План скоростей

[Андрей123]

Еще раз повторюсь. При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси. Скорость любой его точки дается формулой:$\overline{v}=[\overline{\omega},\overline{r}]$. Здесь $\overline{r}$ - радиус-вектор точки относительно любой точки оси, вектор $\overline{\omega}$ параллелен оси, а его величина и направление определяются величиной вращательной скорости и направлением вращения. В вашем случае вектор $\overline{\omega}$ направлен "вверх" по стержню a, вектор $\overline{r}$ - вектор $\overline{65}$. Находите из чертежа координаты этих векторов и получите координаты вектора скорости точки 5.

[stuk]

Вроде бы и так пробовал
$( 0,0, -\dot\varepsilon’_p)\cdot(h_{ X’O’Z’}, h_{ Y’O’Z’}, h_{X’O’Y’})=(\dot\varepsilon’_p \cdot h_{ Y’O’Z’}; \dot\varepsilon’_p \cdot h_{ X’O’Z’}; 0)$
Но по рис. 5 имеем
$V_x = \dot\varepsilon’_{p}\cdot h_{Y’O’Z’} V_y = \dot\varepsilon’_{p}\cdot h_{X’O’Z’} V_z = \dot\varepsilon’_{p}\cdot h_{X’O’Y’}+ \dot\varepsilon’_{p}\cdot l_{X’O’Y’}$

где $ h_{Y’O’Z’}, h_{X’O’Z’}, h_{X’O’Y’}$ – проекция расстояния от точки 5 до оси стержня $a$ на соответствующие плоскости;
$ l_{X’O’Y’}$- проекция расстояния от точки $O’$ до оси стержня $a$ на плоскость $X’O’Y’$.

Получается что мои результаты не сходятся с результатами примера по скорости $ V_z $.

[Андрей123]

Вы неправильно находите координаты векторов. Посмотрите внимательно, как у Вас выбрана система координат.

[stuk]

Что то я опять запутался….Вы имеете ввиду что необходимо брать координаты точки 5 $ (x’_5, {y’_5}, {z’_5})$, а не $ (h_{Y’O’Z’}, h_{X’O’Z’}, h_{X’O’Y’})$.

Ведь мы же находим скорость точки 5 от рассматриваемого перемещения $\dot\varepsilon’_p$. А $ (h_{Y’O’Z’}, h_{X’O’Z’}, h_{X’O’Y’})$ как раз и есть радиус вектор точки 5 относительно оси стержня $a$….разве не так?

[Андрей123]

В выбранной на рисунке системе координат ось z не совпадает с направлением угловой скорости. Координаты радиус-вектора правильные, а координаты вектора угловой скорости - нет.

[stuk]

Я как то думал что надо бы $\dot\varepsilon’_p$ разложить на составляющие $\dot\varepsilon’_{p(x)}, \dot\varepsilon’_{p(y)}, \dot\varepsilon’_{p(z)}$, но это не сходиться со скоростями в примере
$V_x = \dot\varepsilon’_{p}\cdot h_{Y’O’Z’} V_y = \dot\varepsilon’_{p}\cdot h_{X’O’Z’} V_z = \dot\varepsilon’_{p}\cdot h_{X’O’Y’}+ \dot\varepsilon’_{p}\cdot l_{X’O’Y’}$

А других идей, как правильно определить координаты вектора угловой скорости, у меня нет….подскажите как же правильно определить координаты вектора угловой скорости $\dot\varepsilon’_p$

[Андрей123]

Судя по вашему рисунку вектор угловой скорости лежит в плоскости $Y'O'Z'$, а радиус-вектор ему перпендикулярен. Пусть $\overline{a}=a(e_x,e_y,e_z)$, где $a$ - длина вектора. Тогда координаты угловой скорости с точностью до знака(проверьте сами) $\epsilon'_p(0,-e_z,e_y)$. Дальше - геометрия.

[stuk]

Судя по рисункам вектор угловой скорости лежит не только в плоскости $ Y’O’Z’$. Т.к. все точки на стержне $a$ имеют координаты $x$. Да и умножив
$(0, -\dot\varepsilon’_{p(z)}, \dot\varepsilon’_{p(y)})\cdot(h_{ X’O’Z’}, h_{ Y’O’Z’}, h_{X’O’Y’}) = (-\dot\varepsilon’_{p(z)} \cdot h_{ X’O’Y’}-\dot\varepsilon’_{p(y)} \cdot h_{ Y’O’Z’}; \dot\varepsilon’_{p(y)}\cdot h_{ X’O’Z’}; \dot\varepsilon’_{p(z)} \cdot h_{ X’O’Z’})$

Не получаем
$V_x = \dot\varepsilon’_{p}\cdot h_{Y’O’Z’} V_y = \dot\varepsilon’_{p}\cdot h_{X’O’Z’} V_z = \dot\varepsilon’_{p}\cdot h_{X’O’Y’}+ \dot\varepsilon’_{p}\cdot l_{X’O’Y’}$

[Андрей123]

Без дополнительных предположений трудно что-то сказать. Напишите полностью условие задачи, может быть, тогда что-то прояснится.

