2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 перемещение и соответствующий ему дифференциал перемещения
Сообщение02.07.2009, 15:54 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/05/09

366
из эпохи Аристотеля
Может ли перемещение и соответствующий ему дифференциал перемещения быть отрицательным?

Мои рассуждения таковы:

Допустим, изменение длины, оно же перемещение, оно же расстояние -- может быть отрицательным.

А) Длина -- физическая величина и не может быть отрицательной.

Б) Если "изменение длины" это отношение, то две однородные величины в отношении дадут коэффициент -- чистое число, без размерностей. Hазовем его $k$.

В) Если "изменение длины" это разность двух длин, то это снова длина. А длина, учитывая (А), отрицательной быть не может.

Г) Hо может ли $k$ из предложения Б) быть отрицательным? Учитывая
(А), и в числителе, и в знаменателе стоят положительные величины. $k$ отрицательным быть не может.

Из (В) и (Г) заключаем, что "изменение длины" не может быть отрицательным коэффициентом, и не может быть отрицательной разностью длин. Значит, допущение ложное.

Я хотел бы услышать от участников, нет ли среди высказываний А,Б,В,Г и заключения ложных утверждений? И может ли перемещение и соответствующий ему дифференциал перемещения быть отрицательным? Два мнения я уже увидел:
ewert в сообщении #219604 писал(а):
Фактически же, да, $|d\mathbf{r}| \equiv ds$ просто по определению $|d\mathbf{r}|$.
meduza в сообщении #219595 писал(а):
Всегда ли модуль дифференциала перемещения $|d\mathbf{r}|$ равен дифференциалу соответствующего пройденого расстояния $ds$. У физиков так всегда, т.к. тела двигаются по непрерывным траекториям и $ds$ всегда прямолинеен и, следовательно, совпадает с модулем соотв. перемещения $|d\mathbf{r}|$.


Вопрос такой вот почему возник.

В одном из учебников, авторы из МФТИ пишут следующее, рисунок 1.3.1 тоже оттуда:
Изображение рисунок 1.3.1

Для прямой I $\Delta t = t_2-t_1 = 2$; $\Delta s = x_2-x_1 = 3$, следовательно, скорость тела составляет $v=\frac{\Delta s}{\Delta t}=1.5 m/c$. Здесь мне всё понятно. Но для прямой II авторы свое объяснение свели к слову "аналогично". Всё их объяснение состоит из предложения:
«Аналогичным образом для движения, изображенного на рис. 1.3.1 прямой II, найдем $x_0=4m$, $v=-1m/s$.» Странно, что авторы, для совершенно загадочного (для меня) случая с появлением минуса у скорости, свое объяснение скомкали до слова "аналогично".

В самом деле, $\Delta t$ положительна, и $\Delta s$, учитывая мои рассуждения, и мнение отдельных участников, обязана быть положительной. Откуда же взялся минус? Но поскольку минус всё же написан, то вариантов два:
• либо верно мое допущение, «изменение длины, оно же перемещение, оно же расстояние -- может быть отрицательным»,
• либо авторы ошибаются.

Прошу помощи.

 Профиль  
                  
 
 Re: перемещение и соответствующий ему дифференциал перемещения
Сообщение02.07.2009, 15:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/09
1497
Перемещение - вектор. "Отрицательных" векторов не бывает. Но проекция вектора может быть любой: положительной (между $t_1$ и $t_2$ на прямой I), отрицательной (то же, на прямой II) или 0.

 Профиль  
                  
 
 Re: перемещение и соответствующий ему дифференциал перемещения
Сообщение02.07.2009, 16:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
Простые вычисления дают $\[
v = \frac{{x_2  - x_1 }}
{{t_2  - t_1 }} = \frac{{\left( { - 2} \right) - 0}}
{{6 - 4}} =  - 1
\]
$. Действительно, аналогия.
Вы говорите о перемещении, как будто это изменение пройденного пути.

-- Чт июл 02, 2009 17:08:29 --

У них $\[\Delta s\]$ - приращение координаты (вполне естественно, что оно может быть отрицательным). Мне кажется, не вполне удачное обозначение, лучше $\[\Delta x\]$.

