Полное решение континуум-проблемы

[Инт]

rishelie в сообщении #236587 писал(а):

2. Показали, что $C_1$ с введенным порядком $\aleph_1$-насыщенное (иначе говоря, счетно насыщенное).

Как раз $B$ является счётно насыщенным, а гиперконтинуум $C_1$ нет. Поскольку, в $C_1$ существуют точки типа 10 и 01, которые дают счётные дырки. Это в дополнение к моему предыдущему ответу Вам.

Точки типа 01 и 10, т.е. множества 1T0 и 0T1 в объединении дают точки множества, которое я называю каркасом, так как при монотонных непрерывных отображениях гиперконтинуума в себя, точки каркаса переходят в точки каркаса. Аналога такому множеству-каркасу на действительной прямой нет.

[Someone]

Инт в сообщении #237034 писал(а):

гомеоморфизм

Чем Вам не нравится буква "е"?

Инт в сообщении #237034 писал(а):

Можно считать, что $m$ есть прямой отрезок, проходящий из точки $O$ в точку $M$.

Я эту линию так и определил.

Инт в сообщении #237034 писал(а):

Если необходимо, то $m$ выпрямляется до такого отрезка.

Вообще говоря, при таком "выпрямлении" получается линия, не эквивалентная первоначальной линии $m$. Это либо нарушит отношение порядка между А и Б, либо даст задачу, не равносильную первоначальной, и из её решения не будет следовать решение первоначальной задачи. Поэтому это сделать нельзя.

Инт в сообщении #237034 писал(а):

Так же считаем, что линии $l_{\nu}$ суть строго возрастающие и гладкие функции от аргумента $r$ (напомню, что $\varphi$ растёт слева направо).

В построенном мной семействе А функции возрастающие, но не гладкие.

Инт в сообщении #237034 писал(а):

Если необходимо, то заменяем $l_{\nu}$ на гладкие строго возрастающие функции $s_{\nu}$ такие, что для каждого $\nu$ будет $l_{\nu}$ -< $s_{\nu}$ -< $m$.

Это возможно не для любого семейства. Кроме того, нужно позаботиться ещё и о том, чтобы семейство $\{s_{\nu}:\nu<\omega_1\}$ было вполне упорядочено отношением $-<$.

Инт в сообщении #237034 писал(а):

Считаем, что точка $M_1$ есть середина отрезка $OM = m$, и она переходит при преобразовании $G$ в точку $X$. Дуги $r = const$, та их часть, что лежит между отрезком $OY$ и $OM = m$ пусть переходят в строго возрастающие функции (вида $\varphi = f(r)$) так: Если $\hat U$ - такая дуга, и она задаётся уравнением $r = u \geqslant \frac{1}{2}$, то линия (функция) $G \hat U$ есть строго возрастающая функция, которая начинается в той же точке на отрезке $OY$, что и $\hat U$, а заканчивается в точке $U$ на дуге $MX$ так, что $|UM| = 2 \cdot (1 - u) \cdot |MX|$. Пусть так же, $|UM_n| = 2 \cdot (1-\frac{1}{n}) \cdot |MX|$ (модулем обозначены длины дуг). Прямые отрезки $\hat V$, соединяющие точку $O$ и дугу $C$, пусть переходят в строго убывающие, не пересекающиеся между собой функции $G \hat V$ (вида $\varphi = f(r)$) такие, которые заполняют весь сектор непрерывно и заканчиваются на дуге $YM$. Концы функций $G \hat V$ пусть непрерывно заполняют отрезок $YM$.

Вы наложили на гомеоморфизм $G$ столько условий... Вы уверены, что их все можно выполнить? Предъявите такой гомеоморфизм.

Инт в сообщении #237034 писал(а):

Можно даже не использовать отображения $G_{\nu}$. Достаточно брать линии $g_{\nu}$ одну за другой так, чтобы для всех достаточно близких к 1 значений $r$ пересечение линии $a_{\nu}$ с дугой $r = const$ располагалось полностью левее линии $g_{\nu}$, с одной стороны, и, с другой стороны, было бы $g_{\nu}$ -< $g_{\nu'}$, если $\nu < \nu'$.

Это первая разумная идея, которую Вы высказали в нашем обсуждении. Возвращаемся к ситуации, описанной здесь:

Someone в сообщении #236908 писал(а):

считаем, что речь идёт о произвольном гомеоморфизме $G$ половины сектора на весь сектор. Рассматривать всю плоскость не нужно, поскольку нам совершенно несущественно, что происходит вне сектора. Я предлагаю наложить на гомеоморфизм немножко другие условия. Пусть он точки на дуге $YM$ и отрезке $OY$ оставляет неподвижными, а линию $m$ отображает на объединение дуги $XM$ и отрезка $OX$. Чуть-чуть подумав, можно такой гомеоморфизм выписать явно, но раз Вы не хотите, считаем его произвольным.

