Полное решение континуум-проблемы

[epros]

Инт в сообщении #227544 писал(а):

Это у Вас только гипотеза, что я перейду на какие-то некорректные рассуждения

Инт, я Вам конкретно сказал, что Вы опираетесь на аксиоматику, которой нет в теории множеств. Увидев один только заголовок "Аксиома", дальше Ваш текст можно уже не читать.

И с призывом PAV я согласен: Автору уже всё высказано, пусть он теперь, если хочет, верит и ждёт...

[Инт]

Математических, конструктивных возражений жду. Ваш общий трёп epros не может их заменить.

[мат-ламер]

Уважаемый ИНТ! Я не специалист по теории множеств, Ваше доказательство просмотрел только вкратце. Рискну предположить, что взаимо-непонимание произошло от следующего. В рамках теории множеств под доказательством какого-то утверждения понимают логический вывод этого утверждения из системы аксиом (например, Цермело-Френкеля). Я так понял, что Вы геометр. У Вас сразу в рассуждениях - точки, прямые и т.д. Естественно, возникает мнение, что либо в рассуждения вкралась ошибка, либо скрыто в качестве аксиомы используется какое-то утверждение, эквивалентное гипотезы континуума. Переведите Ваши рассуждения с геометрического языка на формальный.

[Инт]

мат-ламер в сообщении #227587 писал(а):

Уважаемый ИНТ! Я не специалист по теории множеств, Ваше доказательство просмотрел только вкратце. Рискну предположить, что взаимо-непонимание произошло от следующего. В рамках теории множеств под доказательством какого-то утверждения понимают логический вывод этого утверждения из системы аксиом (например, Цермело-Френкеля). Я так понял, что Вы геометр. У Вас сразу в рассуждениях - точки, прямые и т.д. Естественно, возникает мнение, что либо в рассуждения вкралась ошибка, либо скрыто в качестве аксиомы используется какое-то утверждение, эквивалентное гипотезы континуума. Переведите Ваши рассуждения с геометрического языка на формальный.

Уважаемый мат-ламер. Декартова плоскость может быть представлена в теории множеств как декартово произведение одномерного континуума на себя. А линии на этой плоскости могут задаваться функциями от непрерывного аргумента. В свою очередь одномерный континуум в той самой ZFC можно представить как множество двоичных последовательностей. Вот Вам и весь тривиальный перевод на язык теории множеств ZFC. Полный перевод на формальный язык не делают даже формалисты (это я вам сообщаю как не специалисту в теории множеств). Хочу так же отметить плюсом Ваш вопрос, поскольку, он первый вопрос, после некоторого перерыва, который можно уже назвать конструктивным.

-- Чт июл 09, 2009 19:44:26 --

Выделил среди эмоционального тезиса

epros в сообщении #227562 писал(а):

я Вам конкретно сказал, что Вы опираетесь на аксиоматику, которой нет в теории множеств. Увидев один только заголовок "Аксиома", дальше Ваш текст можно уже не читать.

конструктивную часть. Дело в том, что моё решение полностью опирается на аксиоматику теории множеств. Во всяком случае с ограниченной аксиомой выбора. Те новые утверждения, которые формулируются как разрешающие задачу аксиомы, рассматриваются на некотором этапе решения, как дополнительные аксиомы теории множеств. Но в конечном итоге оказывается, что и это не необходимо. Т.е. вводимые аксиомы можно доказать как теоремы канонической теории множеств. Это в дополнение к вопросу мат-ламера.

[epros]

Инт в сообщении #227614 писал(а):

... рассматриваются на некотором этапе решения, как дополнительные аксиомы теории множеств. Но в конечном итоге оказывается, что и это не необходимо.

Т.е. это такой способ запудрить читателю мозги?

Инт в сообщении #227614 писал(а):

Т.е. вводимые аксиомы можно доказать как теоремы канонической теории множеств.

Тогда с этого и надо было начать.

