Сфера Банаха и Тарского

[Alexey Romanov]

Предъявить явно неизмеримые множества, конечно, нельзя. Если читаете по-английски, неплохое объяснение дано здесь.

[мат-ламер]

Alexey Romanov в сообщении #224156 писал(а):

Предъявить явно неизмеримые множества, конечно, нельзя.

Нельзя-ли популярнее объяснить смысл этого предложения? В любом примере неизмеримого множества существено используется аксиома выбора? Это доказуемо?

[Alexey Romanov]

мат-ламер в сообщении #224168 писал(а):

В любом примере неизмеримого множества существено используется аксиома выбора? Это доказуемо?

Да, "все (ограниченные) подмножества $\mathbb R^n$ измеримы по Лебегу" совместимо с $ZF$.

[AGu]

мат-ламер в сообщении #224168 писал(а):

В любом примере неизмеримого множества существено используется аксиома выбора? Это доказуемо?

Да, ибо существует модель ZF, в которой все подмножества $\mathbb R$ измеримы по Лебегу.
[Solovay, Robert M. A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable. Ann. of Math. (2) 92 1970 1--56.]

[мат-ламер]

Цитата:

Да, ибо существует модель ZF, в которой все подмножества измеримы по Лебегу.

. Наверное, имеется в виду модель, где аксиома выбора заменена на аксиому детерминированности? Вот сейчас читаю Ященко, где он пишет про игру Банаха-Мазура и аксиому детерминированности. Правда, пишет только вкратце и за подробностями отсылает к книге Кановея.

[Мастак]

Sasha2 в сообщении #224109 писал(а):

Ну хороршо, а такое кто-нибудь делал?
Хотелось бы воочию убедиться, как из одной сферы сделать две такие же.
Может схемка есть или рисунок какой?

иллюзионно как-нибудь
вроде

[Alexey Romanov]

Нет, не иллюзионно.

[Мастак]

выворачивание наизнанку сферы Смейла возможно (но не верифицируемо) в 4-мерном пространстве
(в пар. Смейла в 3-мерн. выворач.),



Но время в нашей 3-мерности может быть 4-ым измерением условно - вот и видео "удается"

[Sasha2]

Ну многое есть то, что неизмеримо, но внешний вид чего можно все таки как-то представить. Хотелось бы и тут ну хотя бы полуить примерное представление о том, что из себя представляют эти куски. Ну например, вот ближе они все таки к чему, или хотя бы если их пять, а получаем две новых сферы, то это как понимать из двух делаем одну сферу, а из трех другую?

[Alexey Romanov]

Sasha2 в сообщении #224290 писал(а):

Хотелось бы и тут ну хотя бы полуить примерное представление о том, что из себя представляют эти куски. Ну например, вот ближе они все таки к чему

Они устроены бесконечно сложно. Физически таких тел не существует, потому что все тела состоят из атомов, а не бесконечно близких друг к другу точек .

Sasha2 в сообщении #224290 писал(а):

из двух делаем одну сферу, а из трех другую

Да.

[ИСН]

Sasha2 в сообщении #224290 писал(а):

Ну многое есть то, что неизмеримо, но внешний вид чего можно все таки как-то представить.

Например?

[RIP]

Sasha2 в сообщении #224290 писал(а):

если их пять, а получаем две новых сферы, то это как понимать из двух делаем одну сферу, а из трех другую?

Вообще-то, пять кусков необходимо для шара. Для сферы достаточно четырёх.

[Alexey Romanov]

RIP в сообщении #224302 писал(а):

Вообще-то, пять кусков необходимо для шара. Для сферы достаточно четырёх.

Да, действительно.

[Sasha2]

Ну, например функция Дирихле.
Все таки внешний вид ее достаточно представим.
Ну хотя бы моего скудного умишка хватает, чтобы приблизительно понять НАГЛЯДНЫЙ вид этого объекта.

[ИСН]

И что? Функция Дирихле интегрируема по Лебегу.