таки равно или нет, бинарная логика, где ты...?

[Someone]

conviso, сформулируйте, пожалуйста, аккуратное математическое определение следующего числа. Пока такого определения нет, предмета для обсуждения также нет.

[AVM]

Виктор Викторов в сообщении #231278 писал(а):

естественном порядке на множестве действительных чисел

Извините, что значит "естественный"?

STilda в сообщении #231309 писал(а):

Да, все что есть в учебнике уже есть...

Есть где? Вы о чем?

STilda в сообщении #231309 писал(а):

Зачем им заниматься?

Например, чтобы понимать, что спрашиваешь.

STilda в сообщении #231309 писал(а):

Интересно, если б Лобачевский/Риман ограничился учебниками... появилось бы чтото?

Вы о чем?

STilda в сообщении #231309 писал(а):

Никакой учебник не может помочь выдумывать

Вам?

[AD]

AVM, ну STilda знаменит своими попытками приблизиться к Риману и Лобачевскому, заявив, что 2+2=5.

[Виктор Викторов]

AVM в сообщении #231441 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #231278 писал(а):

естественном порядке на множестве действительных чисел

Извините, что значит "естественный"?

Как Вы хорошо знаете для любых двух действительных чисел «срабатывает» одно из трёх x = y, x > y или x < y.
В случае равенства x и y это одно и тоже число, в случае x < y говорят, что x предшествует y или y следует за x. Это и есть естественный порядок для действительных чисел. (Случай x > y разберите самостоятельно). В воздухе явно повисает вопрос: А что такое неестественный порядок? Это проще понять на примере множества натуральных чисел. Естественно упорядочить все натуральные числа по величине: 1, 2, 3, 4, … n, … Но кто сказал, что нельзя иначе? Например, 1, 3, 5, 7, … 2к+1, … 2, 4, 6, … 2к, … к – натуральное. Т. е. cначала все нечётные в порядке возрастания, а затем также в порядке возрастания все чётные. Можно и так, но кто назовёт этот порядок естественным?

[conviso]

Цитата:

В случае равенства x и y это одно и то же число

.
Про "больше - меньше" - все ясно, а вот про "следует - предшествует" неясно. На сколько "близко" они, эти х и у "расположены"?
Так вот я и спрашиваю:за х следует а, например, и за тем же х следует в.
Этого не может быть...?
Можно ли сказать, что эти а и в равны или, что "это одно и то же число"? Я представляю так, что равенство и "одно и то же" суть разные суждения. Иными словами, "равенство" неких свойств можно принять как результат сравнения хотя бы пары явлений, одно из них выбрав эталоном этого свойства, например. А утверждение типа - "это одно и то же" без соотнесения с чем-то неизменным вроде контекста этого суждения - есть просто набор слов. Попробуйте держа карандаш в руке, сказать: это один и тот же карандаш. Это о чем речь...?

[CowboyHugges]

Уважаемый conviso, мы же не на базаре и не на философском форуме (что суть одно и тоже ... шучу), дайте математическое определения Вашего "следует-предшествует" для действительной прямой на математическом языке (вот как г-н Виктор Викторов сделал для отношения упорядоченности "больше-меньше"). А то получается как в сказке "поди туда не знаю куда, принеси то не знаю что". Ктож знает что такое это Ваше "следует-предшествует", для действительной прямой оно пока что только в Вашей голове

[AVM]

Виктор Викторов в сообщении #231517 писал(а):

Как Вы хорошо знаете для любых двух действительных чисел «срабатывает» одно из трёх x = y, x > y или x < y.

Согласен.

Виктор Викторов в сообщении #231517 писал(а):

В случае равенства x и y это одно и тоже число, в случае x < y говорят, что x предшествует y или y следует за x. Это и есть естественный порядок для действительных чисел. (Случай x > y разберите самостоятельно).

Т.е. "естественный порядок" = "<"?