Гомеоморфизм $G$ преобразует построенные мной линии $l_{\alpha}$, $\alpha<\omega$, в линии $l'_{\alpha}$, а линии $m'_{\mu}$, $\mu<\omega_0$, в линии $m_{\mu}$; поскольку Вы эти линии никак не конкретизировали, давайте предположим, что их уравнения (после преобразования гомеоморфизмом $G$) имеют простейший вид $\varphi=\frac{\pi}4\left(1+\frac 1{2^{\mu}}\right)$. Что касается линий $l'_{\alpha}$, $\alpha<\omega$, то их, вообще говоря, нельзя задать уравнениями вида $\varphi=f(r)$.

Всё остальное, написанное Вами, выбрасываем в корзину, и строим линии $g_{\nu}\in HC$, $\nu<\omega_1$, оканчивающиеся в точке $M$ (Вы про это условие забыли), таким образом, чтобы все точки линии $l'_{\nu}$ располагались слева от $g_{\nu}$ или на ней, и чтобы при $\nu<\nu'<\omega_1$ выполнялось условие $g_{\nu}-<g_{\nu'}$. Добиться монотонности функций здесь будет нельзя, а за гладкостью не гонитесь. Крайне маловероятно, что она потребуется, а подправить построение в случае чего будет нетрудно.
Я жду построения, а не ссылки на очередную "очевидность". Вы уже в нашем обсуждении наделали некоторое количество ошибок, пора понять, что "очевидность" часто подводит.

[Инт]

Someone в сообщении #237187 писал(а):

Инт в сообщении #237034 писал(а):

Если необходимо, то $m$ выпрямляется до такого отрезка.

Вообще говоря, при таком "выпрямлении" получается линия, не эквивалентная первоначальной линии $m$. Это либо нарушит отношение порядка между А и Б, либо даст задачу, не равносильную первоначальной, и из её решения не будет следовать решение первоначальной задачи. Поэтому это сделать нельзя.

Это сделать можно, так как подразумевалось, что "выпрямляется и весь сектор" вдоль дуг $r = const$. А то, что получается линия не эквивалентная первоначальной нам не важно, так как остальные линии так же подвинутся, и отношение порядка между пододвинутыми, исправленными линиями сохранится.

Someone в сообщении #237187 писал(а):

Инт в сообщении #237034 писал(а):

Так же считаем, что линии $l_{\nu}$ суть строго возрастающие и гладкие функции от аргумента $r$ (напомню, что $\varphi$ растёт слева направо).

В построенном мной семействе А функции возрастающие, но не гладкие.

Инт в сообщении #237034 писал(а):

Если необходимо, то заменяем $l_{\nu}$ на гладкие строго возрастающие функции $s_{\nu}$ такие, что для каждого $\nu$ будет $l_{\nu}$ -< $s_{\nu}$ -< $m$.

Это возможно не для любого семейства. Кроме того, нужно позаботиться ещё и о том, чтобы семейство $\{s_{\nu}:\nu<\omega_1\}$ было вполне упорядочено отношением $-<$.

Это возможно для любого указанного семейства. Множество $\{s_{\nu}:\nu<\omega_1\}$ как вполнеупорядоченное отношением -< строится по индукции так, что $l_{\nu}$ -< $s_{\nu}$.

-- Вс авг 23, 2009 16:44:01 --

Someone в сообщении #237187 писал(а):

Вы наложили на гомеоморфизм $G$ столько условий... Вы уверены, что их все можно выполнить? Предъявите такой гомеоморфизм... Добиться монотонности функций здесь будет нельзя, а за гладкостью не гонитесь. Крайне маловероятно, что она потребуется, а подправить построение в случае чего будет нетрудно.

Про монотонность функций $g_{\nu}$ я ничего не говорил, гладкости как раз добится легко: Пусть линия $a$ заканчивается в $M$. Тогда, если $\hat\varphi(r) = max\{\varphi| (\varphi, \xi) \in a, r \leqslant \xi \leqslant 1\}$, то функция $\hat\varphi$ монотонна, описывает линию $a^*$, заканчивающуюся в точке $M$, и все точки линии $a$ расположены левее точек линии $a^*$. Отталкиваясь от $a^*$, затем, получаем гладкую линию $g$, заканчивающуюся в $M$ и такую, что для всех достаточно больших $r < 1$ точки пересечения линии $a$ с дугой $r = const$ располагаются левее $g$.

А предыдущее предъявление $G$ не надо выбрасывать, хотя там в тексте были опечатки, из-за которых может быть и возникло непонимание. Там более ясно, как построить трансфинитную последовательность линий $g_{\nu}$.

-- Вс авг 23, 2009 16:52:31 --

rishelie в сообщении #236587 писал(а):

Но если даже $B$ не счетно насыщенное, то оно вкладывается в счетно насыщенную цепь мощности $\aleph_1$ в $HC$. Это и обосновывает Утверждение 2, но только в случае принятия континуум-гипотезы.

Вот это неверно. Нужно ещё доказать, что счётно насыщенная цепь мощности $\aleph_1$ существует. Сказанное Вами может быть верно только в случае континуум-гипотезы. А она, как в итоге доказывается, неверна. Это так же в дополнение к ответу в http://dxdy.ru/post236773.html#p236773.

[AGu]

Инт в сообщении #235062 писал(а):

AGu в сообщении #234840 писал(а):

(2) Если защитник позиционирует свою работу просто как доказательство в ZF(C) [...]

