Почему парадокс Рассела - корректная формулировка?

[ewert]

epros в сообщении #240212 писал(а):

Здесь "включение" одной книги в другую интепретируется как наличие ссылки из второй на первую.

Это некорректно: наличие ссылки не имеет никакого отношения к включению. Конкретнее: если в книжке Иванова содержится ссылка на книжку Петрова -- то это вовсе не означает, что книжка Иванова (со всеми составляющими её символами) содержится в книжке Петрова, как и наоборот.

[epros]

vinfdsc в сообщении #240209 писал(а):

Всё зависит от точки зрения. Тут как бы замкнутый "порочный" круг: свойство не осмысленно, т.к. из этого свойства и определения нашего множества мы не можем вывести принадлежность этого свойства одному из объектов (а именно - нашему множеству).

Нет здесь никакого порочного круга. Свойство "содержать все множества, не содержащие себя", элементарно формализуется в языке исчисления предикатов первого порядка в виде следующей формулы $\varphi(x)$:
$\forall y ~ (y \notin y \leftrightarrow y \in x)$

В этой формуле нет ничего противоречивого (как вообще можно говорить о противоречивости ... формулы со свободной переменной?) И, как я уже говорил, есть непротиворечивая (предположительно) теория (NBG), в которой это свойство можно использовать для определения класса всех множеств, не содержащих себя:
$X := \{x ~ : ~ \varphi(x)\}$ (большими буквами обозначаются классы, а маленькими - множества).

vinfdsc в сообщении #240209 писал(а):

Тут есть определённая связь, конечно, с тем, с какой точки зрения подходит ко множеству (мы его конструируем, или оно уже есть). Но я, честно говоря, особо не знаком, что там у конструктивистов в математике творится... решают ли они этот вопрос как-то по особенному, или всё сводится к тем же аксиомам ZFC или NBG.

Насколько я знаю, - "по особому". Но некоторые считают, что они в итоге строят ту же теорию множеств...

-- Чт сен 03, 2009 17:44:04 --

ewert в сообщении #240216 писал(а):

epros в сообщении #240212 писал(а):

Здесь "включение" одной книги в другую интепретируется как наличие ссылки из второй на первую.

Это некорректно: наличие ссылки не имеет никакого отношения к включению. Конкретнее: если в книжке Иванова содержится ссылка на книжку Петрова -- то это вовсе не означает, что книжка Иванова (со всеми составляющими её символами) содержится в книжке Петрова, как и наоборот.

Это всё пустые слова. Хочу - интерпретирую значок $\in$ как "содержится", а хочу - как "имеется ссылка из". Суть парадокса от этого ни на йоту не изменится.

[rishelie]

vinfdsc в сообщении #240152 писал(а):

P.S. Товарищи, мне так никто и не ответил, где можно прочитать что-либо не про Цермело-Френкеля, а про NBG?

так про NGB по-моему в книжке Основания математики Гильберта и Бернайса как раз и можно почитать
жаль, что Вы торрент не любите

-- Чт сен 03, 2009 18:56:38 --

vinfdsc в сообщении #240134 писал(а):

По поводу "вкусных" книжек: какие из них вкусные?

на самом деле de gustibus et de coloribus non disputant, как говорили древние
Но там все вкусные. С точки зрения нашего вопроса я бы выделил Александрова, Архангельского, Гильберта, Клини, Колмогорова, Мендельсона...

[ewert]

epros в сообщении #240218 писал(а):

Хочу - интерпретирую значок $\in$ как "содержится", а хочу - как "имеется ссылка из". Суть парадокса от этого ни на йоту не изменится.

Не прокатит. Или Вы отождествляете отношение "элемент" с отношением "подмножество", или не отождествляете. Формальные системы получаются -- разные. Причём первая получается -- неудобоваримой.

rishelie в сообщении #240245 писал(а):

жаль, что Вы торрент не любите

а кто ж его любит?... наобещают -- чёрт-те чего, а выдают -- с гулькин... ну нос, допустим.

[rishelie]

vinfdsc в сообщении #240152 писал(а):

Ну это немного уже не то. Т.е. можно говорить о любом свойстве, а можно говорить о любом осмысленном свойстве. В общем, здесь, я так понимаю, всё дело в том, как математики сами хотят это понимать.

