-v^2$
$y=2uv$
$z=u^2+v^2$
Если сюда вместо $u$ и $v$ подставить что-нибудь, то получаемое решение не считается новым.