перемещение и соответствующий ему дифференциал перемещения

[errnough]

Может ли перемещение и соответствующий ему дифференциал перемещения быть отрицательным?

Мои рассуждения таковы:

Допустим, изменение длины, оно же перемещение, оно же расстояние -- может быть отрицательным.

А) Длина -- физическая величина и не может быть отрицательной.

Б) Если "изменение длины" это отношение, то две однородные величины в отношении дадут коэффициент -- чистое число, без размерностей. Hазовем его $k$.

В) Если "изменение длины" это разность двух длин, то это снова длина. А длина, учитывая (А), отрицательной быть не может.

Г) Hо может ли $k$ из предложения Б) быть отрицательным? Учитывая
(А), и в числителе, и в знаменателе стоят положительные величины. $k$ отрицательным быть не может.

Из (В) и (Г) заключаем, что "изменение длины" не может быть отрицательным коэффициентом, и не может быть отрицательной разностью длин. Значит, допущение ложное.

Я хотел бы услышать от участников, нет ли среди высказываний А,Б,В,Г и заключения ложных утверждений? И может ли перемещение и соответствующий ему дифференциал перемещения быть отрицательным? Два мнения я уже увидел:

ewert в сообщении #219604 писал(а):

Фактически же, да, $|d\mathbf{r}| \equiv ds$ просто по определению $|d\mathbf{r}|$.

meduza в сообщении #219595 писал(а):

Всегда ли модуль дифференциала перемещения $|d\mathbf{r}|$ равен дифференциалу соответствующего пройденого расстояния $ds$. У физиков так всегда, т.к. тела двигаются по непрерывным траекториям и $ds$ всегда прямолинеен и, следовательно, совпадает с модулем соотв. перемещения $|d\mathbf{r}|$.

Вопрос такой вот почему возник.

В одном из учебников, авторы из МФТИ пишут следующее, рисунок 1.3.1 тоже оттуда:
рисунок 1.3.1

Для прямой I $\Delta t = t_2-t_1 = 2$; $\Delta s = x_2-x_1 = 3$, следовательно, скорость тела составляет $v=\frac{\Delta s}{\Delta t}=1.5 m/c$. Здесь мне всё понятно. Но для прямой II авторы свое объяснение свели к слову "аналогично". Всё их объяснение состоит из предложения:
«Аналогичным образом для движения, изображенного на рис. 1.3.1 прямой II, найдем $x_0=4m$, $v=-1m/s$.» Странно, что авторы, для совершенно загадочного (для меня) случая с появлением минуса у скорости, свое объяснение скомкали до слова "аналогично".

В самом деле, $\Delta t$ положительна, и $\Delta s$, учитывая мои рассуждения, и мнение отдельных участников, обязана быть положительной. Откуда же взялся минус? Но поскольку минус всё же написан, то вариантов два:
• либо верно мое допущение, «изменение длины, оно же перемещение, оно же расстояние -- может быть отрицательным»,
• либо авторы ошибаются.

Прошу помощи.

[meduza]

Перемещение - вектор. "Отрицательных" векторов не бывает. Но проекция вектора может быть любой: положительной (между $t_1$ и $t_2$ на прямой I), отрицательной (то же, на прямой II) или 0.

[ShMaxG]

Простые вычисления дают $\[ v = \frac{{x_2 - x_1 }} {{t_2 - t_1 }} = \frac{{\left( { - 2} \right) - 0}} {{6 - 4}} = - 1 \] $. Действительно, аналогия.
Вы говорите о перемещении, как будто это изменение пройденного пути.

-- Чт июл 02, 2009 17:08:29 --

У них $\[\Delta s\]$ - приращение координаты (вполне естественно, что оно может быть отрицательным). Мне кажется, не вполне удачное обозначение, лучше $\[\Delta x\]$.

-- Чт июл 02, 2009 17:20:42 --

Насчет утверждений. meduza начал, я продолжу:

Изменение длины - это не перемещение. И лишь в некотором смысле является расстоянием.

А) Верно.
Б) Что значит "если"? Так и говорите - относительное изменение длины есть безразмерное число. Это верно.
В) Верно. Но подчеркну, что разность длин - это длина тоже лишь в некотором смысле.
Г) $k$ неотрицательно. Верно.

Вообще, если отождествляете "изменение длины" в смысле В и просто длину (А), то вроде сразу следует, что первая неотрицательна.

-- Чт июл 02, 2009 17:28:00 --

errnough
http://physics.ru/courses/op25part1/con ... heory.html
Тут про перемещение.