AD в сообщении #231465 писал(а):

Можно и так, но кто назовёт этот порядок естественным?

Вы.

conviso в сообщении #231526 писал(а):

Про "больше - меньше" - все ясно, а вот про "следует - предшествует" неясно.

Это было определение.

conviso в сообщении #231526 писал(а):

На сколько "близко" они, эти х и у "расположены"?

Смотря, что Вы под этим понимаете.

conviso в сообщении #231526 писал(а):

Так вот я и спрашиваю:за х следует а, например, и за тем же х следует в.
Этого не может быть...?

Чего не может быть? Того, что существуют такие а и в?

conviso в сообщении #231526 писал(а):

Можно ли сказать, что эти а и в равны

Вообще говоря, нет?

conviso в сообщении #231526 писал(а):

Я представляю так, что равенство и "одно и то же" суть разные суждения.

Зачем Вам так "представлять"?

conviso в сообщении #231526 писал(а):

Иными словами, "равенство" неких свойств

Что за "свойства"?

conviso в сообщении #231526 писал(а):

А утверждение типа - "это одно и то же" без соотнесения с чем-то неизменным вроде контекста этого суждения

Вы о чем?

conviso в сообщении #231526 писал(а):

Попробуйте держа карандаш в руке, сказать: это один и тот же карандаш. Это о чем речь...?

Это бред. "=" - это БИНАРНОЕ отношение.

[Виктор Викторов]

AVM в сообщении #231561 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #231517 писал(а):

В случае равенства x и y это одно и тоже число, в случае x < y говорят, что x предшествует y или y следует за x. Это и есть естественный порядок для действительных чисел. (Случай x > y разберите самостоятельно).

Т.е. "естественный порядок" = "<"?

Вы тонко разобрались в ситуации и задали хороший вопрос. На самом деле я не дал корректного определения порядка. То, что я написал можно озаглавить как понятие о порядке. Что же касается Вашего вопроса, то рассматривают обычно два порядка. Если «меньше-равно», то это нестрогий порядок, если только «меньше», то строгий и, конечно, в общем случае вместо «меньше» говорят «предшествует».

AVM в сообщении #231561 писал(а):

AD в сообщении #231465 писал(а):

Можно и так, но кто назовёт этот порядок естественным?

Вы.

Не понял. Здесь две «непонятки». Во-первых, почему-то эта цитата приписана AD, а слова-то мои. Во-вторых, эта фраза – самоирония. Вы же хорошо понимаете, что упорядочить сначала нечётные числа, а потом чётные не выглядит естественным.

[AVM]

Виктор Викторов в сообщении #231564 писал(а):

На самом деле я не дал корректного определения порядка.

"Естественного".

Виктор Викторов в сообщении #231564 писал(а):

Во-первых, почему-то эта цитата приписана AD, а слова-то мои.

Извините.

Виктор Викторов в сообщении #231564 писал(а):

Во-вторых, эта фраза – самоирония.

Чья фраза? Моя или Ваша?

Виктор Викторов в сообщении #231564 писал(а):

Вы же хорошо понимаете, что упорядочить сначала нечётные числа, а потом чётные не выглядит естественным.

Зачем вообще употреблять в данном случае это слово?
Вы не возражаете, если я буду читать Ваше первое сообщение в этой теме опустив это слово?

[Виктор Викторов]

AVM в сообщении #231567 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #231564 писал(а):

На самом деле я не дал корректного определения порядка.

"Естественного".

Есть определение порядка в множестве. И если точнее для данной ситуации линейного порядка (т. е. когда каждые два элемента сравнимы). Если хотите, то завтра я мог бы дать строгое определение. Упорядочение по величине (по возрастанию) обычно называют естественным. Но, как Вы понимаете, если мы не знаем что такое порядок, то сначала определяем порядок, а затем уже говорим об естественном порядке.

