I. Рассмотрим однородное диофантово уравнение вида
при этом
- целые ,
Постановка задачи - принадлежат ли решения этого уравнения кольцу целых чисел
при различных значениях показателя
[1],[2],[3],[4],[5],[6].
Нетрудно видеть, что уравнение (1) при
имеет целочисленные решения. Например, при
значения
и
а при
значения
и
удовлетворяют уравнению (1).
Далее утверждается, что уравнение (1) при
не имеет натуральных решений
.
Доказательство этой старой задачи строится от противного, т.е. предполагается, что равенство в (1) возможно. Если это так, то необходимо установить условия, при которых получается равенство.
Рассмотрим уравнение (1) для четных значений показателя степени
, т.е.
и для нечетных значений показателя степени
, т.е.
Перепишем уравнение (2) в виде,
Соотношение (4) есть целочисленное уравнение Пифагора, которое, после обозначения
запишется
Корни уравнения Пифагора (величины
) известны в общем виде [1], [3]:
где
и
должны быть целыми числами и при этом
в силу целочисленности уравнения (4).
Исходя из предположения, что в уравнении (3) возможно равенство и учитывая соотношения
(6), (7) и (8), получим
откуда получается
, что противоречит условию
для целочисленного уравнения Пифагора (4).
Таким образом равенство в уравнении (1) для всех нечетных показателей степени
невозможно. Остается доказать невозможность равенства в (1) для
. Это уже сделано давно. Доказательство для всех четных значений показателя степени
приведено в [6].
Расширение задачи.II. Далее, если рассматривать (1) для всех целых
то равенство в (1) возможно только для
Легко видеть, при
(получается 2 = 1) равенство не выполняется.
Рассмотрим (1) с показателем степени
- не равные нулю целые числа.
Нетрудно видеть, что для
равенство имеет место, например, при четных равных друг другу
и
- целое.
При
и, к примеру, при
и
равенство (1) выполняется.
Пусть
тогда (1) запишется так:
где
Ясно, что в (9)
и
Пусть
целое, тогда правая часть (10) есть
- ая степень целого числа. Из доказанного выше в разделе I следует, что (10) не имеет целочисленных решений для всех значений показателя степени
и , следовательно, равенство (1) не выполняется для всех
если
- не равные нулю, целые числа.
III. Пусть в (1) для всех целых
числа
- рациональные, т.е.
где
– целые, не равные нулю, числа.
IV. Пусть в (1) для всех целых
числа
- иррациональные.
V. Пусть в (1) для всех целых
числа
- комплексные, т.е.
где
, а числа
- вещественные.
Для задач III, IV, V установить условия равенства.
Список литературы
1. Эдвардс Г. М. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. -М.: МИР, 1980.
2. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. -М.: Высшая школа, 1979.
3. Блинов В. Ф. Великая теорема Ферма: Исследование проблемы -М.: Изд-во ЛКИ,2008.
4. Постников М. М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел. -М.: Наука, 1978.
5. Рибенбойм П. Последняя теорема Ферма для любителей. –М : Мир, 2003.
6. Вайсруб Л. Д. О свойствах решений одного однородного диофантова уравнения. –М., Форум dxdy.
http://www.dxdy.ru/ Математика. Дискуссионные темы. Сообщение от 03.06.2009 года.