Почему парадокс Рассела - корректная формулировка?

[ZVS]

vinfdsc писал(а):

Почему математики считают, что парадокс Рассела показывает, что нельзя определять множество как совокупность всех объектов, которые обладают неким свойством?
Почему они не считают, что он показывает какое-то другое противоречие?

"Другое"- это противоречие между некими уже ВСЕГДА определенными сущностями, типа элемент,множество и т. п. и тем, что приходится строить, выводить ПОСЛЕ.А признать, что есть нечто ДО и нечто ПОСЛЕ,значит похоронить их равнозначимость.А это полный П. для принятой системы построения теории.
P.S.Впрочем, есть еще вариант:"Это слишком сложно для цирка".(С)

[rishelie]

epros в сообщении #239849 писал(а):

Не-а, про "заранее" ничего не сказано (Вы здесь рассуждаете прямо-таки в конструктивистком ключе - прежде, чем говорить об объекте, намекаете на необходимость сначала сконструировать его из того, что есть "заранее").

Да, я, кажется, понял, что меня сбило.
В парадоксе Расселла мы имеем дело всего с одним сортом объектов - множествами. И всякая определяемая совокупность может быть только множеством и ничем иным. В парадоксе брадобрея мы тоже априори полагаем, что имеем дело только с одним сортом объектов - людьми. Поэтому все, что мы определяем, является человеком, который может либо брить сам себя, либо нет. Терциум нон датур, как говорится.
Здесь же Вы сразу ввели понятие каталога и книги. И если определямая сущность не может быть книгой (ввиду парадокса), то ее естественно объявить каталогом
Поэтому, говоря про заданность книг, я, видимо, интуитивно имел ввиду вопрос - а все ли объекты, которые мы можем логически задать, являются книгами?

-- Ср сен 02, 2009 22:22:46 --

vinfdsc в сообщении #239858 писал(а):

Почему не содержит?
По сути у нас есть выражение $x\in Y\Longleftrightarrow x\notin x$, при подстановке в это выражение $x=Y$ явно получаем выражение со самоссылочностью $Y\in Y\Longleftrightarrow Y\notin Y$

Вам бы почитать про формальные теории
У нас на самом деле есть выражение $(\forall x)(x\in Y\Longleftrightarrow x\notin x)$. Здесь $x$ является связанной переменной, стоящей под квантором. Вместо нее можно ставить любую другую переменную, но не символ конкретного множества. А $Y$ у нас определен именно как обозначение для некоторого конкретного множества, т.е. $Y$ - это символ-константа, который не может стоять под квантором.
То же самое относится к терму-квантору $\{x:\;x\notin x\}$. Здесь $x$ - связанная переменная, и вместо нее нельзя ставить символ-константу.
Однако, сняв квантор в определении $Y$, мы можем получить частное суждение о множестве $Y$ (которое выше определено выражением с квантором):
$Y\in Y\Longleftrightarrow Y\notin Y$
То есть из определения $Y$ мы вывели данное противоречие для множества $Y$.
Но это - совсем не то же самое, что определение $Y$ с помощью выражения с квантором.

-- Ср сен 02, 2009 22:30:24 --

vinfdsc в сообщении #239886 писал(а):

Почему математики считают, что парадокс Рассела показывает, что нельзя определять множество как совокупность всех объектов, которые обладают неким свойством?
Почему они не считают, что он показывает какое-то другое противоречие?

Потому что, когда задается формализм наивной теории, все, что у нас имеется - это множества, отношение принадлежности и способ определения множеств с помощью формул с единственной атомарной формулой принадлежности. Если множества и принадлежность - это синтаксис теории, то наличие в ней парадокса может быть связано либо с аксиомами (которых в наивной теории нет), либо с правилами построения термов (термы - это выражения, относящиеся к обозначениям объектов теории).
Таким образом, парадокс Расселла говорит о том, что с построениями термов беда - нельзя их так строить, без ограничений.
С точки зрения интуиции этот парадокс означает, что множества нужно просто более аккуратно задавать, что и делает ${\rm ZF}$.