Именно вот это меня устраиваает, так как дискуссию о вполнеупорядочении мне дополнительно навязывают. И, похоже, надо отвечать на эти вопросы так же.

Поскольку мои «коллеги-оппоненты» сейчас довольно активно играют по сценарию (1), а сценарий (2), вроде, захирел, имеет смысл оживить его обсуждением доказательства теоремы Цермело в ZFC.

Инт в сообщении #235062 писал(а):

Обсуждать вопрос о вполнеупорядочении я хотел бы отдельно от темы, хотя конечно придётся в связи с ней.

Учитывая это Ваше пожелание, я создал отдельную тему «Доказательство теоремы Цермело» и предлагаю Вам в ней поучаствовать. Понимаю, что идущая здесь игра по сценарию (1) будет Вас изрядно отвлекать, так что на быстроте откликов не настаиваю.

[Инт]

Someone в сообщении #236928 писал(а):

Инт в сообщении #236923 писал(а):

Берём точки $B_{\mu}$, где $\mu = 1, 2, ...$, $\lim B_{\mu} = M$.

Где мы их, собственно говоря, берём?

Забыл ответить. Там опечатка, должно быть:

Берём точки $B_{\mu} \in m$, где $\mu = 1, 2, ...$, $\lim B_{\mu} = M$.

Исправил в http://dxdy.ru/post236923.html#p236923.

[Инт]

Someone. Я заметил в постах http://dxdy.ru/post236923.html#p236923 и http://dxdy.ru/post237034.html#p237034 крупные опечатки. Например, не указано, что часть линии $m$ переходит при отображении на дугу $C$, или обозначено $M_{\mu}$ вместо $B_{\mu}$. Возможно из-за этого и возникло непонимание. Исправил.

[rishelie]

Инт в сообщении #237142 писал(а):

Как раз $B$ является счётно насыщенным, а гиперконтинуум $C_1$ нет. Поскольку, в $C_1$ существуют точки типа 10 и 01, которые дают счётные дырки. Это в дополнение к моему предыдущему ответу Вам.

Если я правильно помню Ваше определение (зачем оно вообще требуется, я так и не понял), то точки 01 и 10 - это пары множеств мощности $\aleph_0$ и $\aleph_1$ (и наборот), монотонные и ограниченные это самой точкой. Первое множество - снизу, второе - сверху. Для $\aleph_1$-насыщенности нужны только счетные множества (в том числе конечные или пустые), но не нужны множества мощности $\aleph_1$.

К тому же, $C_1$ вообще трудно назвать гиперконтинуумом, т.к. у гиперконтинуума обычно мощность равна $\frac c$ (в силу того, что бесконечно малые величины задаются счетными последовательностями, коих континуум), в то время как у пространства $C_1$ мощность не обязана быть равна континууму, пока Вы это не доказали. То есть давайте не называть $C_1$ гиперкотинуумом, поскольку его структура не соответствует понятию бесконечно малых и бесконечно больших величин. Гиперконтинуум - это скорее множество функций из $\omega$ в $C_0$ (множество счетных бинарных последовательностей).

Я также не увидел ясного доказательства того, что $B$ - счетно насыщенное. Вы вроде бы доказывали насыщенность для $HC$, а для $B$ - нет. Поскольку свойства $C_1$ и $B$ - важные и тонкие моменты, хотелось бы увидеть полное доказательство в формализме ZF или ZFC без привлечения любых геометрических картинок. До установления предлагаемого Вами изоморфизма между $HQ$ и $B$ никакой геометрией мы тут пользоваться не в праве.

[Someone]

Инт в сообщении #237254 писал(а):

Someone в сообщении #237187 писал(а):

Инт в сообщении #237034 писал(а):

Если необходимо, то $m$ выпрямляется до такого отрезка.

Вообще говоря, при таком "выпрямлении" получается линия, не эквивалентная первоначальной линии $m$. Это либо нарушит отношение порядка между А и Б, либо даст задачу, не равносильную первоначальной, и из её решения не будет следовать решение первоначальной задачи. Поэтому это сделать нельзя.

Это сделать можно, так как подразумевалось, что "выпрямляется и весь сектор" вдоль дуг $r = const$.

Но Вы же об этом не сказали. Вы сказали только об одной линии $m$.

Инт в сообщении #237254 писал(а):

А то, что получается линия не эквивалентная первоначальной нам не важно, так как остальные линии так же подвинутся, и отношение порядка между пододвинутыми, исправленными линиями сохранится.

Смотря как "подвинутся". Но если преобразование сектора будет гомеоморфизмом, то не возражаю. Построить такой гомеоморфизм и в самом деле нетрудно.

Инт в сообщении #237254 писал(а):

Someone в сообщении #237187 писал(а):

Инт в сообщении #237034 писал(а):

Так же считаем, что линии $l_{\nu}$ суть строго возрастающие и гладкие функции от аргумента $r$ (напомню, что $\varphi$ растёт слева направо).

В построенном мной семействе А функции возрастающие, но не гладкие.