Математики хотят, чтобы то, что имеется ввиду, было ровно тем, что написано Без всяких там "толкований" и пояснений, как это принято в юриспруденции.

-- Чт сен 03, 2009 19:02:19 --

PS.

ewert в сообщении #240252 писал(а):

а кто ж его любит?... наобещают -- чёрт-те чего, а выдают -- с гулькин... ну нос, допустим.

недавно пару гигов книг скачал - очень доволен

[masha pupsic]

rishelie в сообщении #240245 писал(а):

vinfdsc в сообщении #240152 писал(а):

P.S. Товарищи, мне так никто и не ответил, где можно прочитать что-либо не про Цермело-Френкеля, а про NBG?

так про NGB по-моему в книжке Основания математики Гильберта и Бернайса как раз и можно почитать
жаль, что Вы торрент не любите

-- Чт сен 03, 2009 18:56:38 --

rishelie всех знатных неучей и пустобрехов в Бастилию и делу конец

[epros]

ewert в сообщении #240252 писал(а):

epros в сообщении #240218 писал(а):

Хочу - интерпретирую значок $\in$ как "содержится", а хочу - как "имеется ссылка из". Суть парадокса от этого ни на йоту не изменится.

Не прокатит. Или Вы отождествляете отношение "элемент" с отношением "подмножество", или не отождествляете.

Не отождествляю, ибо к парадоксу это не имеет никакого отношения. Мне даже странно, что Вы этого не понимаете.

ewert в сообщении #240252 писал(а):

Формальные системы получаются -- разные. Причём первая получается -- неудобоваримой.

Формальная система здесь одна: исчисление предикатов первого порядка с символом бинарного отношения $\in$. И в ней для следующей формулы:
$\varphi(x) \equiv \forall y ~ (y \notin y \leftrightarrow y \in x)$
без всяких дополнительных аксиом доказывается, что $\nexists x ~ \varphi(x)$.

Интерпретация бинарного отношения $\in$ для доказательства этого факта не имеет никакого значения: как мне удобно, так и интерпретирую. Хочу - как парадокс Рассела (с принадлежащими друг другу множествами), хочу - как парадокс брадобрея (с бреющими друг друга людьми), хочу - как парадокс библиотеки (со ссылающимися друг на друга книгами).

И парадокс в наивной теории множеств заключается только в том, что аксиома $\exists x ~ \varphi(x)$ оказывается противоречивой.

[vinfdsc]

epros в сообщении #240218 писал(а):

Нет здесь никакого порочного круга. Свойство "содержать все множества, не содержащие себя", элементарно формализуется в языке исчисления предикатов первого порядка

Ну для вас формализуется - для меня нет. В любом случае, парадокс Рассела показывает проблематичность неформализованной логики работы с множествами.

[epros]

vinfdsc в сообщении #240458 писал(а):

Ну для вас формализуется - для меня нет.

Стало быть Вы математику вовсе отвергаете. О чём тогда речь?

vinfdsc в сообщении #240458 писал(а):

В любом случае, парадокс Рассела показывает проблематичность неформализованной логики работы с множествами.

Наплевать на "неформализованную логику", мало ли у кого какие проблемы: если они не никак формализуются, значит это не проблемы математики, а проблемы Вашего собственного понимания.

[masha pupsic]

epros в сообщении #240431 писал(а):

ewert в сообщении #240252 писал(а):

epros в сообщении #240218 писал(а):

Хочу - интерпретирую значок $\in$ как "содержится", а хочу - как "имеется ссылка из". Суть парадокса от этого ни на йоту не изменится.

Не прокатит. Или Вы отождествляете отношение "элемент" с отношением "подмножество", или не отождествляете.

Не отождествляю, ибо к парадоксу это не имеет никакого отношения. Мне даже странно, что Вы этого не понимаете.

ewert в сообщении #240252 писал(а):

Формальные системы получаются -- разные. Причём первая получается -- неудобоваримой.

Формальная система здесь одна: исчисление предикатов первого порядка с символом бинарного отношения $\in$. И в ней для следующей формулы:
$\varphi(x) \equiv \forall y ~ (y \notin y \leftrightarrow y \in x)$
без всяких дополнительных аксиом доказывается, что $\nexists x ~ \varphi(x)$.