-- Чт июл 02, 2009 17:20:42 --

Насчет утверждений. meduza начал, я продолжу:

Изменение длины - это не перемещение. И лишь в некотором смысле является расстоянием.

А) Верно.
Б) Что значит "если"? Так и говорите - относительное изменение длины есть безразмерное число. Это верно.
В) Верно. Но подчеркну, что разность длин - это длина тоже лишь в некотором смысле.
Г) $k$ неотрицательно. Верно.

Вообще, если отождествляете "изменение длины" в смысле В и просто длину (А), то вроде сразу следует, что первая неотрицательна.

-- Чт июл 02, 2009 17:28:00 --

errnough
http://physics.ru/courses/op25part1/con ... heory.html
Тут про перемещение.

 Профиль  
                  
 
 Re: перемещение и соответствующий ему дифференциал перемещения
Сообщение02.07.2009, 16:36 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/05/09

366
из эпохи Аристотеля
meduza в сообщении #226072 писал(а):
Перемещение - вектор. "Отрицательных" векторов не бывает. <------- (*)

Физическая энциклопедия, http://www.femto.com.ua/articles/part_2/2798.html ,

«ПЕРЕМЕЩЕНИЕ в механике - вектор, соединяющий положения движущейся точки
в начале и в конце нек-рого промежутка времени. Вектор П. направлен вдоль
хорды траектории точки.» <------------------- (**)

Предложение (*) и предложение (**) вместе делают истинным высказывание «перемещение -- не может быть отрицательным» (***). Хорошо, я понял, Вы просто усилили этот тезис.

meduza писал(а):
Но проекция вектора может быть любой: положительной (между $t_1$ и $t_2$ на прямой I), отрицательной (то же, на прямой II) или 0.

Ну, а вот этот вопрос мне не понятен, поскольку проекция вектора -- это модуль вектора на косинус угла ... между чем и чем? Может быть, это лишнее здесь?

 Профиль  
                  
 
 Re: перемещение и соответствующий ему дифференциал перемещения
Сообщение02.07.2009, 17:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/09
1497
errnough в сообщении #226079 писал(а):
Ну, а вот этот вопрос мне не понятен, поскольку проекция вектора -- это модуль вектора на косинус угла ... между чем и чем?

Между направлением вектора и направлением, нак которое проецируете.

P. S. errnough, я понимаю, конечно, тяга к знаниям и все такое, но я затемил тенденцию - вопросы у вас элементарнейшие, те же вектора, перемещения, проекции изучают даже в школе. К чему я это: читайте учебники.

 Профиль  
                  
 
 Re: перемещение и соответствующий ему дифференциал перемещения
Сообщение02.07.2009, 17:05 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/05/09

366
из эпохи Аристотеля
ShMaxG в сообщении #226076 писал(а):
Простые вычисления дают $\[
v = \frac{{x_2  - x_1 }}
{{t_2  - t_1 }} = \frac{{\left( { - 2} \right) - 0}}
{{6 - 4}} =  - 1
\]
$. Действительно, аналогия.

Да, это чисто механическая аналогия, повлекшая логическую ошибку. Если записывать медленно, и не пропускать ни одного шага, то в одном из шагов появится следующая запись: $\[\Delta s\ = -2$, что, очевидно, абсурд.

ShMaxG писал(а):
Вы говорите о перемещении, как будто это изменение пройденного пути.

Да, согласен, это не верно. Но применительно к данному случаю равномерного прямолинейного движения, к данному рисунку и данной ссылке это верно.

ShMaxGУ писал(а):
них $\[\Delta s\]$ - приращение координаты (вполне естественно, что оно может быть отрицательным). Мне кажется, не вполне удачное обозначение, лучше $\[\Delta x\]$.

Не вполне удачно? Это катастрофическая ошибка. Несмотря на то, что авторы из МФТИ. Это всё серьезно меняет, поскольку переход от $\[\Delta x\]$ к $\[\Delta s\]$ должен идти через модуль. $\[\Delta s\ = \left | \Delta x \right |$

ShMaxG писал(а):
Насчет утверждений. meduza начал, я продолжу:

Изменение длины - это не перемещение. И лишь в некотором смысле является расстоянием.