AVM в сообщении #231567 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #231564 писал(а):

Во-вторых, эта фраза – самоирония.

Чья фраза? Моя или Ваша?

Я имел в виду свою фразу. Вашу фразу я просто не понял.

AVM в сообщении #231567 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #231564 писал(а):

Вы же хорошо понимаете, что упорядочить сначала нечётные числа, а потом чётные не выглядит естественным.

Зачем вообще употреблять в данном случае это слово?
Вы не возражаете, если я буду читать Ваше первое сообщение в этой теме опустив это слово?

Какое слово? Опять «непонятки».

[AVM]

Виктор Викторов в сообщении #231569 писал(а):

Упорядочение по величине

Т.е. переупорядочение не отличающееся от уже заданного порядка с помощью которого определяется величина? Значит, порядок H называется естественным по отношению к порядку R, если H$=$R?

Виктор Викторов в сообщении #231569 писал(а):

Но, как Вы понимаете, если мы не знаем что такое порядок

Знаем. Извините, но я у Вас не спрашивал, что такое порядок.

Виктор Викторов в сообщении #231569 писал(а):

Вашу фразу я просто не понял.

Вам объяснить или не надо?

Виктор Викторов в сообщении #231569 писал(а):

Какое слово?

"Естественно".

[Виктор Викторов]

AVM в сообщении #231576 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #231569 писал(а):

Но, как Вы понимаете, если мы не знаем что такое порядок

Знаем. Извините, но я у Вас не спрашивал, что такое порядок.

AVM в сообщении #231576 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #231569 писал(а):

Упорядочение по величине

Т.е. переупорядочение не отличающееся от уже заданного порядка с помощью которого определяется величина? Значит, порядок H называется естественным по отношению к порядку R, если H$=$R?

Поскольку Вы знаете, что такое упорядоченное множество, то ответ прост: Естественное упорядочение действительных чисел – упорядочение по величине. Вопрос по-моему «испечен».

AVM в сообщении #231576 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #231569 писал(а):

Какое слово?

"Естественно".

Словосочетание «естественное упорядочение» используется в математической литературе. Вопрос по-моему также исчерпан.

[conviso]

Цитата:

conviso, сформулируйте, пожалуйста, аккуратное математическое определение следующего числа. Пока такого определения нет, предмета для обсуждения также нет

.
Да, уважаемый Someone, действительно такого математического определения нет. Я предполагаю, что Вы его тоже не имеете.
Думаю, что ловушка для любого более или менее осмысленного определения здесь в том состоит, что как только будет указано "вот оно - следующее число", моментально возникнет вопрос: между парой Этих чисел нельзя ли еще воткнуть "всю действительную прямую" или что-то в этом роде?
Однако во всех рекомендованных мне учебниках, да и на этом Форуме заодно, используются выражения типа:

Цитата:

Виктор Викторов в сообщении #231517 писал(а): В случае равенства x и y это одно и тоже число, в случае x < y говорят, что x предшествует y или y следует за x. Это и есть естественный порядок для действительных чисел. (Случай x > y разберите самостоятельно)