[errnough]

meduza в сообщении #226072 писал(а):

Перемещение - вектор. "Отрицательных" векторов не бывает. <------- (*)

Физическая энциклопедия, http://www.femto.com.ua/articles/part_2/2798.html ,

«ПЕРЕМЕЩЕНИЕ в механике - вектор, соединяющий положения движущейся точки
в начале и в конце нек-рого промежутка времени. Вектор П. направлен вдоль
хорды траектории точки.» <------------------- (**)

Предложение (*) и предложение (**) вместе делают истинным высказывание «перемещение -- не может быть отрицательным» (***). Хорошо, я понял, Вы просто усилили этот тезис.

meduza писал(а):

Но проекция вектора может быть любой: положительной (между $t_1$ и $t_2$ на прямой I), отрицательной (то же, на прямой II) или 0.

Ну, а вот этот вопрос мне не понятен, поскольку проекция вектора -- это модуль вектора на косинус угла ... между чем и чем? Может быть, это лишнее здесь?

[meduza]

errnough в сообщении #226079 писал(а):

Ну, а вот этот вопрос мне не понятен, поскольку проекция вектора -- это модуль вектора на косинус угла ... между чем и чем?

Между направлением вектора и направлением, нак которое проецируете.

P. S. errnough, я понимаю, конечно, тяга к знаниям и все такое, но я затемил тенденцию - вопросы у вас элементарнейшие, те же вектора, перемещения, проекции изучают даже в школе. К чему я это: читайте учебники.

[errnough]

ShMaxG в сообщении #226076 писал(а):

Простые вычисления дают $\[ v = \frac{{x_2 - x_1 }} {{t_2 - t_1 }} = \frac{{\left( { - 2} \right) - 0}} {{6 - 4}} = - 1 \] $. Действительно, аналогия.

Да, это чисто механическая аналогия, повлекшая логическую ошибку. Если записывать медленно, и не пропускать ни одного шага, то в одном из шагов появится следующая запись: $\[\Delta s\ = -2$, что, очевидно, абсурд.

ShMaxG писал(а):

Вы говорите о перемещении, как будто это изменение пройденного пути.

Да, согласен, это не верно. Но применительно к данному случаю равномерного прямолинейного движения, к данному рисунку и данной ссылке это верно.

ShMaxGУ писал(а):

них $\[\Delta s\]$ - приращение координаты (вполне естественно, что оно может быть отрицательным). Мне кажется, не вполне удачное обозначение, лучше $\[\Delta x\]$.

Не вполне удачно? Это катастрофическая ошибка. Несмотря на то, что авторы из МФТИ. Это всё серьезно меняет, поскольку переход от $\[\Delta x\]$ к $\[\Delta s\]$ должен идти через модуль. $\[\Delta s\ = \left | \Delta x \right |$

ShMaxG писал(а):

Насчет утверждений. meduza начал, я продолжу:

Изменение длины - это не перемещение. И лишь в некотором смысле является расстоянием.

А) Верно.
Б) ... Это верно.
В) Верно. Но подчеркну, что разность длин - это длина тоже лишь в некотором смысле.
Г) $k$ неотрицательно. Верно.

Вообще, если отождествляете "изменение длины" в смысле В и просто длину (А), то вроде сразу следует, что первая неотрицательна.

А в чем проблема с разностью длин? «Девять метров минус три метра будет шесть метров.» Все словосочетания "[число] метров" обозначают длины. Это высказывание истинное?

-- Чт июл 02, 2009 17:09:24 --

meduza в сообщении #226090 писал(а):

errnough в сообщении #226079 писал(а):

Ну, а вот этот вопрос мне не понятен, поскольку проекция вектора -- это модуль вектора на косинус угла ... между чем и чем?

Между направлением вектора и направлением, нак которое проецируете.

Это я знаю. Но я спрашиваю про рисунок. Ведь это так просто: указать одну точку, вторую, вот один вектор. Указали третью, четвертую точку, вот второй вектор. Ну и угол сам собой найдется. Укажите, пожалуйста.

meduza писал(а):

P. S. errnough, я понимаю, конечно, тяга к знаниям и все такое, но я затемил тенденцию - вопросы у вас элементарнейшие, те же вектора, перемещения, проекции изучают даже в школе. К чему я это: читайте учебники.

Вот почитал учебник и нашел катастрофическую ошибку :(

--
Куликов Андрей

[jetyb]

errnough в сообщении #226071 писал(а):

Допустим, изменение длины, оно же перемещение, оно же расстояние -- может быть отрицательным.

Это три разных понятия.

[iig]

Здесь затронута очень интересная тема, вроде как измерять коркодила - от хвоста к голове или наоборот.
Серьезней, в римановой геометрии это одинаково, а вот обратите внимание, как заряженная частица двигается в магнитном поле или незаряженная в Кориолисе,
в уравнениях движения тогда обращение времени и-или начальной скорости не одинаковы.

[errnough]

jetyb в сообщении #226097 писал(а):

errnough в сообщении #226071 писал(а):

Допустим, изменение длины, оно же перемещение, оно же расстояние -- может быть отрицательным.