Инт в сообщении #237034 писал(а):

Если необходимо, то заменяем $l_{\nu}$ на гладкие строго возрастающие функции $s_{\nu}$ такие, что для каждого $\nu$ будет $l_{\nu}$ -< $s_{\nu}$ -< $m$.

Это возможно не для любого семейства. Кроме того, нужно позаботиться ещё и о том, чтобы семейство $\{s_{\nu}:\nu<\omega_1\}$ было вполне упорядочено отношением $-<$.

Это возможно для любого указанного семейства. Множество $\{s_{\nu}:\nu<\omega_1\}$ как вполнеупорядоченное отношением -< строится по индукции так, что $l_{\nu}$ -< $s_{\nu}$.

Ну, если линия $m$, представляющая семейство Б, является прямолинейным отрезком, то можно. Но мне хотелось бы посмотреть на построение линий $s$ в Вашем исполнении. Я пока ни одного Вашего аккуратного доказательства не видел, поэтому мне любопытно.

Инт в сообщении #237254 писал(а):

Someone в сообщении #237187 писал(а):

Вы наложили на гомеоморфизм $G$ столько условий... Вы уверены, что их все можно выполнить? Предъявите такой гомеоморфизм... Добиться монотонности функций здесь будет нельзя, а за гладкостью не гонитесь. Крайне маловероятно, что она потребуется, а подправить построение в случае чего будет нетрудно.

Почему Вы объединили в одну кучу мои высказывания, относящиеся к совершенно разным вопросам?

Если Вы собираетесь как-то использовать перечисленные Вами свойства гомеоморфизма $G$, отображающего половину сектора на весь сектор, то предъявите его построение и докажите, что он обладает нужными Вам свойствами. Вы уже один раз сформулировали несовместные условия, когда "предъявляли" деформацию. Почему Вы так уверены, что не проврались опять?

Инт в сообщении #237254 писал(а):

Про монотонность функций $g_{\nu}$ я ничего не говорил,

Я просто констатировал факт, что в ситуации, которая у нас получилась после применения гомеоморфизма $G$, заменить получившиеся линии монотонными будет нельзя. Не принимайте этого на свой счёт.

Инт в сообщении #237254 писал(а):

гладкости как раз добится легко:

Я не говорил, что трудно. Я говорил, что гладкость, скорее всего, будет ни для чего не нужна, и не стоит загромождать построение лишними условиями. Если же в какой-то момент окажется, что гладкость полезна, мы можем к этому вопросу вернуться.

Инт в сообщении #237254 писал(а):

Пусть линия $a$ заканчивается в $M$. Тогда, если $\hat\varphi(r) = max\{\varphi| (\varphi, \xi) \in a, r \leqslant \xi < 1\}$, то функция $\hat\varphi$ монотонна, описывает линию $a^*$, заканчивающуюся в точке $M$

1) Поскольку глобальный максимум (наибольшее значение) непрерывной функции на некомпактном подмножестве плоскости может не существовать, следует использовать супремум (точную верхнюю грань). (Теховские коды: \max, \min, \sup, \inf: $\max$, $\min$, $\sup$, $\inf$.)
2) Поскольку линия $a$ у нас получилась в результате гомеоморфизма $G$, то её нельзя задать уравнением вида $\varphi=f(r)$. Из-за этого $\hat\varphi(r)=\sup\{\varphi|{(\varphi,\xi)\in a,r\leqslant\xi<1\}$ не обязана быть непрерывной функцией.

Инт в сообщении #237254 писал(а):

А предыдущее предъявление $G$ не надо выбрасывать, хотя там в тексте были опечатки, из-за которых может быть и возникло непонимание. Там более ясно, как построить трансфинитную последовательность линий $g_{\nu}$.

Да не было там никакого "предъявления". Был только очередной список пожеланий.

Инт в сообщении #237388 писал(а):

Забыл ответить. Там опечатка, должно быть:

Берём точки $B_{\mu} \in m$, где $\mu = 1, 2, ...$, $\lim B_{\mu} = M$.

Я заметил изменение обозначений, но решил, что, поскольку Вы излагаете этот фрагмент заново, то имеете право изменить обозначения. Я возражаю только против изменения обозначений объектов, которые к данному моменту уже определены. Например, я определил линии $l_{\nu}$, $\nu<\omega_1$, и $m$, поэтому их обозначения необходимо сохранить неизменными. Если я захочу изменить задачу, то буду считать себя вправе изменить обозначения.

[Инт]

Ниже изложена схема доказательства, этапы построения линии $k$. Это не ответ на поступившие сообщения. Я надеюсь, что при разборе окончательного доказательства будет удобнее ссылаться на эти этапы.

