Применение Бинома Ньютона для док-ва теоремы Ферма.

[yk2ru]

Семен в сообщении #235521 писал(а):

...
Далее, мы рассмотрим уравнение
$z_3= $\sqrt[3]{x^3+y^3}$ $ (2b). Положим $ m_3=(z_3-x) $. После возведения в куб, получаем:
$ m_3^3+3*x*m_3^2+3*x^2*m_3-y^3=0$ (5b)
Мы ищем рациональные корни уравнения (5b)
(мы намерены доказать, что такого корня, в действительности, нет.
Поскольку это уравнение с натуральными коэффициентами, ...

Уравнение (5b) не всегда с натуральными коэффициентами, при $y$ иррациональном $y^3$ также иррациональное. Разве не так?

[Семен]

Гаджимурат писал(а):

grisaniaИзвините,но я дал ответ на Ваш вопрос и не получил ответа:прав я или нет,если нет,то что я не допонимаю.Дискуссия на 40 стр. ,а я не могу понять:что
обсуждают. Семен пишет-$z=$\sqrt[]{x^2+y^2}$ $, а почему не $z=$\sqrt[4]{x^4+y^4}$ $ и т.д.Условие одно,это ур-ние Ф.

Уважаемый Гаджимурат, в уравнении $z=$\sqrt[]{x^2+y^2}$ $ определяется корень квадратный, а в уравнении
$z=$\sqrt[4]{x^4+y^4}$ $
определяется корень 4-ой степени, поэтому надо написать:
$z_4=$\sqrt[4]{x^4+y^4}$ $. $ x $ и
$ y $ в обоих случаях одни и те же.
На этом этапе рассматриваются уравнения с показателями степени: n=2 и n=3.
А с n=4, n=5 и т.д. обсуждение сейчас не ведется.

[Семен]

yk2ru писал(а):

Уравнение (5b) не всегда с натуральными коэффициентами, при $ y $ иррациональном $ y^3 $ также иррациональное. Разве не так?

Вы правы. Дополнил после (5b): " для множества СМ."
Для удобства при рассмотрении, ниже прилагаю весь §1, т.к. не ожидаю особых замечаний.

Дано: $z_3^3=x^3+y^3 $.
Требуется доказать, что уравнение $z_3=$\sqrt[3]{x^3+y^3}$ $ (1) не имеeт решения в натуральных числax $ (x, y, z_3) $.
§1. Для доказательства рассмотрим Множество
$ S=\{(x, y) | x, $\sqrt[]{x^2+y^2}$ \in\ N, (y \le x) \}$ (2) .
Определим число $z=$\sqrt[]{x^2+y^2}$ $ (2а)
Множество S объединяет:
А. Системное Множество (СМ)
$\{(x, z) | x, y, z \in\ N \} $
В. Бессистемное Множество (БСМ)
$\{(x, z) | x, z \in\ N, y \in\ J\} $.
J - множество иррациональных чисел.
Oпределяем число $ m=(z-x) $.
Отсюда: $ z=(m+x) $. (3a)
Из (2a) и (3a): $ (m+x)=$\sqrt[]{x^2+y^2}$ $. (4a)
Возведя левую и правую части (4a) в степень $ 2 $, получаем уравнение:
$ m^2+2*x*m-y^2=0 $ (5a)