А) Верно.
Б) ... Это верно.
В) Верно. Но подчеркну, что разность длин - это длина тоже лишь в некотором смысле.
Г) $k$ неотрицательно. Верно.

Вообще, если отождествляете "изменение длины" в смысле В и просто длину (А), то вроде сразу следует, что первая неотрицательна.


А в чем проблема с разностью длин? «Девять метров минус три метра будет шесть метров.» Все словосочетания "[число] метров" обозначают длины. Это высказывание истинное?

-- Чт июл 02, 2009 17:09:24 --

meduza в сообщении #226090 писал(а):
errnough в сообщении #226079 писал(а):
Ну, а вот этот вопрос мне не понятен, поскольку проекция вектора -- это модуль вектора на косинус угла ... между чем и чем?

Между направлением вектора и направлением, нак которое проецируете.

Это я знаю. Но я спрашиваю про рисунок. Ведь это так просто: указать одну точку, вторую, вот один вектор. Указали третью, четвертую точку, вот второй вектор. Ну и угол сам собой найдется. Укажите, пожалуйста.

meduza писал(а):
P. S. errnough, я понимаю, конечно, тяга к знаниям и все такое, но я затемил тенденцию - вопросы у вас элементарнейшие, те же вектора, перемещения, проекции изучают даже в школе. К чему я это: читайте учебники.

Вот почитал учебник и нашел катастрофическую ошибку :(

--
Куликов Андрей

 Профиль  
                  
 
 Re: перемещение и соответствующий ему дифференциал перемещения
Сообщение02.07.2009, 17:32 
Заблокирован


19/06/09

386
errnough в сообщении #226071 писал(а):
Допустим, изменение длины, оно же перемещение, оно же расстояние -- может быть отрицательным.

Это три разных понятия.

 Профиль  
                  
 
 Re: перемещение и соответствующий ему дифференциал перемещения
Сообщение02.07.2009, 17:37 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/05/09

288
Gomel BY
Здесь затронута очень интересная тема, вроде как измерять коркодила - от хвоста к голове или наоборот.
Серьезней, в римановой геометрии это одинаково, а вот обратите внимание, как заряженная частица двигается в магнитном поле или незаряженная в Кориолисе,
в уравнениях движения тогда обращение времени и-или начальной скорости не одинаковы.

 Профиль  
                  
 
 Re: перемещение и соответствующий ему дифференциал перемещения
Сообщение02.07.2009, 17:45 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/05/09

366
из эпохи Аристотеля
jetyb в сообщении #226097 писал(а):
errnough в сообщении #226071 писал(а):
Допустим, изменение длины, оно же перемещение, оно же расстояние -- может быть отрицательным.

Это три разных понятия.

Хорошо, я могу оставить в своем доказательстве в части "допущение" только «допустим, перемещение -- может быть отрицательным». Только оно сократится тогда до смешного, учитывая определение из Физической энциклопедии. Ничего не изменилось, правда?

 Профиль  
                  
 
 Re: перемещение и соответствующий ему дифференциал перемещения
Сообщение02.07.2009, 17:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/09
1497
errnough в сообщении #226091 писал(а):
Это я знаю. Но я спрашиваю про рисунок. Ведь это так просто: указать одну точку, вторую, вот один вектор. Указали третью, четвертую точку, вот второй вектор. Ну и угол сам собой найдется. Укажите, пожалуйста.

Начало вектора перемещения в точке (4, 0), конец в (6, -2). Проецируем на направление возрастания $x(t)$ (вертикальная ось). Сам вектор равен $(2,-2)$, его проекция на направление $x(t)$ равна $-2$. Если вам и теперь вам что-то непонятно, то настоятельно рекомендую прочесть любой учебник по аналитической геометрии.

 Профиль  
                  
 
 Re: перемещение и соответствующий ему дифференциал перемещения
Сообщение02.07.2009, 17:49 
Заблокирован


19/06/09

386
Замечательно!!! Допускаем отрицательность для перемещения, а рассуждения в пунктах А)-Г) проводим для длины. Да и про "отрицательность перемещения" Вам уже все сказали.