I. Указываются линии $a_{\nu}$ и $b_{\nu}$ нумерованные всеми ординалами $< \omega_1$ и такие, что если $\lambda > \nu$, то $a_{\nu}$ -< $a_{\lambda}$ -< $b_{\lambda}$ -< $b_{\nu}$. Для этих линий требуется построить искомую линию $k$ такую, что $a_{\nu}$ -< $a_{\lambda}$ -< $k$ -< $b_{\lambda}$ -< $b_{\nu}$. Либо указываются линия $b$ и трансфинитная последовательность линий $a_{\nu}$ такие, что $a_{\nu}$ -< $a_{\lambda}$ -< $b$, $\lambda > \nu$. Либо указывается трансфинитная последовательность линий $a_{\nu}$, счётная последовательность линий $b_{\mu}$, нумеруемая натуральными числами так, что $a_{\nu}$ -< $a_{\lambda}$ -< $b_{\mu+1}$ -< $b_{\mu}$, $\lambda > \nu$. И ищется соответствующая линия $k$, для которой должно быть $a_{\nu}$ -< $k$ -< $b$ при любом $\nu$, или $a_{\nu}$ -< $k$ -< $b_{\mu}$ при любых $\nu$ и $\mu$.

II. Указывается трансформация $\Omega$, преобразующая сектор $D$ и пространство Э вокруг него. Трансформация $\Omega$ выразима как отображение евклидового пространства Э в бесконечномерное пространство-произведение. Каждая проекция точечного множества $\Omega$Э есть образ обычного непрерывного отображения евклидового пространства в себя. Если точечная последовательность сходится к какой-то точке в пространстве $\Omega$Э, то проекция последовательности сходится к проекции точки в каждой проекции пространства $\Omega$Э.

III. Указываются линии $a’_{\nu}$ и $b’_{\nu}$ нумерованные всеми ординалами $< \omega_1$, расположенные на плоскости, неограниченно приближающейся с течением времени $t$ к плоскости сектора $D$. В момент $t = 1$ движущаяся плоскость и плоскость сектора $D$ сливаются. Каждая линия $\Omega a’_{\nu}$ стремится к линии $\Omega a_{\nu}$ по непрерывному закону, зависящему от линии, т.е. такое стремление осуществляется в каждой из проекций пространства $\Omega$Э. Аналогично, $\Omega b’_{\nu}$ стремится к $\Omega b_{\nu}$.

IV. Линии $\Omega a_{\nu}$ и $\Omega b_{\nu}$ заканчиваются в точках $A_{\nu}$ и $B_{\nu}$ соответственно на дуге $\Omega C$ так, что $A_{\nu} < A_{\lambda} < Z < B_{\lambda} < B_{\nu}$, где $Z$ некоторая фиксированная точка на дуге.

V. На движущейся плоскости указывается область $E_h$, гомеоморфная открытому кругу. Область $\Omega E_h$ сжимается в точку $Z$, когда подвижная плоскость стремится к плоскости сектора $\Omega D$. Из-за такого определения области $\Omega E_h$, какова бы ни была линия $\Omega a’_{\nu}$ или $\Omega b’_{\nu}$, для всех достаточно больших времён < 1, такая линия не пересекается с областью $\Omega E_h$.

VI. На движущейся плоскости указывается точка $Z'$, которая стремится в точке $\neq Z$. Из точки $Z'$ выходят лучи некоторого пучка лучей $F$, заполняющие подвижную плоскость которые к моменту $t = 1$ расположатся в секторе $\Omega D$ среди линий $\Omega a_{\nu}$ и $\Omega b_{\nu}$, где $\nu$ пробегает всевозможные не более чем счётные ординалы.

VII. Поскольку $\Omega$Э выражено как классическое точечное множество, то производится каноническое отображение $\hat\Omega$ подвижной плоскости не себя. Область $\Omega E_h$ сдвигается этим отображением в область $\hat\Omega \Omega E_h$ такую, которая в каждый момент времени пересекается каждым лучом $f \in F$ по начальному сегменту этого луча, примыкающему к точке $Z'$. К моменту $t = 1$ область $\hat\Omega \Omega E_h$ сжимается в точку $Z’$.

VIII. Линии $\hat\Omega \Omega a’_{\nu}$ и $\hat\Omega \Omega b’_{\nu}$ устремляем к некоторым фиксированным положениям $\hat\Omega \Omega a_{\nu}$ и $\hat\Omega \Omega b_{\nu}$ в области $\Omega D$ так, что $\hat\Omega \Omega a_{\nu}$ и $\hat\Omega \Omega b_{\nu}$ оказываются расположенными среди линий $\Omega a_{\nu}$ и $\Omega b_{\nu}$. Это достаточно сделать для счётного подмножества линий. Положения остальных линий определятся автоматически.

IX. Пусть линия $k’$ в каждый момент времени располагается среди линий $\hat\Omega \Omega a’_{\nu}$ и $\hat\Omega \Omega b’_{\nu}$, при всевозможных $\nu$ , и совпадает с одним из лучей $f \in F$, который в итоге, в момент $t =1$ расположится в $\Omega D$. Тогда линия $k$, для которой $k’ = \Omega k$ будет искомой линией в момент $t = 1$. Это проверяется непрерывными отображениями $\hat\Omega_{\nu}$: Каждую линию $\hat\Omega \Omega a’_{\nu}$ таким отображением смещаем вдоль лучей пучка $F$ так, чтобы в конечный момент времени $= 1$ линия $\hat\Omega_{\nu} \hat\Omega \Omega a’_{\nu}$ расположилась бы как некоторая линия $\hat\Omega_{\nu} \hat\Omega \Omega a_{\nu}$ в секторе $\Omega D$. Линия $\hat\Omega_{\nu} k’$ тогда расположится в конечный момент на том же месте, что и линия $k’$. А для линии $\hat\Omega_{\nu} \hat\Omega \Omega a_{\nu}$ устанваливаем в такой момент, что $\hat\Omega_{\nu} \hat\Omega \Omega a_{\nu}$ -< $\hat\Omega_{\nu} k'$. Отсюда заключаем, что $a_{\nu}$ -< $k$. Аналогичное заключение делаем для линий трансфинитной последовательности $b_{\nu}$.