[epros]

rishelie в сообщении #239933 писал(а):

Здесь же Вы сразу ввели понятие каталога и книги. И если определямая сущность не может быть книгой (ввиду парадокса), то ее естественно объявить каталогом
Поэтому, говоря про заданность книг, я, видимо, интуитивно имел ввиду вопрос - а все ли объекты, которые мы можем логически задать, являются книгами?

Да, как я понимаю, в этом как раз и заключена проблема: Мы интуитивно хотим считать "книгами" всё, что содержит записи любого рода, но это не получается, ибо приводит к парадоксам. Некоторые книги, оказывается, не могут существовать в силу самого своего определения.

Обозвать список ссылок на все книги, не содержащие ссылок на себя, "каталогом" - это по-существу проблемы не решает, ибо мы все прекрасно понимаем, что по своей сути он всё равно "книга". Просто определение этой книги противоречиво, так что существовать она не может (если не уточнить определение).

[vinfdsc]

rishelie в сообщении #239933 писал(а):

Вам бы почитать про формальные теории

Что именно вы посоветуете? желательно, наличествующее в интернете....

rishelie в сообщении #239933 писал(а):

То же самое относится к терму-квантору $\{x:\;x\notin x\}$. Здесь $x$ - связанная переменная, и вместо нее нельзя ставить символ-константу.
Однако, сняв квантор в определении $Y$, мы можем получить частное суждение о множестве $Y$ (которое выше определено выражением с квантором):

Да, мне сейчас примерно тоже пытаются объяснить на другом форуме. В общем, согласен с этим. Но здесь есть два вопроса:
1. Почему я не могу разложить определение множества на два, как я сделал выше $Y = \left\{ \begin{array}{l}x \notin x,\;x\notin B\\ x \notin B,\; x \in B,\end{array} \right \; Y \in B$ (кажется уже дошло - потому что противоречие опять нужно выводит, я прав?)
2. Почему я имею право использовать операцию принадлежности в этом самом кванторе?
Грубо говоря, подразумевал ли Кантор, что при определении функции принадлежности к множеству

принадлежитКМножествуY(x)
{
    f(x)
}

мы можем использовать всякую функцию, или он подразумевал, что мы, всё же, не можем использовать функцию, которая приведёт к зацикливанию алгоритма?
Т.е. по-сути, я так понимаю, математики ставят своей задачей найти такую общую систему задания, при которой алгоритм никогда не зациклится, какую-бы чушь туда не писали, лишь бы только f была бы синтаксически правильным алгоритмом?

rishelie в сообщении #239933 писал(а):

С точки зрения интуиции этот парадокс означает, что множества нужно просто более аккуратно задавать, что и делает ${\rm ZF}$.

Ну да, именно методика задания множества меня и интересует. Можно вопрос, а где прочитать, как эта проблема решается в ZF и NBG? Лучше, если ссылкой на книгу в интернете или на форумную тему. Сам я что-то ничего подходящего не видел
Насколько я понимаю, кроме парадокса Рассела, в соотв. способе построений нет изъянов?

-- Чт сен 03, 2009 13:47:37 --

Правильно ли я понимаю, что парадокс Рассела не указывает, по сути, на какие-либо ошибки наивной теории, но указывает на недопустимо низкий уровень аппарата обозначений теории, с помощью которого невозможно в явном определить наличие противоречивости в некоей формуле?

Тогда позволяет ли какая-либо другая теория это делать?

[epros]

vinfdsc в сообщении #240082 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что парадокс Рассела не указывает, по сути, на какие-либо ошибки наивной теории, но указывает на недопустимо низкий уровень аппарата обозначений теории, с помощью которого невозможно в явном определить наличие противоречивости в некоей формуле?

