полные решетки

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #224421 писал(а):

В $X_1$ он равен $1$, а в $X_2$ он равен $0$.

А в $X_3 = (-\infty,0) \cup (1,+\infty)$ его (супремума) и вовсе нет.

[Gortaur]

Дайте пожалуйста определение супремума, с которым Вы работаете.

[ewert]

Наименьшая верхняя граница.

[Gortaur]

Наименьшая? по-моему, в определение супремума и инфимума с этими словами надо осторожнее. Что значит наименьшая?

[ewert]

Gortaur в сообщении #224452 писал(а):

Что значит наименьшая?

Это значит, что наименьшая. Та, которая меньше всех остальных границ. А вот существует она или нет -- вопрос уже следующий.

[Gortaur]

то есть минимум? то есть супремума может и не быть.

[bot]

ewert в сообщении #224271 писал(а):

А вообще-то мне эта подтемка поднадоела.

Да и мне тоже.

Профессор Снэйп в сообщении #224294 писал(а):

Как обычно, нафлудили выше крыши.
Между тем вопрос темы совершенно очевиден.

Тем более, что ответ или полуответ уже был:

Gortaur в сообщении #224241 писал(а):

Насколько я понимаю, такие вещи удобно вводить, когда требуется что-то описать, отдельно не выделяя пустое множество.

Дело даже не в удобстве, а в том, что тривиальные случаи обычно не рассматривают, однако никакой обязаловки к их исключению нет, если их не исключает формальное определение. Более того, может оказаться как раз неудобным эти тривиальные случаи исключать. Например, индукция. База индукции проверяется не всегда просто. А если подключить тривиальный случай, который априори кажется лишённым смысла? Та же сумма элементов пустого множества, к примеру. Специально не думал - скорее всего есть примеры, когда индуктивный переход осуществляется ровно по тому же сценарию, что и проверка базы индукции. В таких случаях явно надо смотреть, а не спустить ли базу на один шаг вниз?

Думаете, я спроста спросил про сравнения? Нет, это собственно прямо к теме относится.
Все конгруенции произвольной алгебры составляют полную решётку. Возьмём кольцо $\mathbb Z$, все конгруенции которого устроены просто. Среди них есть отношение равенства и универсальное отношение, при их исключении оставшиеся не составят даже решётку. В теории сравнений рассматривают только оставшиеся - две тривиальные в контексте ТЧ никому не нужны. А если в контексте решёток конгруенций? Удалять как то нехорошо и неудобно. А может быть и не надо мудрить? Не рассматриваются - это не то же самое, что их нет. Сразу видно, что универсальная есть - это сравнение по модулю 1. Равенство тоже есть, но надо чуть-чуть задуматься - это сравнение по модулю 0. Вот в связи с этим я и спрашивал - делится ли 0 на 0?