План скоростей

[stuk]

Здравствуйте, помогите разобраться с такой задачей.

Имеется некая система рычагов (подвеска автомобиля) которая имеет некоторые перемещения с определенной скоростью:
– относительно точки $O$ – угловую скорость (крен) $\dot\varphi$
– относительно точки $O’$ – боковая скорость $\dot{y}’$ и угловую скорость $\dot\varphi'$.

Каждая из этих точек берется за начало координат, символы $y$, $z$ обозначают координаты точек в системе координат с началом в точке $O$, а $y’$, $z’$ обозначают координаты точек в системе координат с началом в точке $O’$.

Сама задача сводиться к построению плану скоростей концов рычагов относительно точек $O$ и $O’$ с последующим приравниванием скоростей точек, направленных вдоль рычагов.
Т.е. в итоге получают вот такие уравнения:
для верхнего рычага $\verb
$\dot{y}’\cdot\cos\theta_1-\dot\varphi’\cdot(z’_2\cdot\cos\theta_1+ y’_2\cdot\sin\theta_1)= \dot\varphi\cdot(z_1\cdot\cos\theta_1+ y_1\cdot\sin\theta_1)$

для нижнего рычага $\verb
$\dot{y}’\cdot\cos\theta_2-\dot\varphi’\cdot(z’_3\cdot\cos\theta_2- y’_3\cdot\sin\theta_2)= -\dot\varphi\cdot(z_4\cdot\cos\theta_2+ y_4\cdot\sin\theta_2)$

Не могу понять почему на рис. б в точках 2 и 3 написано $ -\dot\varphi’\cdot z_2 $ и соответственно $ -\dot\varphi’\cdot z_3 $ у меня выходит с $+$ помогите понять где ошибаюсь.

[Андрей123]

При вращении вокруг точки скорость любой точки твердого тела выражается формулой $[\overline{\omega},\overline{r}]$, где $\overline{\omega}$ - вектор угловой скорости вращения, $\overline{r}$ - радиус вектор точки относительно точки вращения. В вашем случае вектор угловой скорости вращения - $(\dot\varphi',0,0)$, а радиус вектор точки -$(0,y'_2,z_2')$. Раскрывайте векторное произведение и получите требуемое.

[stuk]

Спасибо, действительно все сошлось с рисунком 1

$( \dot\varphi’,0,0)\cdot(0, {y’_2}, {z’_2})=(a_y\cdot b_z-a_z \cdot b_y; a_z \cdot b_x - a_x \cdot b_z; a_x \cdot b_y-a_y \cdot b_x)= =(0\cdot z’_2-0 \cdot y’_2; 0\cdot0-\dot\varphi’ \cdot z’_2; \dot\varphi’ \cdot y’_2-0\cdot0)= (0;-\dot\varphi’ \cdot z’_2;\dot\varphi’ \cdot y’_2)$


Интересно а где ошибка в моих рассуждениях когда я это все находил другим путем.
Направление угловой скорости $\dot\varphi’$ я определил по правилу правого буравчика как на рис.2.

Получается что $\dot\varphi’$ как бы входит в плоскость рисунка 1, допустим совпадает с направлением оси $OX'$.
Тогда получается вот такая схема (рис. 3)

Знак $+$ я ставлю потому что направление $ \dot\varphi’ \cdot z’_2$ совпадает с направлением оси $OY'$

Получается что с векторным произведением не сходиться, а почему не могу понять….

-- Ср июл 22, 2009 17:25:05 --

По моему я немного поспешил с выводами что результаты векторного произведения совпадают с рис. 1 (в точка 2 и 3).
Как мне кажется по рис.1 (рис. 5.15) координаты точки 2 такие $ (0, -{y’_2}, -{z’_2})$ тогда имеем
$( \dot\varphi’,0,0)\cdot(0, -{y’_2}, -{z’_2})=(a_y\cdot b_z-a_z \cdot b_y; a_z \cdot b_x - a_x \cdot b_z; a_x \cdot b_y-a_y \cdot b_x)=(0;\dot\varphi’ \cdot z’_2;-\dot\varphi’ \cdot y’_2)$

И опять ничего не сходиться, но получен один и тот же результат двумя разными способами…..получается в книге ошибка?

[Андрей123]

Координаты точки два -$(0,y'_2,z'_2)$. На то они и координаты. А уже знак их может быть различным.

[stuk]

Если так то по $ -\dot\varphi’\cdot z’_2 $ сходиться, но по $ \dot\varphi’\cdot y’_2 $ должно быть с $-$, а выходит с $+$.

То что должен быть $-$ видно из того что направление стрелки $ \dot\varphi’\cdot y’_2 $ не совпадает с направлением оси $OZ'$, да и открыв скобки в выражении для верхнего рычага $\verb
$\dot{y}’\cdot\cos\theta_1-\dot\varphi’\cdot(z’_2\cdot\cos\theta_1+ y’_2\cdot\sin\theta_1)= \dot\varphi\cdot(z_1\cdot\cos\theta_1+ y_1\cdot\sin\theta_1)$
видно что $ -\dot\varphi’\cdot y’_2 $

[Андрей123]

Все верно. Я просто сначала перепутал оси. Если вращение идет по часовой стрелке, то вектор угловой скорости $(-\dot\varphi',0,0)$ и знаки будут противоположными знакам на рисунке.

[stuk]

А разве знак вектора угловой скорости определяется вращением по или против часовой стрелке? А где это можно прочитать, а то в Википедии только рисунки показывающие направление вектора но ни слова о их знаке.

Я знак выбирал из тех соображений что если направление вектора совпадает с направлением оси то $+$, если не совпадает то $-$….разве это не правильно?