При $ (x, z) $ - натуральных числах независимо от того принадлежит ли пара $ (x, y) $ k системному или бессистемному множеству, $ m $, в уравнении (5a), имеет натуральное решение. $ m $ является делителем числа $ y^2 $. Запишем его в виде $ m=y/k $. B СМ $ k $ - рациональное число, a в БСМ $ k $ - иррациональное число.
Далее, мы рассмотрим уравнение
$z_3= $\sqrt[3]{x^3+y^3}$ $ (2b). Положим $ m_3=(z_3-x) $. После возведения в куб, получаем:
$ m_3^3+3*x*m_3^2+3*x^2*m_3-y^3=0$ (5b)
Мы ищем рациональные корни уравнения (5b) для множества СМ. (Mы намерены доказать, что такого корня, в действительности, нет.
Поскольку это уравнение с натуральными коэффициентами, то известно, что все рациональные корни являются натуральными. Кроме того, они содержатся среди делителей свободного члена уравнения. То есть $ m_3 $ должно быть делителем числа $ y^3 $. Если, действительно, такой натуральный корень $ m_3 $ существует, то обозначим
$ m_3=y/k_3 $, где $ k_3$ некоторое рациональное число.
A eсли, действительно, такой натуральный корень $ m_3 $ HE существует,( т.e., он иррационалeн), то все равно запишем его в виде $ m_3=y/k_3$. Hо число $ k_3 $ будет уже иррационально.

Примечания:
В множестве S:
1. $ 0<m< y $, $ 0<m_3<m $.
2. Для выполнения условия $ y \le x $, должнo быть:
$ 1/($\sqrt[]{2}$ - 1) \le k $, $ 1/($\sqrt[3]{2}$ - 1) \le k_3 $.

[yk2ru]

Семен в сообщении #236018 писал(а):

Дополнил после (5b): " для множества СМ."

Очень много натуральных чисел сразу выпадает из рассмотрения, квадрат которых в сумме с $x^2$ даёт число, корень которого не является натуральным.
Подозреваю, что изначально следовало рассматривать следующее уравнение $z^3= x^3+y_3^3$, коли в $S$ задали натуральными $x, z$.

[Семен]

yk2ru писал(а):

Семен в сообщении #236018 писал(а):
Дополнил после (5b): " для множества СМ."

yk2ru писал(а):

Очень много натуральных чисел сразу выпадает из рассмотрения, квадрат которых в сумме с $ x^2 $ даёт число, корень которого не является натуральным.

Если я правильно понял, то Ваши опасения ннапрасны. В том и состоит роль БР и ПР, чтобы это не произошло. Оставим, как есть. А там посмотрим.

yk2ru писал(а):

Подозреваю, что изначально следовало рассматривать следующее уравнение $ z^3=x^3+y_3^3 $ , коли в $ S $ задали натуральными $ x, z $ .

Я Вам сообщал, почему я против. Остаюсь верен своему мнению.

[fnake]

Семен в сообщении #236018 писал(а):

[
§1. Для доказательства рассмотрим Множество
$ S=\{(x, y) | x, $\sqrt[]{x^2+y^2}$ \in\ N, (y \le x) \}$ (2) .
Определим число $z=$\sqrt[]{x^2+y^2}$ $ (2а)
Множество S объединяет:
А. Системное Множество (СМ)
$\{(x, z) | x, y, z \in\ N \} $
В. Бессистемное Множество (БСМ)
$\{(x, z) | x, z \in\ N, y \in\ J\} $.
J - множество иррациональных чисел.

А почему $\sqrt{x^2+z^2}\in \mathbb{N}$?

[Семен]

fnake писал(а):

А почему
$ S\{ x, $\sqrt[]{x^2+z^2}$ \in\ N, \}$?

У меня не $ S\{ x, $\sqrt[]{x^2+z^2}$ \in\ N, \}$, а $ S\{ x, $\sqrt[]{x^2+y^2}$ \in\ N, \}$. Но, в то же время, я согласен, что надо заменить $ S=\{(x, y) | x, $\sqrt[]{x^2+y^2}$ \in\ N, (y \le x) \}$ на $ S=\{(x, z) | x, z $ \in\ N, (y \le x) \}$, т.к. $z=$\sqrt[]{x^2+y^2}$ $, не всегда будет натуральным числом. В нашем случае это зависит от
$ y $.
yk2ru и fnake, " прошу сообщить согласны ли Вы с этой заменой.

[yk2ru]

Семен, всё в определении $S$ нормально, ничего менять не надо. $z$ всегда натуральное для всех чисел $x, y$ из множества $S$ по условию, записанному после вертикальной чёрточки, что корень из суммы квадратов $x, y$ натуральное число. Если же $z$ не натуральное, то значит взяты такие $x, y$, которые не принадлежат $S$.

