Задача о двух материальных точках

[anik]

Munin в сообщении #234321 писал(а):

А такая теорема: система отсчёта, движущаяся поступательно, прямолинейно и равномерно относительно данной инерциальной системы отсчёта, сама является инерциальной системой отсчёта - вам знакома?

Да, знакома.

[Vallav]

Munin в сообщении #234392 писал(а):

Пришёл сюда врать?

Не, противостоять Вашему вранью.

[Жесть]

Vallav в сообщении #234435 писал(а):

Munin в сообщении #234392 писал(а):

Пришёл сюда врать?

Не, противостоять Вашему вранью.

Откуда столько слабоумных берётся?.. Тем более на научном форуме...
Вот вы откуда?

[Vallav]

Жесть в сообщении #234479 писал(а):

Vallav в сообщении #234435 писал(а):

Munin в сообщении #234392 писал(а):

Пришёл сюда врать?

Не, противостоять Вашему вранью.

Откуда столько слабоумных берётся?.. Тем более на научном форуме...
Вот вы откуда?

Вы про кого?
Про Мунина?
Если про меня - не могли бы Ваш диагноз аргументировать?
Или на данном форуме принято - сначала совершенно неаргументировано
назвать новичка вруном, затем без всякой аргументации - слабоумным?

[anik]

PapaKarlo в сообщении #234314 писал(а):

Как определена эта угловая скорость? По отношению к чему вращается эта пара точек? Коль Вы задали значение угловой скорости, решающему Вашу задачу должна быть доступна возможность, например, посчитать линейную скорость одной из точек на основании условия задачи. В Вашей формулировке я не вижу такой возможности. Разъясните ситуацию, пожалуйста.

Похоже, что курс механики вам удалось осилить только до кинематики.
Если бы вы решили задачу динамики, то нашли бы, что ось собственного вращения "гантели":
1. Проходит через центр масс "гантели", на что сразу указал Alex165.
2. Перпендикулярна отрезку $S_{12}$, соединяющему точки $m_1$ и $m_2$.
Вращение происходит по окружностям, лежащим в одной плоскости - движения, и эта плоскость не поворачивается в инерциальном пространстве.
Известно, что центр масс $C$ делит отрезок $S_{12}$ в отношении, обратном отношению соответствующих масс.
Обозначим $S_{1C}(S_{2C})$ расстояние между точкой $m_1(m_2)$ и центром масс $C$. Тогда:
$ \left\{ \begin{array}{l} m_1S_{1C}-m_2S_{2C}=0,\\ S_{1C}+S_{2C}=S_{12}, \end{array} \right. $
отсюда
$ \left\{ \begin{array}{l} S_{1C} = \frac {m_2S_{12}} {m_1+m_2}$,\\ S_{2C} = \frac {m_1S_{12}} {m_1+m_2}, \end{array} \right. $
Теперь найдем линейные скорости точек в ИСО, связанной с центром масс.
$ \left\{ \begin{array}{l} v_1 = \frac {\omega m_2S_{12}} {m_1+m_2}$,\\ v_2 = \frac {\omega m_1S_{12}} {m_1+m_2}, \end{array} \right. $
Здесь $S_{12}$ - длина невесомой связи.
$\omega$ - модуль вектора угловой скорости.
Это модули линейных скоростей вращения. Если известно направление отрезка $S_{12}$ для момента времени $t$, то векторы скоростей "абсолютных" нормальны к этому отрезку.
Теперь можете от этих векторов линейных скоростей вычесть постоянный вектор скорости любой ИСО и вы получите линейные скорости материальных точек "гантели" в любой ИСО.
Главный вопрос, ответ на который я хотел бы услышать: как доказать, что ось собственного вращения "гантели" проходит через центр масс?

[Жесть]

Vallav в сообщении #234484 писал(а):

Вы про кого?

Про вас.

Vallav в сообщении #234484 писал(а):

Про Мунина?

Нет.

Vallav в сообщении #234484 писал(а):

Если про меня - не могли бы Ваш диагноз аргументировать?

Мог бы. Если человек, на знающий школьный курс физики, приходит на научный форум, чтобы противостоять чьему-то там вранью, то он слабоумный. Потому что если не он, то кто же?

[jetyb]

При отсутствии внешних сил центр масс системы равномерно движется по прямой или покоится. В инерциальной системе отсчета связанной с движущимся центром масс гантель будет вражаться вокруг центра масс.

[anik]

jetyb в сообщении #234496 писал(а):

При отсутствии внешних сил центр масс системы равномерно движется по прямой или покоится. В инерциальной системе отсчета связанной с движущимся центром масс гантель будет вражаться вокруг центра масс.