Противоречива не "некая формула", а аксиома наивной теории, утверждающая, что для любого свойства $\varphi(x)$ можно собрать множество объектов, обладающих этим свойством. Рассел указал пример свойства (вполне разумного), для которого нельзя собрать множество.

vinfdsc в сообщении #240082 писал(а):

Тогда позволяет ли какая-либо другая теория это делать?

Никакая теория не определяет собственную противоречивость.

[vinfdsc]

epros в сообщении #240094 писал(а):

Противоречива не "некая формула", а аксиома наивной теории, утверждающая, что для любого свойства $\varphi(x)$ можно собрать множество объектов, обладающих этим свойством. Рассел указал пример свойства (вполне разумного), для которого нельзя собрать множество.

А, т.е. есть такая аксиома в наивной теории множеств? А где это написано, есть какая-либо литература (жел, в интернете), где точно об этом сказано? Тогда, конечно, совсем другое дело.

epros в сообщении #240094 писал(а):

vinfdsc в сообщении #240082 писал(а):

Тогда позволяет ли какая-либо другая теория это делать?

Никакая теория не определяет собственную противоречивость.

Я не говорю про собственную противоречивость. Я говорю про противоречивость (ложность или некорректность) утверждения в рамках теории.

[rishelie]

vinfdsc в сообщении #240082 писал(а):

Что именно вы посоветуете? желательно, наличествующее в интернете....

Мне в свое время вот эти понравились:
Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Введение в математическую логику.djvu
Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Математическая логика. Дополнительные главы.djvu
Есть на торренте: http://torrents.ru/forum/viewtopic.php?t=1911252

vinfdsc в сообщении #240082 писал(а):

1. Почему я не могу разложить определение множества на два, как я сделал выше $Y = \left\{ \begin{array}{l}x \notin x,\;x\notin B\\ x \notin B,\; x \in B,\end{array} \right \; Y \in B$ (кажется уже дошло - потому что противоречие опять нужно выводит, я прав?)

Честно говоря, я не понимаю. что здесь написано Если Вы хотите множество $Y$ определить как объединение двух каких-то множеств, то определите сначала их. А то у вас $Y$ напоминает определение функции...

vinfdsc в сообщении #240082 писал(а):

Почему я имею право использовать операцию принадлежности в этом самом кванторе?

нет такой операции принадлежности. есть атомарная формула (грубо говоря, это функция со значениями Истина/Ложь)

vinfdsc в сообщении #240082 писал(а):

Грубо говоря, подразумевал ли Кантор, что при определении функции принадлежности к множеству

что такое функция принадлежности ко множеству? - см. предыдущую строку. это вообще неопределяемое понятие в теории множеств. вернее, оно определяется набором аксиом ${\rm ZF}$.

vinfdsc в сообщении #240082 писал(а):

Т.е. по-сути, я так понимаю, математики ставят своей задачей найти такую общую систему задания, при которой алгоритм никогда не зациклится, какую-бы чушь туда не писали, лишь бы только f была бы синтаксически правильным алгоритмом?

Алгоритмы - это вообще из другой оперы Вы, наверное, программист? Тогда вспомните язык Paradox... Примерно так же надо работать с теорией множеств.
Представьте себе, что все множества заданы, существуют независимо от того, что мы там с ними делаем. Мы не строим их, а находим - две большие разницы Определение множества некоторой формулой - это не метод его построения, а требование к нему - хочу, чтоб такое множество было, и все тут! Потом уже можно доказывать, существует оно или нет.

vinfdsc в сообщении #240082 писал(а):

Ну да, именно методика задания множества меня и интересует.

Вот в наивной-то теории множеств как раз и нет никакой методики, откуда и парадокс вылез.
А в ZF предлагается строить множества, начиная с пустого по ряду правил, записанных в виде аксиом. Ну и плюс аксиома бесконечного множества, аксиома выделения (в более сильной форме - подстановки).
Читать все это можно в тех же книжках? либо вот еще вкусные книжки:
http://torrents.ru/forum/viewtopic.php?t=363938
Можете также Коэна поискать, но это уже будет трудновато с наскока освоить, на мой взгляд.