[мат-ламер]

Про каноническую теорию множеств не слышал. Есть наивная теория множеств, которая излагается, например, у Верещагина-Шеня или Архангельского. Есть аксиоматическая теория множеств (См., например, книгу самого Коэна). Логично предположить, что вопросы касаемо континуум-гипотезы надо рассматривать в рамках аксиоматической теории. В рамках наивной теории пытались, но не получалось.

[Инт]

epros в сообщении #227690 писал(а):

Инт в сообщении #227614 писал(а):

... рассматриваются на некотором этапе решения, как дополнительные аксиомы теории множеств. Но в конечном итоге оказывается, что и это не необходимо.

Т.е. это такой способ запудрить читателю мозги?

Нет это способ более ясного изложения. Дело в том, что утверждения, называемые аксиомами, описывают некоторые очевидные математические факты. Хотя эти факты и не доказываются на первых порах, их очевидность есть некое основание рассматривать их. Из сформулированных утверждений, предположительно верных, как из аксиом, проделываются математические выводы, т.е. проделываются условные выводы, как буд-то бы утверждения были бы верны. Это обычный математический приём. Из получаемых следствий оказывается видно, почему дальнейшее доказательство утверждений целесообразно. Окончательно утверждения, новые аксиомы доказываются уже абсолютно, т.е. безусловно, через аксиомы ZF + ограниченная аксиома выбора.

[epros]

Инт в сообщении #227741 писал(а):

epros в сообщении #227690 писал(а):

Инт в сообщении #227614 писал(а):

... рассматриваются на некотором этапе решения, как дополнительные аксиомы теории множеств. Но в конечном итоге оказывается, что и это не необходимо.

Т.е. это такой способ запудрить читателю мозги?

Нет это способ более ясного изложения. Дело в том, что утверждения, называемые аксиомами, описывают некоторые очевидные математические факты. Хотя эти факты и не доказываются на первых порах, их очевидность есть некое основание рассматривать их. Из сформулированных утверждений, предположительно верных, как из аксиом, проделываются математические выводы, т.е. проделываются условные выводы, как буд-то бы утверждения были бы верны. Это обычный математический приём. Из получаемых следствий оказывается видно, почему дальнейшее доказательство утверждений целесообразно. Окончательно утверждения, новые аксиомы доказываются уже абсолютно, т.е. безусловно, через аксиомы ZF + ограниченная аксиома выбора.

Запудривание мозгов продолжается.

Кончайте уже рассуждать, что является "обычным математическим приёмом", а что нет, и подавайте аксиомы, из которых исходили. То, что у Вас названо "аксиомами", не только не очевидно, но, как оказалось, ещё неизвестно, является ли вообще аксиомой...

[Инт]

мат-ламер в сообщении #227720 писал(а):

Про каноническую теорию множеств не слышал. Есть наивная теория множеств, которая излагается, например, у Верещагина-Шеня или Архангельского. Есть аксиоматическая теория множеств (См., например, книгу самого Коэна). Логично предположить, что вопросы касаемо континуум-гипотезы надо рассматривать в рамках аксиоматической теории. В рамках наивной теории пытались, но не получалось.

Термин каноническая теория множеств можно сказать неканонический. Т.е. ввёл его я и намерено. Суть в следующем. Из аксиомы выбора математики вроде бы и очень неконструктивно доказывают, что любое множество можно вполне упорядочить. Моё решение очень конструктивно, оно описывает как конкретно доставать из континуума новые и новые числа без ограничений их мощности. Доверия к неконструктивному доказательству (а возможно и неверному попросту) очень мало. Иными словами, моё решение абсолютно доказывает, что если теорема о вполенупорядочении любого множества верна в ZFC, то ZFC противоречива. И это явно из-за какой-то нестыковки в аксиомах, применённых к очень большим мощностям. Что я подразумеваю под канонической теорией. Язык канонической теории, считаем, в точности язык ZF. Аксиомы так же, но с некоторой оговоркой: Аксиому выбора применяем в ограниченном варианте таком, который позволяет вывести мои теоремы, но не более. Остальные аксиомы, типа аксиомы выделения, применям так же в более слабом ограниченном варианте, который позволяет установить только некоторые необходимые факты. Выражение "аксиоматическая теория множеств" в точности соответствует тому, что я назвал "каноническая теория множеств", т.е. узаконенная математиками.