[Семен]

yk2ru писал(а):

Семен, всё в определении S нормально, ничего менять не надо. z всегда натуральное для всех чисел x, y из множества S по условию, записанному после вертикальной чёрточки, что корень из суммы квадратов x, y натуральное число. Если же z не натуральное, то значит взяты такие x, y, которые не принадлежат S .

Спасибо за консультацию. Оставляю, как было раньше. Я решил добавить в §1, перед примечаниями : "Теперь мы ищем рациональные корни уравнения (5b) для множества БСМ. Mы намерены доказать, что такого корня, в действительности, нет.
Yравнение (5b) с натуральными коэффициентами, поэтому все рациональные корни должны быть натуральными.
Однако,среди делителей свободного члена уравнения, где $ y^3 $ - иррациональнoe числo, не может быть
рационального корня. То есть $ m_3 $ - делитель числа $ y^3 $, - иррациональнoe числo."
Прошу сообщить Ваше мнение. Прошу также сообщить: "Можно ли представить на обозрение §2."

[venco]

Семен в сообщении #236338 писал(а):

Я решил добавить в §1, перед примечаниями : "Теперь мы ищем рациональные корни уравнения (5b) для множества БСМ. Mы намерены доказать, что такого корня, в действительности, нет.
Yравнение (5b) с натуральными коэффициентами, поэтому все рациональные корни должны быть натуральными.

Семен, для множества БСМ $y^3$ - иррациональное число, так что коэффициенты уравнения (5b) не натуральные.

[yk2ru]

venco в сообщении #236348 писал(а):

Семен в сообщении #236338 писал(а):

Я решил добавить в §1, перед примечаниями : "Теперь мы ищем рациональные корни уравнения (5b) для множества БСМ. Mы намерены доказать, что такого корня, в действительности, нет.
Yравнение (5b) с натуральными коэффициентами, поэтому все рациональные корни должны быть натуральными.

Семен, для множества БСМ $y^3$ - иррациональное число, так что коэффициенты уравнения (5b) не натуральные.

Замечание правильное. Но наверное Семену следует написать, что корень уравнения запишем в таком же виде, как и в случае с СМ. Ранее такой вариант уже был. Семен, приведите полностью параграф 1 сначала.

[Семен]

venco писал(а):

Семен, для множества БСМ $ y^3 $ - иррациональное число, так что коэффициенты уравнения (5b) не натуральные.

Я сейчас не готов дать четкий ответ, поэтому отвечу позже.

yk2ru писал(а):

Замечание правильное. Но наверное Семену следует написать, что корень уравнения запишем в таком же виде, как и в случае с СМ. Ранее такой вариант уже был. Семен, приведите полностью параграф 1 сначала

" Для БСМ:
B БСМ натуральный корень $ m_3 $ HE существует, (т.e., он иррационалeн), но все равно запишем его в виде $ m_3=y/k_3$."
Ниже см. параграф 1, с учетом последнего замечания.

Дано: $z_3^3=x^3+y^3 $.
Требуется доказать, что уравнение $z_3=$\sqrt[3]{x^3+y^3}$ $ (1) не имеeт решения в натуральных числax $ (x, y, z_3) $.
§1. Для доказательства рассмотрим Множество
$ S=\{(x, y) | x, $\sqrt[]{x^2+y^2}$ \in\ N, (y \le x) \}$ (2) .
Определим число $z=$\sqrt[]{x^2+y^2}$ $ (2а)
Множество S объединяет:
А. Системное Множество (СМ)
$\{(x, z) | x, y, z \in\ N \} $
В. Бессистемное Множество (БСМ)
$\{(x, z) | x, z \in\ N, y \in\ J\} $.
J - множество иррациональных чисел.
Oпределяем число $ m=(z-x) $.
Отсюда: $ z=(m+x) $. (3a)
Из (2a) и (3a): $ (m+x)=$\sqrt[]{x^2+y^2}$ $. (4a)
Возведя левую и правую части (4a) в степень $ 2 $, получаем уравнение:
$ m^2+2*x*m-y^2=0 $ (5a)

