Есть ли строгость в математике?

[Виктор Викторов]

AGu в сообщении #233104 писал(а):

Вы ошиблись, посчитав, что запись $A_1,\dots,A_m\vdash B_1,\ \dots,\ A_1,\dots,A_m\vdash B_p$ при $p=0$ превращается в $A_1,\dots,A_m\vdash$. На самом деле при $p=0$ эта запись превращается в пустоту (что я и написал ). Действительно, если $\varphi_1,\dots,\varphi_p$ -- набор условий $\varphi_i$ (метаформул в данном случае), то во что он превращается при $p=0$? Разумеется, в пустой набор условий. Например, Вы ведь не считаете, что список условий $x>y_1,\ \dots,\ x>y_p$ при $p=0$ превращается в $x>$ , не правда ли?

Спасибо!! Это красиво. С моей стороны это и есть misconception (неправильное понимание), и разбираться с этим много трудней чем с незнанием.

[hexamino]

AD в сообщении #233075 писал(а):

Но эта вера, как и понятие "собеседник", находится за пределами математики.

Если так рассуждать, то и утверждения о том, что есть математика, а что находится за ее пределами, находятся за пределами математики.
Но не все, что находится за пределами математики, не имеет смысла для математиков.

[AGu]

hexamino в сообщении #233118 писал(а):

Если так рассуждать, то и утверждения о том, что есть математика, а что находится за ее пределами, находятся за пределами математики.

Смайлик тут явно лишний, ибо это правда.

hexamino в сообщении #233118 писал(а):

Но не все, что находится за пределами математики, не имеет смысла для математиков.

И это тоже правда.

-- 2009.08.05 20:39 --

Профессор Снэйп в сообщении #233103 писал(а):

Ради хохмы замечу, что чисто формально имеет место быть секвенция $\vdash$ (с пустыми левой и правой частями). Её доказуемость равносильна противоречивости исчисления

Весело! Если бы мне пару минут назад сказали, что $\vdash$ — это утверждение, я бы удивился.

P.S. Зря Вы так сразу вывалили ответ. Надо было замутить это как головоломку.

[Виктор Викторов]

AGu в сообщении #233119 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #233103 писал(а):

Ради хохмы замечу, что чисто формально имеет место быть секвенция $\vdash$ (с пустыми левой и правой частями). Её доказуемость равносильна противоречивости исчисления

Весело! Если бы мне пару минут назад сказали, что $\vdash$ — это утверждение, я бы удивился.

P.S. Зря Вы так сразу вывалили ответ. Надо было замутить это как головоломку.

Так дело не пойдёт. Секвенция другой знак $\to$ (по крайней мере, у Клини) и в левой части отнюдь не пусто, а аксиомы. Вот это-то «молчаливое» присутствие аксиом и «спровоцировало» идею пустого вывода.

[AGu]

Виктор Викторов в сообщении #233141 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #233103 писал(а):

Ради хохмы замечу, что чисто формально имеет место быть секвенция $\vdash$ (с пустыми левой и правой частями). Её доказуемость равносильна противоречивости исчисления

Так дело не пойдёт. Секвенция другой знак $\to$ (по крайней мере, у Клини) и в левой части отнюдь не пусто, а аксиомы. Вот это-то «молчаливое» присутствие аксиом и «спровоцировало» идею пустого вывода.

Не-не, пойдет. Вы посмотрите на символ $\vdash$ не как на секвенцию, а как именно на утверждение. И это действительно будет утверждение о противоречивости исчисления: «из аксиом исчисления выводимо что угодно».

[Профессор Снэйп]

Виктор Викторов в сообщении #233141 писал(а):

Секвенция другой знак $\to$...

Это не секвенция, это импликация

http://en.wikipedia.org/wiki/Sequent

[Виктор Викторов]

Профессор Снэйп в сообщении #233175 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #233141 писал(а):

Секвенция другой знак $\to$...

Это не секвенция, это импликация

http://en.wikipedia.org/wiki/Sequent

У Клини в «Математическая логика» (издания 1973) $\to$ секвенция (стр. 343).

[Профессор Снэйп]

У Клини встречаются нестандартные обозначения. Вы другие книжки тоже читайте, не только Клини

Вообще с этими значками... В более-менее современных источниках импликацию обозначают $\Phi \rightarrow \Psi$, в более старых $\Phi \supset \Psi$. Где-то я даже встречал $\Phi \subset \Psi$. Я знаю "происхождение" значков, но не знаю, кто авторы этих традиций и какова их история.