Применение аксиом ZFC в полном варианте, вообще говоря, так же допустимо и не является чем-то очень страшным по следующим причинам. Предположим, что используя аксиому Ф мы приходим к противоречию. Тогда интерпретируем использование этой аксиомы в рассуждении как рассуждение от противного, и выводим формулу не Ф.

-- Пт июл 10, 2009 15:10:07 --

epros в сообщении #227743 писал(а):

подавайте аксиомы, из которых исходили

Инт в сообщении #227741 писал(а):

ZF + ограниченная аксиома выбора.

-- Пт июл 10, 2009 15:13:49 --

epros в сообщении #227743 писал(а):

То, что у Вас названо "аксиомами", не только не очевидно, но, как оказалось, ещё неизвестно, является ли вообще аксиомой...

Какую из моих аксиом Вы имеете ввиду?

[epros]

Инт в сообщении #227744 писал(а):

epros в сообщении #227743 писал(а):

подавайте аксиомы, из которых исходили

Инт в сообщении #227741 писал(а):

ZF + ограниченная аксиома выбора.

1. Что такое ограниченная аксиома выбора?
2. Почему тогда я должен читать всю эту фигню про какие-то секторы, углы, дуги и точки?

[Инт]

epros в сообщении #227747 писал(а):

1. Что такое ограниченная аксиома выбора? 2. Почему тогда я должен читать всю эту фигню про какие-то секторы, углы, дуги и точки?

Ограниченная аксиома выбора это аксиома выбора, в частности, которую можно применять для множеств мощности алеф-один, но не более. Ясно, что такое ограничение можно заменить другим, сделав аксиому более "свободной". Причин, по которым Вы должны что-то читать не существует, и никому ничего не должны. Точки, секторы и т.д., как я уже писал для мат-ламера, тривиально выразимы как объекты канонической теории множеств. Сектор нужен для того, чтобы на нём рассмотреть некоторое множество линий, упорядоченных некоторым замечательным способом. Это упорядочение позволяет геометрически связать континуум действительных чисел, мощности $2^{\aleph_0}$, с континуумом мощности $2^{\aleph_1}$.

[мат-ламер]

Начинаю понимать, в чём дело. Инт. Дело в том, что Вы не пользуетесь акиомой выбора в полном объёме. Смотрите книгу Кановея В.Г. Аксиома выбора и аксиома детерминированности. Там на первых страницах указывается, что если не пользоваться аксиомой выбора в полном объёме, то континуум-гипотеза доказуема. Там же рассматриваются более слабые аксиомы выбора. Возможно это пересекается с Вашими исследованиями. Что-бы не было споров, надо было сразу предупредить, что Вы исходите от таких-то и таких-то аксиом.

[Инт]

мат-ламер в сообщении #227749 писал(а):

Начинаю понимать, в чём дело. Инт. Дело в том, что Вы не пользуетесь акиомой выбора в полном объёме. Смотрите книгу Кановея В.Г. Аксиома выбора и аксиома детерминированности. Там на первых страницах указывается, что если не пользоваться аксиомой выбора в полном объёме, то континуум-гипотеза доказуема. Там же рассматриваются более слабые аксиомы выбора. Возможно это пересекается с Вашими исследованиями. Что-бы не было споров, надо было сразу предупредить, что Вы исходите от таких-то и таких-то аксиом.

Не думаю, что всё так как Вы сказали насчёт континуум-гипотезы, но аксиома детерминированности и пр. прямо не оносятся к моему решению. Кроме того, предупреждай не предупреждай, и то будет не то, и сё не то, только потому, что существует заведомое предубеждение.

[epros]

мат-ламер в сообщении #227749 писал(а):

Там на первых страницах указывается, что если не пользоваться аксиомой выбора в полном объёме, то континуум-гипотеза доказуема.

Тут я заинтересовался. Как вообще можно доказать что-то, не пользуясь некой аксиомой, если пользуясь ей это доказать невозможно?

[Инт]

Это выражение мат-ламера явно не удачное. Но я предлагаю обсуждать вопросы темы.