Дифференциал перемещения

[meduza]

Здравствуйте.

Всегда ли модуль дифференциала перемещения $|d\mathbf{r}|$ равен дифференциалу соответствующего пройденого расстояния $ds$. У физиков так всегда, т.к. тела двигаются по непрерывным траекториям и $ds$ всегда прямолинеен и, следовательно, совпадает с модулем соотв. перемещения $|d\mathbf{r}|$.
А вот у математиков это верно? Я задавал такой вопрос в IRC на канале #physics, один человек мне привел пример, когда $|d\mathbf{r}| \neq ds$: представим прямоугольный треугольник, у которого гипротенуза состоит из "ступенек". Будем увеличивать кол-во ступенек и уменьшать их размер до нуля. Теперь получается, что ds - это два бесконечно малых катета и, конечно, $|d\mathbf{r}| \neq ds$. Но потом мы вспомнили, что дифференциал - это линейная часть приращения, а поэтому двухкатетный "дифференциал" вовсе не дифференциал. Мы решили, что в данном случае $ds$ не существует. А если $ds$ существует, то он равен $|d\mathbf{r}|$.
Я не математик и не физик, скорее любитель. И возможно предыдущий абзац - бред. Скажите, пожалуйста, что (не)верно в тексте выше. Заранее спасибо.

[ewert]

meduza в сообщении #219595 писал(а):

, один человек мне привел пример, когда $|d\mathbf{r}| \neq ds$: представим прямоугольный треугольник, у которого гипротенуза состоит из "ступенек". Будем увеличивать кол-во ступенек и уменьшать их размер до нуля. Теперь получается, что ds - это два бесконечно малых катета и, конечно, $|d\mathbf{r}| \neq ds$. Но потом мы вспомнили, что дифференциал - это линейная часть приращения, а поэтому двухкатетный "дифференциал" вовсе не дифференциал. Мы решили, что в данном случае $ds$ не существует.

Неправильно решили. Не дифференциала не существует, а самого примера. Поскольку сама процедура построения бессмысленна. Надо сперва определить сам объект (гипотенузу как множество точек), а потом уж говорить о каких-то дифференциалах. Проводить одновременно два предельных перехода (и по построению самой гипотенузы, и по определению длин её участков) -- нельзя.

Фактически же, да, $|d\mathbf{r}| \equiv ds$ просто по определению $|d\mathbf{r}|$.

[meduza]

ewert в сообщении #219604 писал(а):

Фактически же, да, $|d\mathbf{r}| \equiv ds$ просто по определению $|d\mathbf{r}|$.

Спасибо.

[word]

По факту все еще хуже. Не существует не только "самого примера". Стого говоря, не существует движения, как того самого "непрерывного перемещения". Любые два физических события, вульгарно трактуемые, как "перемещение" чего-то, не имеют ничего физически подтверждаемого между собой. В силу этого эмпирического факта любое событие в КМ описывается операторами рождения-уничтожения, причем для любых двух событий принципиально невозможно сформировать подтверждаемое утверждение, что они относятся к одному и тому же физическому объекту. Поэтому с чисто математической точки зрения операция дифференцирования по траектории вполне корректна, но она не имеет отношения к действительности. Это именно модельная математическая операция, но не физическая.

[meduza]

word
В первом посте я оговорил, что меня интересует именно математическая сторона дела.
Вопрос исчерпан.