[vinfdsc]

Спасибо. Колмогорова/Драгалина нашёл в инете в переиздании "Математическая логика", насколько я понримаю, это обе книги сразу (торрент мне не подходит).

По поводу "вкусных" книжек: какие из них вкусные? Я вот например, кажется, "Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию" читал - там ничего сугубо аксиоматического нет. Он просто рассказывает теорию множеств по-сути вообще без введения чёткой аксиоматики... причём, он даже там ругается прямыми словами, что мол, если всё делать как надо, не использовать бессмысленных понятий по типу "множество всех множеств", то, мол, никаких парадоксов не возникает.

P.S. По поводу paradox - я не знаю такого. Но, вообще-то, в программировании всегда прежде чем что-то найти, нужно построить. Но я, кажется, вас понял, хотя с моей точки зрения найти и есть построить.

[epros]

vinfdsc в сообщении #240098 писал(а):

epros в сообщении #240094 писал(а):

Противоречива не "некая формула", а аксиома наивной теории, утверждающая, что для любого свойства $\varphi(x)$ можно собрать множество объектов, обладающих этим свойством. Рассел указал пример свойства (вполне разумного), для которого нельзя собрать множество.

А, т.е. есть такая аксиома в наивной теории множеств? А где это написано, есть какая-либо литература (жел, в интернете), где точно об этом сказано? Тогда, конечно, совсем другое дело.

Насколько я знаю, в качестве аксиомы формальной теории (точнее, в исчислении предикатов первого порядка это будет схема аксиом) этого никто всерьёз на предлагал. Последователи "домыслили" её за Кантора, изучив то, что он писал о множествах. Сам Кантор, насколько я знаю, формализацией теории множеств никогда не занимался и даже книжку свою назвал не "теорией", а "учением" о множествах. Но какие-то слова про то, что множества можно собирать по любым свойствам, там наверное были.

vinfdsc в сообщении #240098 писал(а):

epros в сообщении #240094 писал(а):

Никакая теория не определяет собственную противоречивость.

Я не говорю про собственную противоречивость. Я говорю про противоречивость (ложность или некорректность) утверждения в рамках теории.

Мне непонятно что Вы имеете в виду. В языке практически любой теории можно сформулировать ложное утверждение. Например, если $a=b$ - это аксиома теории, то $a \ne b$ в этой теории будет опровержимым (т.е. ложным с её точки зрения) утверждением. Никакой проблемы или "противоречия" в этом нет.

Когда говорят о противоречивости, обычно имеют в виду какую-то теорию (систему аксиом). Например, если в теории есть две аксиомы: $a=b$ и $a \ne b$, то эта теория - противоречивая. Наивная теория множеств - тоже противоречивая теория.

[vinfdsc]

epros в сообщении #240145 писал(а):

Но какие-то слова про то, что множества можно собирать по любым свойствам, там наверное были.

Ну это немного уже не то. Т.е. можно говорить о любом свойстве, а можно говорить о любом осмысленном свойстве. В общем, здесь, я так понимаю, всё дело в том, как математики сами хотят это понимать.

vinfdsc в сообщении #240098 писал(а):

Мне непонятно что Вы имеете в виду. В языке практически любой теории можно сформулировать ложное утверждение. Например, если $a=b$ - это аксиома теории, то $a \ne b$ в этой теории будет опровержимым (т.е. ложным с её точки зрения) утверждением. Никакой проблемы или "противоречия" в этом нет.

Я имею в виду, что математикам хотелось бы, чтобы нельзя было записать в синтаксисе теории утверждение, которое невозможно было бы вычислить в смысле одновременного отсутствия или наличия обоих доказательств: ложности и истинности утверждения. Насколько я понимаю, именно для этого и ведётся совершенствование теории.



P.S. Товарищи, мне так никто и не ответил, где можно прочитать что-либо не про Цермело-Френкеля, а про NBG?
Или про какие-то другие системы аксиом или подходы к построению теории множеств. Или вообще про общие подходы, которые используются при построении таких систем аксиом (т.е. как их строят, если это вообще как-то алгоритмизируется)
У Колмогорова, вроде бы, только про ZF.