Целиком и полностью с вами согласен, но как это доказать?

[Vallav]

Жесть в сообщении #234491 писал(а):

Vallav в сообщении #234484 писал(а):

Вы про кого?

Про вас.

Vallav в сообщении #234484 писал(а):

Про Мунина?

Нет.

Vallav в сообщении #234484 писал(а):

Если про меня - не могли бы Ваш диагноз аргументировать?

Мог бы. Если человек, на знающий школьный курс физики, приходит на научный форум, чтобы противостоять чьему-то там вранью, то он слабоумный. Потому что если не он, то кто же?

Вы не поняли.
Я просил аргументировать Ваш вывод, а не щеки надувать.
Итак, на осровании чего Вы сделали такой вывод?
Заодно узнаем, кто из нас не знает школьной физики.
Аргументируйте.
Или извинитесь.

[anik]

PapaKarlo в сообщении #234314 писал(а):

Как определена эта угловая скорость? По отношению к чему вращается эта пара точек? Коль Вы задали значение угловой скорости, решающему Вашу задачу должна быть доступна возможность, например, посчитать линейную скорость одной из точек на основании условия задачи. В Вашей формулировке я не вижу такой возможности. Разъясните ситуацию, пожалуйста.

Похоже, что курс механики вам удалось осилить только до кинематики.
Если бы вы решили задачу динамики, то нашли бы, что ось собственного вращения "гантели":
1. Проходит через центр масс "гантели", на что сразу указал Alex165.
2. Перпендикулярна отрезку $S_{12}$, соединяющему точки $m_1$ и $m_2$.
Вращение происходит по окружностям, лежащим в одной плоскости - движения, и эта плоскость не поворачивается в инерциальном пространстве.
Известно, что центр масс $C$ делит отрезок $S_{12}$ в отношении, обратном отношению соответствующих масс.
Обозначим $S_{1C}(S_{2C})$ расстояние между точкой $m_1(m_2)$ и центром масс $C$. Тогда:
$ \left\{ \begin{array}{l} m_1S_{1C}-m_2S_{2C}=0,\\ S_{1C}+S_{2C}=S_{12}, \end{array} \right. $
отсюда
$ \left\{ \begin{array}{l} S_{1C} = \frac {m_2S_{12}} {m_1+m_2}$,\\ S_{2C} = \frac {m_1S_{12}} {m_1+m_2}, \end{array} \right. $
Теперь найдем линейные скорости точек в ИСО, связанной с центром масс.
$ \left\{ \begin{array}{l} v_1 = \frac {\omega m_2S_{12}} {m_1+m_2}$,\\ v_2 = \frac {\omega m_1S_{12}} {m_1+m_2}, \end{array} \right. $
Здесь $S_{12}$ - длина невесомой связи.
$\omega$ - модуль вектора угловой скорости.
Это модули линейных скоростей вращения. Если известно направление отрезка $S_{12}$ для момента времени $t$, то векторы скоростей "абсолютных" нормальны к этому отрезку.
Теперь можете от этих векторов линейных скоростей вычесть постоянный вектор скорости любой ИСО и вы получите линейные скорости материальных точек "гантели" в любой ИСО.
Главный вопрос, ответ на который я хотел бы услышать: как доказать, что ось собственного вращения "гантели" проходит через центр масс?

[jetyb]

anik в сообщении #234511 писал(а):

Целиком и полностью с вами согласен, но как это доказать?

Например из теоремы об изменении количества движения системы $Q=\sum\limits_{i=1}^nm_i\upsilon_i:$

$$\frac{dQ}{dt}=F^{(e)}+R^{(e)},$$

где $F^{(e)}=\sum\limits_{i=1}^nF^{(e)}_i$ - главный вектор внешних сил, а $R^{(e)}=\sum\limits_{i=1}^nR^{(e)}_i$ - вектор реакции внешних связей, которые по условию равны нулю. Поскольку $Q=M\upsilon_c$, то
$M\frac{d\upsilon_c}{dt}=\frac{dQ}{dt}=0$
Иными словами, центр масс системы движется по прямой. Введем систему отсчета, связанную с центром масс. Есть теорема об изменении кинетического момента $K_c=\sum\limits_{i=1}^n[r_i\times m_i\upsilon_i]:$

$$\frac{dK_c}{dt}=M_c^{(e)}+L_c^{(e)},$$

где $M_c^{(e)},L_c^{(e)} $ главные моменты внешних сил и реакций внешних связей, которые по условию равны нулю. В выбранной системе отсчета центр масс C неподвижен, значит происходит вращение и $K_c=I_\omega\vec{\omega}=const$
($I_\omega $ - момент инерции относительно оси вращения).
Значит $\vec{\omega}=const$, и точки вращаются вокруг их центра масс.
Доказательство этих теорем можно найти в любом хорошем учебнике.