.
Значит можно не только на базаре, но и на этом Форуме пользоваться словами "предшествует и следует" без особой детализации смысла этих слов. Вывод ясен... - следовать и предшествовать можно..., но только без указания "как далеко отстоят от данного числа" эти "следующие" и "предшествующие". Что-то вроде Ходжи Насреддина, который за 25 лет обещал осла научить чтению...
Думаю, что нет так же особого смысла выяснять, как два числа, у которых обнаружено свойство "быть равными" превращается в "одно число" - этот фокус некой специальной аксиомой обеспечен...? или это тот самый пресловутый "философский базар", о котором так трепетно нас всех предупреждает один из участников Форума?
Это, позвольте, присказка.
Суть же проблемы "измерения", "счета" и прочих действий, с помощью которых производится Исследователем создание связей между "обособленными", "изолированными"... и прочие слова, указывающие на отсутствие какой-либо связи между "точками", "данными", "объектами"... можно продолжить синонимический ряд..., состоит именно в том, что метод, принимаемый сегодня в Такой математике совершенно не нуждается..., как ни дико это прозвучит..., именно в самом измерении в собственном смысле этого слова.
Измерить - это значит исследуемое явление сравнить с явлением, назначенным быть Эталоном.
А вот в Таких математических объектах, которые нам достались от Аристотеля с его языком его категорий, вполне оказывается достаточным иметь дар пророческий как у Пифии, и назначать кому чем Быть.
Конечно же, мы так и считали бы палочками и камушками, если бы не назначили ряд натуральных чисел тем самым Эталоном. Как бы уважаемый Г. Кантор обошелся бы со своими мощностями не будь этого Эталона. Этот же метод "сравнения", "сопоставления", "измерения"..., как хотите называйте, сегодня становится основным во всей науке, в частности, в математике.
Но вот в аксиоматике этой математики так и не дожили до метода сравнения. Здесь мы имеем, по всем книжкам, метод божественного озарения: а пусть мы все действительные числа сосчитали...? Хотя, если присмотреться, так называемая аксиома "бесконечности" само слово "бесконечность" не использует. Диво дивное...? А почему...? Да просто она дает возможность строить "как-то еще одно число...", но отнюдь не загоняет Исследователя в ад "бесконечности".
Посмотрите, как аккуратно ведется речь на языке дельта-эпсилон: "любому наперед заданному...", а не от Пифии нисшедшему "чему-то"..., найдется... и т.д. И, о чудо, действительно находится. Иначе вся вычмат померла.
Если же к исходному вопросу о следовании, например, то за минусом волшебных перерождений двух в одно (а может отсюда и рекламы ...?), возвратиться, то вопрос не так уж и прост.
Если..., в любом смысле понятия "следовать" за неким числом "следуют" еще числа, то у этих чисел, как было замечено выше, имеются три типа отношений друг с другом... Так вот, если это так, то эти "следующие числа" могут породить что-то вроде "развилки"... в том ряду чисел, в котором мы их рассматриваем. И, вообще говоря, такая процедура, исходя из аксиоматики "обособленных", "изолированных"и пр. "объектов"... порождает нечто совсем даже не похожее на "ряд".
Конечно же этот чудовищный агрегат невозможен, если два числа из "равных" срастаются в "одно"...
Тут про "имена" "объектов" упоминают знающие люди. Это здорово! Конечно же и трамваю место найдется, вот только как эти имена порождаются...? Если одно "имя" от другого "имени" не отличаются..., ну совпали все буковки друг с дружкой в нужном порядке..., ну и ладно. А если они отличаются..., то чем... "разными записями", "разными буквами"... или теми разными действиями, которые с "объектами" совершаются? Тогда почему бы и не быть подобным "развилкам"? А вот типы "действий", простите, это не "базар"..., здесь все на виду.
Очень меня впечатлила заботаCowboyHugges о состоянии моей головы. Так вот и я о "том же". Не пора ли сокровища головных игр на сравнение с Эталоном выводить. Аксиоматика сегодня, судя по пифическим источникам озарений, на него не тянет.
Непривычного тут много. С молчанием это не сравнить!

[AVM]

Виктор Викторов, я с Вами согласен, что вопрос исчерпан.
Только ответьте еще на один вопрос: по Вашему можно говорить о величине, когда не задан порядок?

[Виктор Викторов]

AVM в сообщении #231680 писал(а):

Виктор Викторов, я с Вами согласен, что вопрос исчерпан.
Только ответьте еще на один вопрос: по Вашему можно говорить о величине, когда не задан порядок?

Посмотрите определение вещественных чисел. Мы с Вами разговариваем уже тогда, когда они определены и соответственно задан естественный порядок на множестве вещественных чисел.