[epros]

vinfdsc в сообщении #240152 писал(а):

можно говорить о любом свойстве, а можно говорить о любом осмысленном свойстве

Дело в том, что свойство "содержит все множества, не содержащие себя" - вполне "осмысленно". (Я приводил вариант интерпретации с книгами: Что особенного в свойстве "содержать ссылки на все книги, не содержащие ссылок на себя"?)

Фокус только в том, что по этому свойству никак нельзя построить множество (или в другой интерпретации - книгу). А вот в NBG, например, по этому свойству можно построить класс.

Цитата:

Я имею в виду, что математикам хотелось бы, чтобы нельзя было записать в синтаксисе теории утверждение, которое невозможно было бы вычислить в смысле одновременного отсутствия или наличия обоих доказательств: ложности и истинности утверждения.

Существование уверждения, которое одновременно опровержимо и доказуемо, по определению и означает противоречивость теории. Согласно правилам стандартного исчисления высказываний в такой теории автоматически становится доказуемым любое высказывание.

[ewert]

epros в сообщении #240184 писал(а):

Дело в том, что свойство "содержит все множества, не содержащие себя" - вполне "осмысленно".

Но только если отождествить понятие "включение как элемент" с "включением как подмножество". Что не есть хорошо. Ровно что парадокс Рассела и демонстрирует.

Кстати, вокруг этого парадокса витает некоторое недоразумение. Якобы он запрещает "множество всех множеств" вообще. Так нет же, оно там вовсе и не упоминается.

[Xaositect]

vinfdsc в сообщении #240152 писал(а):

P.S. Товарищи, мне так никто и не ответил, где можно прочитать что-либо не про Цермело-Френкеля, а про NBG?

Мендельсон, Введение в математическую логику. Но этот учебник написан с большим упором на формализм.

[vinfdsc]

Xaositect в сообщении #240201 писал(а):

Мендельсон, Введение в математическую логику. Но этот учебник написан с большим упором на формализм.

Спасибо, я его как раз как-то заодно скачал, действительно там это дело обсуждается. Будем надеяться, что я пойму что там и как

epros в сообщении #240184 писал(а):

Дело в том, что свойство "содержит все множества, не содержащие себя" - вполне "осмысленно". (Я приводил вариант интерпретации с книгами: Что особенного в свойстве "содержать ссылки на все книги, не содержащие ссылок на себя"?)

Всё зависит от точки зрения. Тут как бы замкнутый "порочный" круг: свойство не осмысленно, т.к. из этого свойства и определения нашего множества мы не можем вывести принадлежность этого свойства одному из объектов (а именно - нашему множеству).

Тут есть определённая связь, конечно, с тем, с какой точки зрения подходит ко множеству (мы его конструируем, или оно уже есть). Но я, честно говоря, особо не знаком, что там у конструктивистов в математике творится... решают ли они этот вопрос как-то по особенному, или всё сводится к тем же аксиомам ZFC или NBG.

Всем спасибо, я в общем и целом понял позицию по парадоксу Рассела в той степени, что меня интересовала. Буду изучать указанную литературу

[epros]

ewert в сообщении #240188 писал(а):

Но только если отождествить понятие "включение как элемент" с "включением как подмножество". Что не есть хорошо. Ровно что парадокс Рассела и демонстрирует.

Не согласен. Интерпретация отношения включения не имеет никакого значения, ровно что и продемонстрировано в интерпретации "парадокс библиотеки": Здесь "включение" одной книги в другую интепретируется как наличие ссылки из второй на первую.

Понятное дело, что ZFC в явном виде запрещает включение множества в себя в качестве элемента (аксиома фундирования). Но есть варианты теории, рассматривающие гипер-какие-то там множества, не удовлетворяющие аксиоме фундирования. Так вот, там с непротиворечивостью вроде бы пока всё в порядке.