Вновь о выражении 0^0

[ewert]

Коровьев в сообщении #233605 писал(а):

Ноль означает не число, а отсутствие числа. Мне это определение нравится.

Напрасно, и методологически напрасно. Ноль -- это именно число, в стандартной парадигме расширения числовых множеств.

[arseniiv]

Вот и аргументация: $0 \in {\Bbb Z}$

[Yarkin]

Коровьев в сообщении #232884 писал(а):

В реалии $0^0$ не может появится ни с того ни с сего. Только в каких нить теоретических выкладках. Но тогда из контекста будет ясно как устремляются к нулю основание и показатель, по каким функциям, критериям и это выражение обретёт своё истинное для данного случая значение. Аналогично
$\frac{0}{0}$ или $0*\infty$.

Причем устремление для конкретного выражения? Два взаимодействующих объекта не превращаются в ничто (доказал М. Ломоносов) и кадый объект не стремится в ничто. Математический ноль - абстракция, не увязанная ни с химией, ни с физикой.

[Vallav]

naiv1 в сообщении #232556 писал(а):

Интересно, почему нет "заранее оговорённых правил" для $0^0$? Чем оно отличается от других?

Тем, что в алгебраическом поле нет обратного элемента относительно умножения
для нулевого элемента.

[Alexey Romanov]

ewert в сообщении #233568 писал(а):

Почему отсутствие какого бы то ни было отображения (ну или наоборот -- пригодность какого бы то ни было, не важно, дело вкуса) -- должно помечаться именно как "единственность"?...

1) У любой функции $f$ есть область определения $dom~ f$ и правило, по которому для любого значения $x \in dom~ f$ строится значение $f(x)$. $f$ называется функцией из $A$ в $B$ (обозначаем $f : A \rightarrow B$), если $dom~ f = A$ и $\forall x \in dom~ f ~ f(x) \in B$.
2) Функции $f$ и $g$ называются равными, если равны их области определения и $\forall x \in dom~ f ~ f(x) = g(x)$.
3) Отображения из $\varnothing$ в $\varnothing$ существуют: область определения $\varnothing$, а правило можно взять любое. $\forall x \in \varnothing ~ f(x) \in varnothing$ доказывается тривиально.
4) Возьмём любые функции $f, g : \varnothing \rightarrow \varnothing$. $\forall x \in \varnothing ~ f(x) = g(x)$ доказывается тривиально. Таким образом, $f = g$.
5) 3 и 4 вместе означают, что функция из $\varnothing$ в $\varnothing$ существует и единственна.
Заметьте, что доказательство чисто конструктивное. Нам вовсе не требуется принимать, что функции -- множества пар.

ewert в сообщении #233577 писал(а):

отождествлять $0^0$ и $1^1$ -- абсурдно. Пусть и хучь как множества пар

А кто их отождествляет? В стандартной системе получается $0^0 = \varnothing^\varnothing= \{\varnothing\}$, а $1^1 = \{\varnothing\}^{\{\varnothing\}} = \{(\varnothing, \varnothing)\} = \{ \{\varnothing, \{\varnothing\}\}\} \neq \{\varnothing\}$. Функция и там, и там одна, но функции эти разные, поскольку у них разные области определения.

[Yarkin]

ewert в сообщении #233610 писал(а):

Ноль -- это именно число, в стандартной парадигме расширения числовых множеств.

Самое молодое и наиболее уважаемое.

[age]

Степень всегда сильнее основания. Это показывает график функции $x^x$.
$\lim\limits_{x\to0}{x^x}=1$.

[Yarkin]

Alexey Romanov в сообщении #233635 писал(а):

В стандартной системе получается $0^0 = \varnothing^\varnothing= \{\varnothing\}$, а $1^1 = \{\varnothing\}^{\{\varnothing\}} = \{(\varnothing, \varnothing)\} = \{ \{\varnothing, \{\varnothing\}\}\} \neq \{\varnothing\}$. Функция и там, и там одна, но функции эти разные, поскольку у них разные области определения.

Зачем для определения значения констант превращать их в функции? На парактике этим не воспользуешься.

[ewert]

age в сообщении #239309 писал(а):

Степень всегда сильнее основания. Это показывает график функции $x^x$.
$\lim\limits_{x\to0}{x^x}=1$.

Да? А $\lim\limits_{x\to0}\left|{1\over\ln x}\right|^x$ тоже равен единице?

[Heller]

Занимаетесь какой-то казуистикой. Я видел в различных текстах различные трактовки $0^0$ - где-то это ноль, где-то единица. Единственное соображение - удобство в конкретном случае.

Заметьте так же, что в общем-то в каждой области математики свои представления о многих вещах. Например, алгебраисты рассматривают линейные дифференциальные формы вообще безотносительно понятия "производная" как то трактуют люди, занимающиеся анализом. Вы же к ним не пристаете с негодующими возгласами: "Да ты не правильно определяешь производную!!!". Это я к тому, что приводя в одном обсуждении соображения из анализа, и тут же приводя чисто алгебраические рассуждения вы вряд ли к чему-то придете в силу того, что сам объект исследования не является каким-либо однозначным понятием. Если уж пытаться построить какие-то строгие доказательство, то надо для начала строго договориться о тех правилах, которыми мы располагаем. Например, я не очень понимаю что такое ^\log{0^0}^ - для начала надо хотя бы доказать, что такое понятие как логарифм вообще существует и выяснить его область определения на рассматриваемом множестве. Может быть после этого будет яснее, чему это равно. Про деления, проскакивавшие здесь - вообще ужас. (Туда же относятся и попытки возведения 0^{0^0}).