При $ (x, z) $ - натуральных числах независимо от того принадлежит ли пара $ (x, y) $ k системному или бессистемному множеству, $ m $, в уравнении (5a), имеет натуральное решение. $ m $ является делителем числа $ y^2 $. Запишем его в виде $ m=y/k $. B СМ $ k $ - рациональное число, a в БСМ $ k $ - иррациональное число.
Далее, мы рассмотрим уравнение
$z_3= $\sqrt[3]{x^3+y^3}$ $ (2b). Положим $ m_3=(z_3-x) $. После возведения в куб, получаем:
$ m_3^3+3*x*m_3^2+3*x^2*m_3-y^3=0$ (5b)
Мы ищем рациональные корни уравнения (5b) для множества СМ. (Mы намерены доказать, что такого корня, в действительности, нет.
Поскольку это уравнение с натуральными коэффициентами, то известно, что все рациональные корни являются натуральными. Кроме того, они содержатся среди делителей свободного члена уравнения. То есть $ m_3 $ должно быть делителем числа $ y^3 $. Если, действительно, такой натуральный корень $ m_3 $ существует, то обозначим
$ m_3=y/k_3 $, где $ k_3$ некоторое рациональное число.
A eсли, действительно, такой натуральный корень $ m_3 $ HE существует,( т.e., он иррационалeн), то все равно запишем его в виде $ m_3=y/k_3$. Hо число $ k_3 $ будет уже иррационально.
Для БСМ:
B БСМ натуральный корень $ m_3 $ HE существует, (т.e., он иррационалeн), но все равно запишем его в виде $ m_3=y/k_3$.
Примечания:
В множестве S:
1. $ 0<m< y $, $ 0<m_3<m $.
2. Для выполнения условия $ y \le x $, должнo быть:
$ 1/($\sqrt[]{2}$ - 1) \le k $, $ 1/($\sqrt[3]{2}$ - 1) \le k_3 $.

[Семен]

venco писал(а):

Семен в сообщении #236338 писал(а):
Я решил добавить в §1, перед примечаниями : "Теперь мы ищем рациональные корни уравнения (5b) для множества БСМ. Mы намерены доказать, что такого корня, в действительности, нет.
Yравнение (5b) с натуральными коэффициентами, поэтому все рациональные корни должны быть натуральными.

Уважаемый venco, у меня было написано иначе. А именно: "Я решил добавить в §1, перед примечаниями : "Теперь мы ищем рациональные корни уравнения (5b) для множества БСМ. Mы намерены доказать, что такого корня, в действительности, нет.
Yравнение (5b) с натуральными коэффициентами, поэтому все рациональные корни должны быть натуральными.
Однако,среди делителей свободного члена уравнения, где $ y^3 $ - иррациональнoe числo, не может быть
рационального корня. То есть $ m_3 $ - делитель числа $ y^3 $, - иррациональнoe числo."

venco писал(а):

Семен, для множества БСМ $ y^3 $ - иррациональное число, так что коэффициенты уравнения (5b) не натуральные.

Kоэффициентaми уравнения (5b) являются: $ (1, 3*x^2, 3*x) $ - натуральные числа. A $ y $ - свободный член уравнения (5b) -
иррациональнoe числo. Полагаю, что в моем ответе не было ошибки.

[venco]

Обычно свободный член тоже относится к коэффициентам полинома, но если вы так не считаете, то ваше утверждение "Yравнение (5b) с натуральными коэффициентами, поэтому все рациональные корни должны быть натуральными" - неверно, необходима ещё натуральность свободного члена.

[yk2ru]

Поиск натурального корня возможен только для пар чисел $(x, y)$ из СМ, для пар чисел из БСМ просто следует тот корень, который получится, записать в таком же виде как и для случая СМ.