[Munin]

anik в сообщении #234527 писал(а):

Теперь можете от этих векторов линейных скоростей вычесть постоянный вектор скорости любой ИСО и вы получите линейные скорости материальных точек "гантели" в любой ИСО.

И другую ось вращения.

[anik]

jetyb в сообщении #234535 писал(а):

где главные моменты внешних сил и реакций внешних связей, которые по условию равны нулю. В выбранной системе отсчета центр масс C неподвижен, значит происходит вращение и
( - момент инерции относительно оси вращения).
Значит , и точки вращаются вокруг их центра масс.
Доказательство этих теорем можно найти в любом хорошем учебнике.

Я благодарен jetyb за предоставленное доказательство. В целом оно меня устраивает. Только маленькое уточнение. Вращение происходит не потому, что центр масс неподвижен, а потому, что нет внешних моментов сил и реакций. Тогда производная от момента количества движения равна нулю. Значит, $K_c=0$ исключается, так как задана угловая скорость, не равная нулю.
И еще хочу заметить: центр масс "гантели" может двигаться с постоянной скоростью, но не может вращаться вокруг геометрической точки, не совпадающей с центром масс. В противном случае появится центростремительное ускорение и соответствующая центростремительная сила (т.к. "гантель" имеет массу), но сила не может действовать на "гантель" из пустоты (геометрической точки), так же как и нельзя подействовать силой на пустоту.
Может быть, с этим доказательством не согласны другие участники форума, или что-нибудь неясно?

[Munin]

Поле скоростей вращающегося твёрдого тела задаётся
$\mathbf{v}=\mathbf{V}+[\mathbf{\Omega r}]$
(ЛЛ-1 § 38), где $\mathbf{V}$ - скорость центра масс, а $\mathbf{r}$ - радиус-вектор из центра масс. Разложив $\mathbf{v}$ на составляющие параллельно и перпендикулярно оси вращения, замечаем, что при $\mathbf{\Omega}\ne 0$ всегда можно найти точку, в которой $\mathbf{v}_{\perp}=0\colon$
$\mathbf{V}_{\perp}+[\mathbf{\Omega r}_0]=0\quad\Leftrightarrow$
$[\mathbf{\Omega V}]+[\mathbf{\Omega}[\mathbf{\Omega r}_0]]=0\quad\Leftrightarrow$
$\mathbf{r}_0=\Omega^{-2}[\mathbf{\Omega V}].$
При $\mathbf{V}\ne 0$ и $\mathbf{r}_0\ne 0.$ Подставляя $\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\mathbf{R},$ имеем
$\mathbf{v}=\mathbf{V}_{\parallel}+[\mathbf{\Omega R}],$
то есть вращение вокруг оси, проходящей через найденную точку ($\mathbf{R}$ - отложенный из неё радиус-вектор).

-- 12.08.2009 18:42:55 --

anik в сообщении #234596 писал(а):

Я благодарен jetyb за предоставленное доказательство. В целом оно меня устраивает.

Тогда прочитайте его внимательнее. Там явно выбрана система отсчёта центра масс. В другой системе отсчёта вращение будет вокруг другой оси.

[anik]

Munin в сообщении #234578 писал(а):

anik в сообщении #234527 писал(а):

Теперь можете от этих векторов линейных скоростей вычесть постоянный вектор скорости любой ИСО и вы получите линейные скорости материальных точек "гантели" в любой ИСО.

И другую ось вращения.

Да, "И другую ось вращения". Но как вы конкретно "привяжете" эту ось к нашей "гантели". И как вы сможете "физически" задать взаимное расположение осей произвольной системы отсчета (начало которой помещено в пустоту, а направления осей не определены) и отрезка $S_{12}$, соединяющего точки $m_1$ и $m_2$. Наверное, вам придется "зацепиться" за реально существующие в природе, материальные точки $m_1$ и $m_2$ нашей "гантели". Если вы свяжете систему отсчета с какой-то третьей материальной точкой (или телом) $m_3$, то, в конкретной физической задаче вам придется сначала задать взаимное расположение точек $m_1, m_2, m_3$. Об изолированности системы точек $m_1, m_2$ уже говорить не приходится, т.к. есть поблизости третья точка $m_3$ и придется говорить об изолированной системе трех точек.
В начале большинства учебников по механике говорится о том, что системы отсчета всегда связаны с материальными телами или точками. Но в большинстве случаев это обман!