P. S. Весь отдел математической логики ИМ СО РАН (в том числе и специалисты по исчислениям) дружно пишут $\Phi \rightarrow \Psi$. В западных монографиях, в журнальных статьях и в докладах на конференциях я тоже встречал только стрелочку. Запись $\Phi \supset \Psi$ видел лишь в старых книгах, вышедших до 1980 года, в частности, в упомянутой уже книге Клини

-- Чт авг 06, 2009 09:45:48 --

P. P. S. Кстати, если не ошибаюсь, самого Клини я видел живьём в 1990 году. Я тогда поступал на первый курс, в Новосибирске была большая конференция и кто-то мне его вроде там показывал. Хотя это было уже так давно, что сейчас боюсь напутать

[AGu]

Профессор Снэйп в сообщении #233223 писал(а):

В более-менее современных источниках импликацию обозначают $\Phi \rightarrow \Psi$, в более старых $\Phi \supset \Psi$. Где-то я даже встречал $\Phi \subset \Psi$. Я знаю "происхождение" значков, но не знаю, кто авторы этих традиций и какова их история.

Кстати, запись импликации $\Phi\to\Psi$ в виде $\Phi\subset\Psi$ мне как раз кажется вполне обоснованной. Хотя бы потому, что $0=\varnothing\subset\{\varnothing\}=1$. А в булевозначном анализе для такой записи есть еще более веские основания. А вот древняя запись импликации в виде $\Phi\supset\Psi$ меня всегда удивляла. Что эти древние имели в виду? Или они ничего не имели, и им, типа, просто было пофиг, какой значок выбрать?

[Профессор Снэйп]

AGu в сообщении #233348 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #233223 писал(а):

В более-менее современных источниках импликацию обозначают $\Phi \rightarrow \Psi$, в более старых $\Phi \supset \Psi$. Где-то я даже встречал $\Phi \subset \Psi$. Я знаю "происхождение" значков, но не знаю, кто авторы этих традиций и какова их история.

Кстати, запись импликации $\Phi\to\Psi$ в виде $\Phi\subset\Psi$ мне как раз кажется вполне обоснованной. Хотя бы потому, что $0=\varnothing\subset\{\varnothing\}=1$. А в булевозначном анализе для такой записи есть еще более веские основания. А вот древняя запись импликации в виде $\Phi\supset\Psi$ меня всегда удивляла. Что эти древние имели в виду? Или они ничего не имели, и им, типа, просто было пофиг, какой значок выбрать?

Запись $\Phi \supset \Psi$ означает, что содержание понятия $\Phi$ расширяет содержание понятия $\Psi$. Например, пусть $\Psi(x)$ означает, что $x$ --- предмет мебели, а $\Phi(x)$ означает, что $x$ --- это стул. Справедлива импликация $\Phi(x) \rightarrow \Psi(x)$. Теперь если мы станем давать определения, то получится что-то вроде

1) мебелью называется...

2) стулом называется такая мебель, что...

То есть для того, чтобы объяснить что такое стул, мы должны сначала сказать всё про мебель, а затем ещё несколько слов. Определение стула включает в себя больше признаков, чем определение мебели. Отсюда и "включение" $\Phi(x) \supset \Psi(x)$: понятие $\Phi$ содержит в себе больше признаков, чем понятие $\Psi$.

Как-то так... А обратное включение $\Phi(x) \subset \Psi(x)$ отражает соотношение между объёмами понятий. Объём понятие "стул" --- множество всех стульев, объём понятие "мебель" --- множество всех предметов мебели, стульев меньше, чем мебели.

Почему традиция оперирует не с объёмами, а с содержаниями понятий, я не знаю.

[AGu]

Профессор Снэйп в сообщении #233354 писал(а):

Отсюда и "включение" $\Phi(x) \supset \Psi(x)$: понятие $\Phi$ содержит в себе больше признаков, чем понятие $\Psi$.

Действительно, все вполне логично и очень близко к отношению подкласс-суперкласс: у подкласса больше атрибутов, и он в этом смысле расширяет суперкласс. Ура, я стал умнее! Спасибо, Профессор!

[Виктор Викторов]

AGu в сообщении #233364 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #233354 писал(а):

Отсюда и "включение" $\Phi(x) \supset \Psi(x)$: понятие $\Phi$ содержит в себе больше признаков, чем понятие $\Psi$.

Действительно, все вполне логично и очень близко к отношению подкласс-суперкласс: у подкласса больше атрибутов, и он в этом смысле расширяет суперкласс. Ура, я стал умнее! Спасибо, Профессор!

И я стал умнее. Спасибо, Профессор!

[nikov]

AD в сообщении #233075 писал(а):

Но эта вера, как и понятие "собеседник", находится за пределами математики.