 Профиль  
                  
 
 Re: перемещение и соответствующий ему дифференциал перемещения
Сообщение02.07.2009, 18:40 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/05/09

288
Gomel BY
Позволю подсказать литературу по теме, сссылок не знаю:
БерезинА.В.,КурочкинЮ.А.,ТолкачевЮ.А.
Квартернионы в релятивистской физике.-Мн. 1989

 Профиль  
                  
 
 Re: перемещение и соответствующий ему дифференциал перемещения
Сообщение02.07.2009, 18:50 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/05/09

366
из эпохи Аристотеля
meduza в сообщении #226104 писал(а):
Начало вектора перемещения в точке (4, 0), конец в (6, -2).


Всё равно непонятно. Чтобы не менять рисунок 1.3.1, то, что Вы написали, равносильно утверждению, что в осях $t$ и $x(t)$ вектор $\underset{AB}{\rightarrow}$ обозначает перемещение? А я думал, что траектории, а на траектории перемещение, отображаются в осях $XY$. Объясните, пожалуйста.

-- Чт июл 02, 2009 19:14:08 --

iig в сообщении #226113 писал(а):
Кватернионы...
БерезинА.В.,КурочкинЮ.А.,ТолкачевЮ.А.
Квартернионы в релятивистской физике.-Мн. 1989
Спасибо, конечно, но это для меня язык слишком высокого уровня. Я всё по-старинке, на элементарщине пока пробавляюсь, с дизассемблером под мышкой :)
А что, объяснения нет, почему авторы из МФТИ допустили ошибку в самом нижнем уровне системы "физика", от которой, в общем-то, нет-нет, да и вся система то и дело будет падать?

 Профиль  
                  
 
 Re: перемещение и соответствующий ему дифференциал перемещения
Сообщение02.07.2009, 19:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/09
1497
errnough в сообщении #226115 писал(а):
Всё равно непонятно. Чтобы не менять рисунок 1.3.1, то, что Вы написали, равносильно утверждению, что в осях $t$ и $x(t)$ вектор $\underset{AB}{\rightarrow}$ обозначает перемещение? А я думал, что траектории, а на траектории перемещение, отображаются в осях $XY$. Объясните, пожалуйста.

Извините, не обратил внимание, что там зависимость координаты от времени. Действительно, $\overrightarrow{AB}$ - не перемещение. Но проекция этого вектора на $x(t)$ совпадает с проекцией перемещения.

 Профиль  
                  
 
 Re: перемещение и соответствующий ему дифференциал перемещения
Сообщение02.07.2009, 21:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
errnough в сообщении #226091 писал(а):
ShMaxG в сообщении #226076 писал(а):
Простые вычисления дают $\[
v = \frac{{x_2  - x_1 }}
{{t_2  - t_1 }} = \frac{{\left( { - 2} \right) - 0}}
{{6 - 4}} =  - 1
\]
$. Действительно, аналогия.

Да, это чисто механическая аналогия, повлекшая логическую ошибку. Если записывать медленно, и не пропускать ни одного шага, то в одном из шагов появится следующая запись: $\[\Delta s\ = -2$, что, очевидно, абсурд.

Никакого абсурда.

errnough в сообщении #226091 писал(а):

ShMaxGУ писал(а):
них $\[\Delta s\]$ - приращение координаты (вполне естественно, что оно может быть отрицательным). Мне кажется, не вполне удачное обозначение, лучше $\[\Delta x\]$.

Не вполне удачно? Это катастрофическая ошибка. Несмотря на то, что авторы из МФТИ. Это всё серьезно меняет, поскольку переход от $\[\Delta x\]$ к $\[\Delta s\]$ должен идти через модуль. $\[\Delta s\ = \left | \Delta x \right |$


Это не ошибка, и ни какой катастрофы нет. Можно было взять какое угодно обозначение. Но прежде чем это делать лучше почитать знаменитую статью Халмоша.

И еще раз. Ошибок нигде нет, просто Ваши "понятия" в голове конфликтуют с понятиями математики. Нечего на первом этапе учения/обучения придираться ко всякой мелочи, видя в них, якобы, ошибки.
Я думаю, Вам самим надо с этим разобраться, иначе это будет похоже на хождения кругами как в Вашей теме про производные.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 89 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group