[Андрей123]

Да. Знак определяется вращением по или против часовой стрелке. Почитайте учебники по механике, где про кинематику твердого тела.

[stuk]

Опять ничего не сходиться…..я уже пробовал и так и эдак, ну не сходиться и все…
На рис. 1 (5.15) точка 2 имеет такие скорости $ (0;-\dot\varphi’ \cdot z’_2;-\dot\varphi’ \cdot y’_2)$.
Если получать эти скорости векторным произведением
$( a_x, a_y, a_z), (b_x, b_y, b_z)=(a_y\cdot b_z-a_z \cdot b_y; a_z \cdot b_x - a_x \cdot b_z; a_x \cdot b_y-a_y \cdot b_x) $
то получаем такие скорости
$( -\dot\varphi’,0,0)\cdot(0, {y’_2}, {z’_2})=(0;\dot\varphi’ \cdot z’_2;-\dot\varphi’ \cdot y’_2)$ – не сходиться

$( -\dot\varphi’,0,0)\cdot(0, -{y’_2}, -{z’_2})=(0;-\dot\varphi’ \cdot z’_2;\dot\varphi’ \cdot y’_2)$ – не сходиться

$( \dot\varphi’,0,0)\cdot(0, {y’_2}, {z’_2})=(0;-\dot\varphi’ \cdot z’_2; \dot\varphi’ \cdot y’_2)$ – не сходиться

$( \dot\varphi’,0,0)\cdot(0, -{y’_2}, -{z’_2})=(0;\dot\varphi’ \cdot z’_2;-\dot\varphi’ \cdot y’_2)$ – не сходиться

Андрей123 в сообщении #230611 писал(а):

Координаты точки два -$(0,y'_2,z'_2)$. На то они и координаты. А уже знак их может быть различным.

А если взять координаты точек 1 и 4 (рис1 в (5.15)) одинаковыми $ (0, {y_1}, {z_1})$, $ (0, {y_4}, {z_4})$ то получим одинаковый результат, а по рисунки видно, что их скорости вдоль оси $OY$ направлены в разные стороны, получается все таки надо учитывать знаки координат при векторном умножении?
Т.е. так
$ (0, {y_1}, -{z_1})$, $ (0, {y_4}, {z_4})$.

[Андрей123]

Не гадайте. Знаки получаются противоположными знакам на рисунке(для точки 2, остальные не проверял). Читайте учебники.

[stuk]

В принципе разобрался с построением плана скоростей, нашел нормальный пример (рис. 4) где указаны все оси и их направления, все сходиться как Вы и писали.


Т.е. $( \dot\varphi’,0, \dot\varepsilon’_k)\cdot(x’_5, {y’_5}, {z’_5})=(-\dot\varepsilon’_k \cdot y’_5; \dot\varepsilon’_k \cdot x’_5-\dot\varphi’ \cdot z’_5; \dot\varphi’ \cdot y’_5)$

Но в этом примере (рис. 4) есть еще угловая скорость $\dot\varepsilon’_p$ относительно стержня $a$, который явно имеет какой то наклон относительно оси $O’Z’$. По примеру получается что точка 5 имеет такие скорости от этой угловой скорости $\dot\varepsilon’_{p}$
$V_x = \dot\varepsilon’_{p}\cdot h_{Y’O’Z’} V_y = \dot\varepsilon’_{p}\cdot h_{X’O’Z’} V_z = \dot\varepsilon’_{p}\cdot h_{X’O’Y’}+ \dot\varepsilon’_{p}\cdot l_{X’O’Y’}$

где $ h_{Y’O’Z’}, h_{X’O’Z’}, h_{X’O’Y’}$ – проекция расстояния от точки 5 до оси стержня $a$ на соответствующие плоскости;
$ l_{X’O’Y’}$- проекция расстояния от точки $O’$ до оси стержня $a$ на плоскость $X’O’Y’$.

Пробовал предположить, что отрезок $56$ перпендикулярен стержню $a$, тогда
$( 0,0, -\dot\varepsilon’_p)\cdot(h_{ X’O’Z’}, h_{ Y’O’Z’}, h_{X’O’Y’})=(\dot\varepsilon’_p \cdot h_{ Y’O’Z’}; \dot\varepsilon’_p \cdot h_{ X’O’Z’}; 0)$
и все равно ничего не получилось….

Помогите разобраться с угловой скоростью $\dot\varepsilon’_p$.

[Андрей123]

Давайте по порядку. Нарисуйте отдельный рисунок и скажите, что непонятно.

[stuk]

Не могу понять как получено для точки 5 эти скорости
$V_x = \dot\varepsilon’_{p}\cdot h_{Y’O’Z’} V_y = \dot\varepsilon’_{p}\cdot h_{X’O’Z’} V_z = \dot\varepsilon’_{p}\cdot h_{X’O’Y’}+ \dot\varepsilon’_{p}\cdot l_{X’O’Y’}$

где $ h_{Y’O’Z’}, h_{X’O’Z’}, h_{X’O’Y’}$ – проекция расстояния от точки 5 до оси стержня $a$ на соответствующие плоскости;
$ l_{X’O’Y’}$- проекция расстояния от точки $O’$ до оси стержня $a$ на плоскость $X’O’Y’$.

Если бы стержень $a$ был параллелен оси $O’Z’$, было бы как то попроще…..хотя все равно не понятно

[Андрей123]

Вся конструкция вращается вокруг оси $oZ'$? Где расположена точка 5?

[stuk]

Если не ошибаюсь то вся конструкция вращается вокруг стержня $a$. Точка $5$ является концом стержня $56$ который соединен со стержнем $a$ под прямым углом.