Математики, включая и очень известных ученых, далеко не единогласны в вопросе о том, что составлят предмет изучения математики, а что находится за ее пределами. Приведу несколько цитат:
здесь

Цитата:

АНТИНАУЧНАЯ РЕВОЛЮЦИЯ И МАТЕМАТИКА
В.И. Арнольд
....
Коммутативность умножения можно понять, только пересчитывая по рядам и шеренгам выстроенную роту солдат или же вычисляя двумя способами площадь прямоугольника. Все попытки избежать этого вмешательства реального мира в математику — сектантство, которое восстанавливает против себя любого разумного человека и вызывает у него отвращение к этой науке, к умножению и к любым доказательствам. Подобное "абстрактное" описание математики непригодно ни для обучения, ни для каких-либо практических приложений.

здесь

Цитата:

О ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ
В.И. Арнольд

Математика – часть физики. Физика – экспериментальная, естественная наука, часть естествознания. Математика – это та часть физики, в которой эксперименты дёшевы.

Тождество Якоби (вынуждающее высоты треугольника пересекаться в одной точке) – такой же экспериментальный факт, как то, что Земля кругла (т.е. гомеоморфна шару). Но обнаружить его можно с меньшими затратами.

В середине двадцатого века была предпринята попытка разделить математику и физику. Последствия оказались катастрофическими. Выросли целые поколения математиков, незнакомых с половиной своей науки и, естественно, не имеющих никакого представления ни о каких других науках. Они начали учить своей уродливой схоластической псевдоматематике сначала студентов, а потом и школьников (забыв о предупреждении Харди, что для уродливой математики нет постоянного места под Солнцем).

Интересно сказал Эмиль Борель об аксиоме выбора:

Цитата:

Построение, которое нельзя описать, рассуждение, не могущее быть выполненным во всех его шагах до конца, - все это находится вне науки.

[Garik2]

Полностью согласен с В.И.Арнольдом.
Поэтому в идеале нужно поступать так: описываем физическую модель, в которую включаем элементы математической модели. Разделяем переменные (чисто физические и чисто математические) и образуем четкую взаимосвязь физики и математики.

[Профессор Снэйп]

nikov в сообщении #233380 писал(а):

Математика – часть физики.

Подобные высказывания сильно сужают область науки. Даже если ограничиваться только интересом к практическим приложениям и не считать "чистые" математические теории истинной математикой, то не стоит забывать, что математика находит широкое применение в computer science, в экономике, да и практически в любой области человеческой деятельности (математика присутствует везде, где присутствуют числа). От физики всё это довольно далеко.

На мой взгляд, в математике выстраивается некая иерархия её областей, упорядочивающая их по степени их "чистоты". Допустим, что кто-то запускает ракету или снаряд из пушки и он хочет рассчитать траектории летящих объектов. Тогда он решает некий диффур численными методами, то есть прибегает к такой сугубо практической области математики, как методы вычислений. Сам диффур он берёт из физики, а те методы, которыми он его решает, опираются на теорию дифференциальных уравнений. Это уже более абстрактная теория, стоящая ближе к "чистой" математической мысли, чем методы вычислений. Далее, диффурщики в своих исследованиях опираются на матан и алгебру, ещё более "чистые" области математического знания. Ну а матан с алгеброй используют методы работы с бесконечными множествами, то есть сами опираются, в свою очередь, на ZFC и прочую матлогическую дребедень. Всё, в конечном счёте, сводится к матлогике, имеющей весьма отдалённое отношение к "объективной реальности".

Можно всю жизнь успешно заниматься диффурами и не помнить аксиомы ZFC, но это не значит, что матлогика и теория множеств "не нужны", что их ценность приближается к нулю. Арнольд в своём высказывании проявляет нездоровый экстремизм. Споря с бурбакизмом, он кидается в другую крайность, которая не менее ущербна, чем крайность бурбаков.

Заниматься абстрактными разделами математики, не имеющими отношения к физическому миру, можно и нужно. Этому есть две важные причины: первая объективная, а вторая --- главная (по крайней мере для меня).

1) Чистая математика служит логическим фундаментом для математики прикладной.

2) "Абстрактные" области математического знания бывают удивительно красивы, и сама их внутренняя красота служит для них достаточным оправданием.

Я вот сегодня пускал с балкона мыльные пузыри. Конечно, можно было потратить затраченное на пускание пузырей время с большей пользой, но я не считаю, что этот фрагмент жизни был прожит мною зря.

-- Чт авг 06, 2009 22:43:23 --

Мне нравится другое высказывание, не менее великого, чем Арнольд, математика А. И. Мальцева.

Цитата:

Математика заканчивается там, где начинаются интегралы.

Из двух достаточно "экстремистских" высказываний (Арнольда и Мальцева) высказывание Мальцева мне гораздо ближе.