полные решетки

[Gortaur]

Говорим, что $\inf{X_{a'}} = \lim\limits_{a\rightarrow a'}{\inf{X_a}}$.

[ewert]

Gortaur в сообщении #224266 писал(а):

Говорим, что $\inf{X_{a'}} = \lim\limits_{a\rightarrow a'}{\inf{X_a}}$.

Прежде всего: с какой стати говорим именно это?

И потом: даже если так и скажем -- откуда там возьмётся "неположительность", если левее нуля это множество стабилизируется как пустое?

[bot]

ewert в сообщении #224264 писал(а):

Я считаю, что $x$ делится на $y$, если $x$ сравнимо с нулём по модулю $y$.

А $x\equiv z \pmod y$, если $x-z$ делится на $y$?

Повторяю: есть множество, на котором задана только одна операция, назовём её умножением. Требуется на этом множестве определить отношение делимости, без коммутативности их будет два - левое и правое.

[ewert]

bot в сообщении #224270 писал(а):

Требуется на этом множестве определить отношение делимости,

1). Отношение делимости -- это частный случай сравнения по модулю.

2). Отношение делимости само по себе определено только для ненулевых "знаменателей" -- по определению.

3). А вообще-то мне эта подтемка поднадоела.

Вот, выбирайте.

[Gortaur]

ewert
а с какой стати подходит любое другое определение инфимума и супремума пустого множества и чем оно будет лучше этого. Я считаю, что говорить об этом некорректно - в любом случае (достаточно посмотреть определение инфимума и супремума, но они вполне могут подразумевать непустоту множества и не помочь в этом вопросе). Эти понятия можно лишь вводить, если есть смысл упросить какое-либо описание, то есть обощить эти понятия на пустое множество. При этом желательно, чтобы они определялись однозначно.

Есть такое чувство, что нельзя ввести логичные однозначные супремум и инфимум пустого множества.

[ewert]

Gortaur в сообщении #224277 писал(а):

а с какой стати подходит любое другое определение инфимума и супремума пустого множества и чем оно будет лучше этого.

С той хотя бы, что в Вашем варианте отрезки $X$ зачем-то берутся до $a$ именно от нуля. А почему? почему не от 17, например?...

Между тем верхней границей пустого множества деёствительно может служить любое число. По определению: $c$ есть верхняя граница $M$, если

$$(\forall x\in M)\ x\leqslant c.$$

И это утверждение действительно выполняется (в случае $M=\varnothing$) для любого такого икса, поскольку никаких таких иксов и нет.
Если Вас смущает логика -- что ж, переверните это определение. Число $c$ не является верхней границей $M$, если

$$\exists x\in M:\ x>c.$$

Уж тут-то никаких сомнений быть не может: ни одно $c$ не удовлетворяет этому требованию, т.к. ни для одного $c$ ни одного требуемого икса точно не найдётся. Т.е. ни одно $c$ не может не быть верхней границей для пустого множества.

[Gortaur]

Согласен, любое. Про то определение, которое я написал, я и не говорил, что оно корректно, там вместо 0 может стоять хоть гугл.

-- Вт июн 23, 2009 17:55:25 --

Таким образом, формально $\inf = +\infty$ а $\sup = -\infty$ - если смотреть через множества верхних и нижних границ.

[nn910]

Gortaur в сообщении #224261 писал(а):

nn910
не буду спорить с этим. Но если B = 0, то у вас слева и справа инфимумы/супремумы пустого множества. Вы их через себя определяете?

Подставляйте внимательнее. А потом подумайте останется ли это тождествами если принять другое определение супремума чем ewertили не принимать никакого

nn910 в сообщении #224257 писал(а):

Gortaur в сообщении #224241 писал(а):

Насколько я понимаю, такие вещи удобно вводить, когда требуется что-то описать, отдельно не выделяя пустое множество. Можете привести пример?

$\inf(AUB)=min\{infA,infB\}$
$\sup(AUB)=max\{supA,supB\}$ в том числе для В=0 и А любого

[Профессор Снэйп]

Как обычно, нафлудили выше крыши.

Между тем вопрос темы совершенно очевиден. Пусть $\mathcal{P}$ --- некоторый ЧУМ и $p$ --- его элемент. Тогда справедливо утверждение $(\forall x \in \varnothing)(x \leqslant p)$. Значит, $p$ является верхней гранью пустого множества в точности по определению. Мы видим, что каждый элемент $\mathcal{P}$ является верхней гранью пустого множества. Ну и тогда супремум пустого множества --- это наименьшая верхняя грань, то есть наименьший элемент $\mathcal{P}$. Если в $\mathcal{P}$ есть наименьший элемент, то он равен $\sup \varnothing$, в противном случае $\sup \varnothing$ не существует.

Что касается числовой прямой... Если мы рассматриваем $\mathbb{R}$ (со стандартным порядком) само по себе, то $\sup \varnothing$ не определён. Если же мы работаем с расширенной числовой прямой, то есть с множеством $\mathbb{R} \cup \{ -\infty, +\infty \}$, то $\sup \varnothing = -\infty$. Последнее равенство частенько фигурирует в курсах матанализа

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #224294 писал(а):

Как обычно, нафлудили выше крыши.

Ага, спасибо за помощь и за повод:

Профессор Снэйп в сообщении #224294 писал(а):

Если же мы работаем с расширенной числовой прямой, то есть с множеством $\mathbb{R} \cup \{ -\infty, +\infty \}$, то $\sup \varnothing = -\infty$.

С множеством $\mathbb{R} \cup \{ -\infty\}$.

Профессор Снэйп в сообщении #224294 писал(а):

Последнее равенство частенько фигурирует в курсах матанализа

А зачем, кстати? Проку-то от него в анализе никакого.

[Виктор Викторов]

Профессор Снэйп в сообщении #224294 писал(а):

Если в $\mathcal{P}$ есть наименьший элемент, то он равен $\sup \varnothing$, в противном случае $\sup \varnothing$ не существует.

Профессор Снэйп в сообщении #224294 писал(а):

Что касается числовой прямой... Если мы рассматриваем $\mathbb{R}$ (со стандартным порядком) само по себе, то $\sup \varnothing$ не определён.

Так не определён или всё-таки не существует?

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #224304 писал(а):

Так не определён или всё-таки не существует?

Не определён в том смысле, что не существует.

[Gortaur]

Получается, что супремум пустого множества - величина относительная. Скажем, зависит от множества-универса. Но если я беру $X_1 = [0,1]$ и $X_2 = [0.1,0.9]$, то ранее я предполагал, что пустое множество не будет от них зависеть (я имею ввиду, как и все его характеристики) - ан нет. В одном случае у него один супремум, во втором - другой.

[Профессор Снэйп]

Gortaur в сообщении #224416 писал(а):

Получается, что супремум пустого множества - величина относительная.

И не только пустого Супремум и инфимум очень часто являются "относительной", как Вы выражаетесь, величиной.

Пусть, например, $X_1 = (-\infty,0) \cup [1,+\infty)$ и $X_2 = (-\infty,0] \cup [1,+\infty)$. Чему равен супремум ну совершенно не пустого множества $(-\infty,0)$? В $X_1$ он равен $1$, а в $X_2$ он равен $0$. Ничего трагичного в этом нет

[Gortaur]

Ок, это похоже на правду, спасибо. Вы меня убедили. Почти во всем.