Замечание. После того, как указана область $E_h$ и все линии $a’_{\nu}$ и $b’_{\nu}$, можно считать, что эти линии двигаясь по подвижной плоскости распределяются к финальному моменту на плоскости как линии $a_{\nu}$ и $b_{\nu}$. Поэтому, рассмотрение всей совокупности подвиных линий можно перенести в одну плоскость. И в частности, считать, что лучи пучка $F$ всегда находятся в одной плоскости, никуда не движутся.

-- Вт авг 25, 2009 06:47:27 --

rishelie в сообщении #237618 писал(а):

Инт в сообщении #237142 писал(а):

Как раз $B$ является счётно насыщенным, а гиперконтинуум $C_1$ нет. Поскольку, в $C_1$ существуют точки типа 10 и 01, которые дают счётные дырки. Это в дополнение к моему предыдущему ответу Вам.

Если я правильно помню Ваше определение (зачем оно вообще требуется, я так и не понял), то точки 01 и 10 - это пары множеств мощности $\aleph_0$ и $\aleph_1$ (и наборот), монотонные и ограниченные это самой точкой. Первое множество - снизу, второе - сверху. Для $\aleph_1$-насыщенности нужны только счетные множества (в том числе конечные или пустые), но не нужны множества мощности $\aleph_1$.

Типы точек отмечались для того, чтобы описать в некоторых подробностях структуру гиперпямой $C_1$. То, что $C_1$ - гиперконтинуум настиваю, см. ниже. Теперь о точке типа 01. Берём такую. К ней по определению сходится строго возрастающая счётная последовательность. Пусть точки $P_n$ составляют такую последовательсть, а $P$ сама точка. Напомню, что

AGu в сообщении #234378 писал(а):

Пусть $X$ — линейно упорядоченное (л.у.) множество.
Для $A,B\subseteq X$ и $x\in X$ будем писать $A<B$ и $A<x<B$
вместо $(\forall\,a\in A)(\forall\,b\in B)(a<b)$ и $(\forall\,a\in A)(a<x)\ \&\ (\forall\,b\in B)(x<b)$.

Счетной дыркой в $X$ назовем такую пару $(A,B)$, что
$A$ и $B$ — счетные подмножества $X$ (случаи $A=\varnothing$, $B=\varnothing$ не исключаются),
$A<B$ и $\neg(\exists\,x\in X)(A<x<B)$.

Л.у. множество назовем счетно насыщенным, если в нем нет счетных дырок.

Под счётными множествами подразумевались не более чем счётные. Следовательно, если мы берём множества $A$ и $B$ такими, что $A$ состоит из всех $P_n$, а множество $B$ состоит из одной точки $P$, то между $A$ и $B$ - счётная дырка. Т.е. $C_1$ не счётно насыщеное множество.

rishelie в сообщении #237618 писал(а):

К тому же, $C_1$ вообще трудно назвать гиперконтинуумом...

Как раз наоборот - типичный гиперконтинуум. В самом деле: а) любая монотонная ограниченная счётная или несчётная последовательность в таком континууме сходится; б) аксиома Дедекинда выполнена. Типичный континуум. Только мощность равна $2^{\aleph_1}$. Есть специфика: сходящиеся последовательности разной мощности, т.е. разные типы точек. Аналога такому нет в континууме действительных чисел.

rishelie в сообщении #237618 писал(а):

Я также не увидел ясного доказательства того, что $B$ - счетно насыщенное. Вы вроде бы доказывали насыщенность для $HC$, а для $B$ - нет. Поскольку свойства $C_1$ и $B$ - важные и тонкие моменты, хотелось бы увидеть полное доказательство в формализме ZF или ZFC без привлечения любых геометрических картинок. До установления предлагаемого Вами изоморфизма между $HQ$ и $B$ никакой геометрией мы тут пользоваться не в праве.

А я и не пользовался никакой геометрией. Она и не нужна. Пользуемся свойствами I и II, которые и есть эквивалент счётной насыщенности. И сопоставление между элементами $HC$ и $B$ производим в том смысле, что считаем элементы $B$ именами, которые даём элементам из $HC$, в случае, если счётная насыщенность $B$ установлена. Обращаю Ваше внимание, что уже излагал, что можно назвать доказательством по поводу такого сопоставления в http://dxdy.ru/post236773.html#p236773. Однако, счётная насыщенность $B$ действительно устанавливается непосредственной проверкой по определению этого множества, т.е. проверкой того, что множество удовлетворяет свойствам I и II. И такая проверка не требует обращения к геометрии, только лишь рассмотрения свойств несчётных двоичных последовательностей, у которых после определённого знака идут одни нули или одни единицы. Проверку дам, несколько позже, если Вы не успеете раньше понять про счётную насыщенность $B$.