Это три разных понятия.

Хорошо, я могу оставить в своем доказательстве в части "допущение" только «допустим, перемещение -- может быть отрицательным». Только оно сократится тогда до смешного, учитывая определение из Физической энциклопедии. Ничего не изменилось, правда?

[meduza]

errnough в сообщении #226091 писал(а):

Это я знаю. Но я спрашиваю про рисунок. Ведь это так просто: указать одну точку, вторую, вот один вектор. Указали третью, четвертую точку, вот второй вектор. Ну и угол сам собой найдется. Укажите, пожалуйста.

Начало вектора перемещения в точке (4, 0), конец в (6, -2). Проецируем на направление возрастания $x(t)$ (вертикальная ось). Сам вектор равен $(2,-2)$, его проекция на направление $x(t)$ равна $-2$. Если вам и теперь вам что-то непонятно, то настоятельно рекомендую прочесть любой учебник по аналитической геометрии.

[jetyb]

Замечательно!!! Допускаем отрицательность для перемещения, а рассуждения в пунктах А)-Г) проводим для длины. Да и про "отрицательность перемещения" Вам уже все сказали.

[iig]

Позволю подсказать литературу по теме, сссылок не знаю:
БерезинА.В.,КурочкинЮ.А.,ТолкачевЮ.А.
Квартернионы в релятивистской физике.-Мн. 1989

[errnough]

meduza в сообщении #226104 писал(а):

Начало вектора перемещения в точке (4, 0), конец в (6, -2).

Всё равно непонятно. Чтобы не менять рисунок 1.3.1, то, что Вы написали, равносильно утверждению, что в осях $t$ и $x(t)$ вектор $\underset{AB}{\rightarrow}$ обозначает перемещение? А я думал, что траектории, а на траектории перемещение, отображаются в осях $XY$. Объясните, пожалуйста.

-- Чт июл 02, 2009 19:14:08 --

iig в сообщении #226113 писал(а):

Кватернионы...
БерезинА.В.,КурочкинЮ.А.,ТолкачевЮ.А.
Квартернионы в релятивистской физике.-Мн. 1989

Спасибо, конечно, но это для меня язык слишком высокого уровня. Я всё по-старинке, на элементарщине пока пробавляюсь, с дизассемблером под мышкой :)
А что, объяснения нет, почему авторы из МФТИ допустили ошибку в самом нижнем уровне системы "физика", от которой, в общем-то, нет-нет, да и вся система то и дело будет падать?

[meduza]

errnough в сообщении #226115 писал(а):

Всё равно непонятно. Чтобы не менять рисунок 1.3.1, то, что Вы написали, равносильно утверждению, что в осях $t$ и $x(t)$ вектор $\underset{AB}{\rightarrow}$ обозначает перемещение? А я думал, что траектории, а на траектории перемещение, отображаются в осях $XY$. Объясните, пожалуйста.

Извините, не обратил внимание, что там зависимость координаты от времени. Действительно, $\overrightarrow{AB}$ - не перемещение. Но проекция этого вектора на $x(t)$ совпадает с проекцией перемещения.

[ShMaxG]

errnough в сообщении #226091 писал(а):

ShMaxG в сообщении #226076 писал(а):

Простые вычисления дают $\[ v = \frac{{x_2 - x_1 }} {{t_2 - t_1 }} = \frac{{\left( { - 2} \right) - 0}} {{6 - 4}} = - 1 \] $. Действительно, аналогия.

Да, это чисто механическая аналогия, повлекшая логическую ошибку. Если записывать медленно, и не пропускать ни одного шага, то в одном из шагов появится следующая запись: $\[\Delta s\ = -2$, что, очевидно, абсурд.

Никакого абсурда.

errnough в сообщении #226091 писал(а):

ShMaxGУ писал(а):

них $\[\Delta s\]$ - приращение координаты (вполне естественно, что оно может быть отрицательным). Мне кажется, не вполне удачное обозначение, лучше $\[\Delta x\]$.

Не вполне удачно? Это катастрофическая ошибка. Несмотря на то, что авторы из МФТИ. Это всё серьезно меняет, поскольку переход от $\[\Delta x\]$ к $\[\Delta s\]$ должен идти через модуль. $\[\Delta s\ = \left | \Delta x \right |$

Это не ошибка, и ни какой катастрофы нет. Можно было взять какое угодно обозначение. Но прежде чем это делать лучше почитать знаменитую статью Халмоша.

И еще раз. Ошибок нигде нет, просто Ваши "понятия" в голове конфликтуют с понятиями математики. Нечего на первом этапе учения/обучения придираться ко всякой мелочи, видя в них, якобы, ошибки.
Я думаю, Вам самим надо с этим разобраться, иначе это будет похоже на хождения кругами как в Вашей теме про производные.