[Nxx]

Yarkin в сообщении #239307 писал(а):

ewert в сообщении #233610 писал(а):

Ноль -- это именно число, в стандартной парадигме расширения числовых множеств.

Самое молодое и наиболее уважаемое.

Готов поспорить, что мнимая единица моложе.

[ewert]

Heller в сообщении #245429 писал(а):

Единственное соображение - удобство в конкретном случае.

Единственно возможное удобство -- принять, что это может быть что угодно, в зависимости от контекста.

Heller в сообщении #245429 писал(а):

Например, алгебраисты рассматривают линейные дифференциальные формы вообще безотносительно понятия "производная"

Алгебраисты -- вообще люди несколько странные. Но, зная некоторых алгебраистов -- скажу, что всё же не настолько. Даже и для них дифформы -- суть бесконечно малые приращения, и лишь потом уж -- какие-то абстрактные перевёрнутые галочки.

Nxx в сообщении #245437 писал(а):

Готов поспорить, что мнимая единица моложе.

Нет, всё же вряд ли. Мнимой единичке -- что-то порядка пятисот лет, а ноль -- пусть и не очень намного, но всё же старше.

[Nxx]

Цитата:

Нет, всё же вряд ли. Мнимой единичке -- что-то порядка пятисот лет, а ноль -- пусть и не очень намного, но всё же старше.

О чем я и говорю.

[ewert]

А, я не врубился. Но тогда поспорю в обратную сторону: ноль, хоть и моложе старше мнимой единички -- но не намного. Как ни странно.

---------------------------------------------
Проблема в том, что по нонешним временам путается терминология: "младшие/старшие версии".

[STilda]

Для выражения $0^0$ проблема в следующем.
Многие не задумываются над различием между натуральным числом и положительным числом. Но различие есть существенное. Посмотрите как вводится степень:
1. $a^n$ при натуральных $n$ означает умножить $a$ на само себя $n$ раз. Вдумайтесь. Два раза, три раза, пять раз. НЕ плюс два раза, НЕ плюс три раза. Что такое плюс три раза? Что такое минус три раза? Такого не бывает. Это бессмыслица. Нельзя подпрыгнуть плюс два раза. Можно подпрыгнуть два раза. Это натуральные разы.
2. Потом говорится, ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ БУДЕМ ОБОЗНАЧАТЬ $a^{-n},n>0$ произведение $1/a$ $n$ раз само на себя. Тут мы вводим определение для отрицательных чисел, но на самом деле мы не ввели для положительных! мы ввели для натуральных! Но как то (не честно) заменили положительное $+n$ на натуральное $n$ и прокатило.
3. Дальше пошли замахиваться на возведение комплексного числа в комплексную степень. Вот тут и накрыли нас проблемы. Теперь не отмахнуться. Появилась проблема именно в виде вопроса: "Что такое $(+5)^i$?", "Что такое $(-1)^i$?", "Что такое $i^i$". А почему же пропустили вопросы: "Что такое $(-1)^{-1}$?", "Что такое $(+1)^{+1}$?". Не разные ли это вопросы возвести в натуральную степень и возвести в положительную (отрицательную,мнимую) степень? Я думаю это совсем разные действия. Именно по этим причинам возникла проблема с $0^0$. Ноль - это не натуральное число. Ноль стоит в одном ряду с положительностью, отрицательностью, мнимостью (это элемент группы сложения). Потому нельзя рассматривать никакие пределы и никак нельзя вывести чему оно равно $0^0$.

$0^0$, $(-1)^i$, (+1)^{+1}, $(-1)^{-1}$, $0^{-1}$, $0^{-i}$ - все это требует АКСИОМАТИЧЕСКОГО определения.

Возьмите для еще одного примера операцию умножения целых чисел. В ней так же на самом деле две операции. Одна - количественная, вторая - качественная. Один вопрос, это когда мы умножаем на натуральное число, тоесть складываем какое-то число раз объект сам с собой. Другое дело, когда мы умножаем положительные и отрицательные числа друг с другом. Одно - $3*4=3+3+3+3$. Второе - $(-3)*(+4)=(-1)*(+1)*3*4$. Но правила умножения $(-1)*(+1), (-1)*(-1),(+1)*(+1)$ мы ведь задали аксиомами!
Точно также мы должны поступить для возведения в степень: $(+4)^{+2}=(+1)^{+1}*4^2$, $(-3)^{+2}=(-1)^{+1}*3^2$, $(5i)^{-2i}=i^{-i}*5^2$, $(+4)^{0*1}=(+1)^0*4^1$, $(0*1)^{3i}=0^i*1^3$.

Тоесть всего ничего: имеем элементы $0,(+),(-),(i),(-i)$, имеем операцию ^, нужно определить группу.