[rishelie]

Инт в сообщении #237714 писал(а):

Т.е. $C_1$ не счётно насыщеное множество.

Пусть $A=\{P_n\}$ - строго возрастающая последовательность, $B=\{Q_n\}$ - строго убывающая последовательность, $P_n<Q_n$ для всех $n$.
Положим $a\sim_\delta b$, если $a|_\delta=b|_\delta$, т.е. бинарные последовательности $a,b$ совпадают на ординалах $\gamma<\delta$. $\sim_\delta$ - отношение эквивалентности на $2^{\aleph_1}$. Классы эквивалентности по отношению $\sim_\delta$, индуцированные в $C_1$, назовем $\delta$-интвервалами.
$\delta$-интервалы обладают следующими свойствами:
1. Любые два $\delta$-интервала либо не пересекаются, либо имеют одну общую границу, принадлежащую базе (из-за склейки последовательностей вида $\dots,1,0,0,0,\dots$ и $\dots,0,1,1,1,\dots$).
2. Если $\delta<\delta'$, то любой $\delta'$-интервал содержится в единственном $\delta$-интервале.
3. Если имеется убывающая последовательность $\delta$-интервалов, то ее предел также является $\delta$-интервалом.
4. Каждый $\delta$-интервал является объединением двух $\delta+1$-интервалов с общей границей, которую естественно назвать серединой исходного $\delta$-интервала.

Теперь можно построить убывающую последовательность множеств $I_\delta$, $\delta<\gamma<\aleph_1$, где $I_\delta$ является $\delta$-интервалом, причем существует конфинальная $\gamma$ последовательность ординалов $\gamma_n$ такая, что для любого $n$ и любого $\delta<\gamma_n$ интервал $I_\delta$ содержит точки $P_n,Q_n$, а при $\delta>\gamma_n$ интервал $I_\delta$ не содержит одновременно точки $P_n$ и $Q_n$.

Пусть теперь $I=\lim\imits_{\delta<\gamma}I_\delta$. Это, во-первых, $\gamma$-интервал, а во-вторых, ни один из двух $\gamma+1$-интервалов, содержащихся в $I$, не содержит ни одну из пар точек $P_n,Q_n$. Выберем в качетсве $x$ середину $I$.
Легко видеть, что $P_n\leqslant x\leqslant Q_n$, причем в силу строгой монотонности обеих начальных последовательностей здесь не может быть равенства, т.е. $\{P_n\}<x<\{Q_n\}$.

Иначе говоря, в $C_1$ нет счетных дырочек. Тогда по теореме, приведенной здесь http://dxdy.ru/post237041.html#p237041, получаем, что $C_1$ счетно насыщенное, т.к. плотность самого $C_1$ и любой его точки, очевидно, не меньше $\aleph_1$.

[Инт]

rishelie в сообщении #237738 писал(а):

Легко видеть, что $P_n\leqslant x\leqslant Q_n$, причем в силу строгой монотонности обеих начальных последовательностей здесь не может быть равенства, т.е. $\{P_n\}<x<\{Q_n\}$.

Иначе говоря, в $C_1$ нет счетных дырочек. Тогда по теореме, приведенной здесь http://dxdy.ru/post237041.html#p237041, получаем, что $C_1$ счетно насыщенное, т.к. плотность самого $C_1$ и любой его точки, очевидно, не меньше $\aleph_1$.

Ещё раз напомню,что

AGu в сообщении #234378 писал(а):

Счетными условимся называть множества мощности $\leqslant\aleph_0$.

Счетной дыркой в $X$ назовем такую пару $(A,B)$, что
$A$ и $B$ — счетные подмножества $X$ (случаи $A=\varnothing$, $B=\varnothing$ не исключаются),
$A<B$ и $\neg(\exists\,x\in X)(A<x<B)$.

Л.у. множество назовем счетно насыщенным, если в нем нет счетных дырок.

Следовательно, если $\{P_n\}$ - строго возрастает, то существует предел $P$ этой последовательности. Между пределом $P$ и последовательностью $\{P_n\}$, т.е. между множеством $\{P\}$ и множеством $\{P_n\}$ нет уже никаких точек, с одной стороны. Т.е. пара множеств представляет собой дырку. А с другой стороны, одноэлементное множество $\{P\}$ и множество $\{P_n\}$, по определению AGu, счётны. Следовательно, это счётная дырка. Следовательно, $C_1$ не есть счётно насыщенное множество, или определения, данные AGu, противоречивы. Где я не прав?

Тот же пример, который рассматриваете Вы, есть лишь частный случай возможных счётных множеств. К тому же, Вы не рассматриваете случай, когда $x$ есть предел для одной из последовательностей. Для элементов множества $B$ оказывается, что они не могут быть пределами счётных последовательностей, поэтому-то оно счётно насыщенное. Но некоторые элементы $C_1$ являются пределами счётных последовательностей.