[stuk]

Да в принципе условия как такового и нет, есть вот этот рис.6

и сказано что точки 5, 6, 7 относятся до системы координат $ X’Y’Z’O’$ в которой имеются перемещения $X’$, $Y’$, $\varphi’$, поворот вокруг оси $O’Z’$ – $\varepsilon’_{k}$ и поворот относительно оси $56$ - $\varepsilon’_{p}$

Точки 1, 3, 4 и 8 относятся до системы координат $ XYZO$ в которой имеются перемещения $Z$, $\rho$, $\varphi$,

А так как стержни абсолютно жесткие то принимают что скорости концов стержней вдоль линии их соединяющей тождественно равны.
Т.е. скорость точки 7 равна скорости точки 8 $V_7=V_8$,
$V_6=V_3$
$V_6=V_4$.
Ну а дальше идут уже расчеты по этим приравниваемым скоростям.

Как получены скорости из перемещений $\varphi’$, $\varepsilon’_{k}$, $\rho$ благодаря Вам уже понятно, но вот когда дохожу до $\varepsilon’_{p}$ для точек 7, 6, 5……ничего не понятно как оно получено в примере.

[Андрей123]

А Вы уверены, что не ошиблись по поводу обозначений $h_{X'O'Y'},l_{X'O'Y'}$ и т.д?

[stuk]

Вроде бы нигде не ошибся…. Приведу кусок решения дословно
Определим скорость точки 6 в направлении звеньев 6 – 3 и 6 – 4, а также скорость точки 7 в направлении рычага 7 – 8 от перемещений в системе координат $ X’Y’Z’O’$:
$ V_{63} =( \dot x’-y’_6\cdot \dot\varepsilon’_{k})\cdot cos\alpha_{36} + (\dot y’ + x’_6\cdot \dot\varepsilon’_{k} - z’_6\cdot \dot\varphi’)\cdot cos\beta_{36} + +(y’_6\cdot \dot\varphi’ +\dot\varepsilon’_{p}\cdot l_{X’O’Y’})\cdot cos\gamma_{36}$

$V_{64} =(\dot x’-y’_6\cdot \dot\varepsilon’_{k})\cdot cos\alpha_{46} + (\dot y’ + x’_6\cdot \dot\varepsilon’_{k} - z’_6\cdot \dot\varphi’)\cdot cos\beta_{46} + +(y’_6\cdot \dot\varphi’ + \dot\varepsilon’_{p}\cdot l_{X’O’Y’})\cdot cos\gamma_{46}$

$V_{78} =( \dot x’-y’_7\cdot \dot\varepsilon’_{k}+\dot\varepsilon’_{p}\cdot h_{Y’O’Z’})\cdot cos\alpha_{87} + (\dot y’ + x’_7\cdot \dot\varepsilon’_{k} - z’_7\cdot \dot\varphi’+ \dot\varepsilon’_{p}\cdot h_{X’O’Z’})\cdot cos\beta_{87} + (y’_7\cdot \dot\varphi’ + \dot\varepsilon’_{p}\cdot h_{X’O’Y’}+ \dot\varepsilon’_{p}\cdot l_{X’O’Y’})\cdot cos\gamma_{87}$

где $\ cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma $ – направляющие косинусы звеньев (рычагов);
$ x’_n , y’_n , z’_n$ – координаты концов соответствующих рычагов;
$ l_{X’O’Y’}$- проекция расстояния от точки $O’$ до оси стержня $56$ на плоскость $X’O’Y’$.
$ h_{Y’O’Z’}, h_{X’O’Z’}, h_{X’O’Y’}$ – проекция расстояния от точки 7 до оси стержня $56$ на соответствующие плоскости.

[Андрей123]

К сожалению, как прийти к такому ответу, мне в голову пока не приходит. Но в принципе через координаты точек 5 и 6 можем найти единичный вектор угловой скорости. Далее можем найти координаты вектора 79. А далее векторное умножение...

[stuk]

Андрей спасибо Вам за помощь. Подскажите еще вот такой нюанс, моё задание которое я решаю, отличается от ранее рассмотренного примера (последний рис. 6) тем что ось $O’Z’$ и $O’Y’$ в моем задании направлены в противоположную сторону от тех что на рис. 6. Если такие непонятки с этой скоростью $\dot\varepsilon’_{p}$ то можно ли тогда в моем задании просто поменять знаки на противоположные перед выражениями со скоростями $\dot\varepsilon’_{p}$ ?

[Андрей123]

Так как мне не понятен вывод ответа, то ничего Вам сказать не могу. Вы бы лучше у преподавателя уточнили. Еще вопрос, который, может быть прояснит, ситуацию. Почему в проекциях на ось $Z'$ у точек 5 и 6 присутствуют слагаемые(причем одинаковые) с $\varepsilon'_p$, если ось вращения совпадает с прямой 56?