Интерпретация бинарного отношения $\in$ для доказательства этого факта не имеет никакого значения: как мне удобно, так и интерпретирую. Хочу - как парадокс Рассела (с принадлежащими друг другу множествами), хочу - как парадокс брадобрея (с бреющими друг друга людьми), хочу - как парадокс библиотеки (со ссылающимися друг на друга книгами).

И парадокс в наивной теории множеств заключается только в том, что аксиома $\exists x ~ \varphi(x)$ оказывается противоречивой.

Ну хорошо, с множеством Рассела там все ясно. Раз оно противоречиво, то нужно его просто выбросить и делу конец. А как же быть с Расселовской деревней Сослать всех жителей в Сибирь, только за то, что деревня оказалась противоречивой

[rishelie]

masha pupsic в сообщении #240512 писал(а):

Ну хорошо, с множеством Рассела там все ясно. Раз оно противоречиво, то нужно его просто выбросить и делу конец. А как же быть с Расселовской деревней Сослать всех жителей в Сибирь, только за то, что деревня оказалась противоречивой

Достаточно выслать несуществующего брадобрея ) И определить нового, непротиворечивого.
Или отнести его к другому сорту переменных

[masha pupsic]

rishelie в сообщении #240557 писал(а):

masha pupsic в сообщении #240512 писал(а):

Ну хорошо, с множеством Рассела там все ясно. Раз оно противоречиво, то нужно его просто выбросить и делу конец. А как же быть с Расселовской деревней Сослать всех жителей в Сибирь, только за то, что деревня оказалась противоречивой

Достаточно выслать несуществующего брадобрея ) И определить нового, непротиворечивого.
Или отнести его к другому сорту переменных

Я уже говорила, что так думали очень давно, потому что наличие отрицания вводит в заблуждение, но природа парадоксов не связана с отрицанием. Это стало ясно после того как Карри предложил свой знаменитый парадокс, который теперь носит его имя.

[ewert]

epros в сообщении #240431 писал(а):

Не отождествляю, ибо к парадоксу это не имеет никакого отношения. Мне даже странно, что Вы этого не понимаете.

Почему только я? Вот и сам Рассел этого тоже не понимал. Иначе бы не пытался разрешить свой парадокс с помощью "теории типов". Суть которой как раз и состоит в том, что множества и их элементы относятся к разным категориям и, следовательно, множество не может быть своим элементом -- в принципе не может.

[epros]

masha pupsic в сообщении #240570 писал(а):

природа парадоксов не связана с отрицанием

Это странно. Насколько я понимаю, парадокс Карри заключается в выводе неправдоподобного утверждения. Но как можно установить, что утверждение НЕправдоподобно, не использовав отрицания?

-- Пн сен 07, 2009 15:36:01 --

ewert в сообщении #240703 писал(а):

epros в сообщении #240431 писал(а):

Не отождествляю, ибо к парадоксу это не имеет никакого отношения. Мне даже странно, что Вы этого не понимаете.

Почему только я? Вот и сам Рассел этого тоже не понимал. Иначе бы не пытался разрешить свой парадокс с помощью "теории типов". Суть которой как раз и состоит в том, что множества и их элементы относятся к разным категориям и, следовательно, множество не может быть своим элементом -- в принципе не может.

Причём тут это? Это - способ решения парадокса, но это не значит, что интерпретация отношения $\in$ имеет какое-то значение для существования парадокса. Теория типов накладывает ограничения на применение кванторов - они применяются к объектам только определённого типа. Например, говоря "все книги" в парадоксе библиотеки, мы должны подразумевать тип книг "из библиотеки". Каталог же всех книг библиотеки, не содержащих ссылок на себя, оказывается объектом другого типа - книгой, но не из библиотеки. В таковом качестве он вполне может существовать.

Какое это имеет отношение к тому, может ли множество быть своим элементом? Книга библиотеки может содержать ссылку на себя. И в теории гипермножеств гипермножество может быть своим элементом. Парадокса это никак не касается.

[rishelie]

Надо было вместо $\in$ какую-нить звездочку нарисовать