Я предполагаю наиболее общий вариант - что функции в принципе могут быть любыми: не обязательно аналитическими (и не обязательно бесконечно дифференцируемыми).
А на основании чего вы его предполагаете? В физике класс функций обычно полагается значительно уже: и достаточно дифференцируемоые, и интегрируемые, и с неким убыванием на бесконечности...
Т. е., значения функции в двух разных точках могут вообще не зависеть друг от друга, как бы близко друг от друга эти точки ни располагались.
А это, увы, реальность, а не деталь модели. Кстати, обнаруживаемая не во всех ситуациях.
В дискретной математике этот общий вариант не вызывает затруднений.
Вызывает, только другие, о которых вы пока по незнанию не догадываетесь.
В непрерывной математике мы вынуждены накладывать ограничения на все функции - предполагать их дифференцируемость (и существование ненаблюдаемых "сколь угодно малых" величин) - чтобы можно было воспользоваться дифференциальными методами.
Нет. По сути, эти ограничения нужны, чтобы решать задачи. А задачи останутся теми же самыми, работаете вы с моделью на континууме или на сетке. Так что отбросить их не удастся. Просто перевернуть другой стороной вверх, обычно - некрасивой.
Кто-нибудь когда-нибудь рассматривал возможность существования чисто дискретного матаппарата физики?
Слушайте, эта идея - банальность, и торчит столбом посреди поля со времён Ньютона-Лейбница, изобретателей дифференциально-интегрального исчисления. Об неё все спотыкаются. Понимаете? Все. И все набивают шишки на этом пути. Теперь приходите вы, ни разу не натерев мозолей на реальном составлении мало-мальских уравнений, и заявляете, что так будет лучше. Да не будет. Гарантированно. Будут те же песни, только с другим акцентом. И совершенно немотивированная деталь моделей, болтающаяся сбоку, как пятая нога, вынуждающая обращать на себя внимание, но не приносящая никакой пользы делу.
Всё.