Явный пример: $x = 0, \delta_1 \delta_2...\delta_{\omega}...$, $\delta_{n} = 1$ для $n < \omega$, $\delta_{\nu} = 0$ для $\nu \geqslant \omega$, $P_n = 0, \sigma_1 \sigma_2... \sigma_k...$, $\sigma_{k} = 1$, если $k < n$, $\sigma_{k} = 0$, если $k \geqslant n$, $n < \omega$. Замечу, что $x \notin B$.

А вообще всё это неважно. Множество $B$ удовлетворяет свойствам I и II и мне этого достаточно. Т.е. разбираться в определениях, которые никак не приложены к моей задаче особого смысла нет. Я лишь уточняю совместный язык. Может быть Вы изменили определения в соседней теме, и я что-то упустил?

[rishelie]

Я ссылался на теорему

AGu в сообщении #237041 писал(а):

Теорема [Harzheim, 3.3.4]. Пусть $\tau$ — бесконечный кардинал.
Л.у. множество $X$ является $\tau$-насыщенным тогда и только тогда,
когда ${\rm cf}(X)\geqslant\tau$, ${\rm ci}(X)\geqslant\tau$, все дырочки в $X$ имеют плотность $\geqslant\tau$
и все элементы $X$ имеют плотность $\geqslant\tau$.

Чтобы доказать, что $C_1$ является счетно насыщенным, т.е., иначе говоря, $\aleph_1$-насыщенным, нужно показать следующее:
1. ${\rm cf}(C_1),{\rm ci}(C_1)\geqslant\aleph_1$ - это очевидно
2. дырочки в $C_1$ имеют плотность не меньше $\aleph_1$. Дырочка - это пара множеств $A<B$, где $A$ не имеет макимального элемента, $B$ - минимального. Плотность - минимум конфинальности $A$ и коинициальности $B$. Ясно, что если я беру $A$ и $B$ мощности $\omega$ (меньшая мощность не подпадает под определение дырочки), то в них я могу взять, соответственно, конфинальную и коинициальную последовательности. Для $A$ - это $\{P_n\}$, для $B$ - $\{Q_n\}$. После чего я нахожу элемент между ними, откуда следует, что в $C_1$ не существует дырочек с плотностью $\omega$, следовательно, их плотность не менее $\aleph_1$.
3. все элементы $C_1$ имеют плотность (т.е. для каждого $a\in C_1$ минимум конфинальности $\{x\in C_1:\;x<a\}$ и коинициальности $\{x\in C_1\;x>a\}$) не меньше $\aleph_1$. Сие тоже очевидно, поскольку в любом интервале в $C_1$ можно найти строго возрастающую и строго убывающую $\aleph_1$-последовательность (кстати, из элементов базы).
Таким образом, $C_1$ является счетно насыщенным.

Ваш $HC$ также является счетно насыщенным.

[rishelie]

Инт в сообщении #237714 писал(а):

Трансформация $\Omega$ выразима как отображение евклидового пространства Э в бесконечномерное пространство-произведение.

То есть $\Omega:{\mathbb R}^2\to{\mathbb R}^\omega$ ?

Инт в сообщении #237714 писал(а):

Каждая проекция точечного множества $\Omega$Э есть образ обычного непрерывного отображения евклидового пространства в себя.

То есть из образа $\Omega(x,y)=(x_0,x_1,x_2,\dots)$ берутся первые две координаты, если это ортогональная проекция?

[Инт]

rishelie в сообщении #237956 писал(а):

Таким образом, $C_1$ является счетно насыщенным.

Тогда это противоречит определению:

AGu в сообщении #234378 писал(а):

Счетной дыркой в $X$ назовем такую пару $(A,B)$, что
$A$ и $B$ — счетные подмножества $X$ (случаи $A=\varnothing$, $B=\varnothing$ не исключаются),
$A<B$ и $\neg(\exists\,x\in X)(A<x<B)$.

Л.у. множество назовем счетно насыщенным, если в нем нет счетных дырок.

И счётная насыщенность, о которой говорится в этом определении, не та, что Вы имеете ввиду.

rishelie в сообщении #238026 писал(а):

Инт в сообщении #237714 писал(а):

Трансформация $\Omega$ выразима как отображение евклидового пространства Э в бесконечномерное пространство-произведение.

То есть $\Omega:{\mathbb R}^2\to{\mathbb R}^\omega$?

$\Omega:{\mathbb R}^3\to{\mathbb R}^{\omega_{1}}$.

rishelie в сообщении #238026 писал(а):

Инт в сообщении #237714 писал(а):

Каждая проекция точечного множества $\Omega$Э есть образ обычного непрерывного отображения евклидового пространства в себя.

То есть из образа $\Omega(x,y)=(x_0,x_1,x_2,\dots)$ берутся первые две координаты, если это ортогональная проекция?

Да, что касается отображения сектора. Но вообще, берутся три координаты проекции.

[rishelie]

Инт в сообщении #238142 писал(а):

Да, что касается отображения сектора. Но вообще, берутся три координаты проекции.

не, все, я устал разбираться нафик