что такое идеальный элемент? (компактификация C)

[Codegrammer]

Цитирую Шабата Б.В "Введение в комплексный анализ." том 1. стр. 12

"В некоторых вопросах удобно компактифицировать множество комплексных чисел С. Это делается добавлением к нему идеального элемента, который называется бесконечной точкой."

Вопрос: что такое идеальный элемент?

[ИСН]

"Иногда банан - это просто банан." Ничего не значит. Считайте, что вместо слов "идеальный элемент" там слово "хрень". Смысл всей фразы от этого не изменится.

[TOTAL]

Codegrammer в сообщении #222395 писал(а):

"В некоторых вопросах удобно компактифицировать множество комплексных чисел С. Это делается добавлением к нему идеального элемента, который называется бесконечной точкой."

Вопрос: что такое идеальный элемент?

Надо разобраться, что такое компактифицировать множество комплексных чисел С. Если разберемся, то узнаем кое-что про идеальный элемент (это то, добавление чего позволяет компактифицировать ...)

[MGM]

Если комплексную плоскость представить через стереографическую проекцию, то это будет Северный полюс.
Таким образом плоскость дополняется до сферы.
По мне идеальный элемент - Южный полюс.
Но прфессору видней.

[Профессор Снэйп]

По-моему, эта штука называется "сфера Римана"

[MGM]

Профессор Снэйп в сообщении #222497 писал(а):

По-моему, эта штука называется "сфера Римана"

А вот и профессор.

Некоторые именно так и называют. Хотя у Римана есть замечательная теорема,
относительно проекции круга.
Кстати, плоскость не обязательно комплексная.

[Alexiii]

Это Интересно

[мат-ламер]

В некоторых вопросах действительного анализа иногда к действительной прямой добавляют две бесконечности (с разными знаками). Правда, компактификацией это не называют. В комплексном анализе добавление бесконечной точки - это переход от $C$ к проективному пространству $CP$, которое изоморфно сфере. Но сама сфера возникает только вначале курса. Дальше её что-то не видно (может плохо смотрел?). Хотя бесконечная точка встречается регулярно. Наверное сфера нужна для прояснения смысла $CP$.

[MGM]

мат-ламер в сообщении #222585 писал(а):

В некоторых вопросах действительного анализа

Хороший термин.
Можно я его буду цитировать?

[ewert]

MGM в сообщении #222599 писал(а):

В некоторых вопросах действительного анализа иногда к действительной прямой добавляют две бесконечности (с разными знаками). Правда, компактификацией это не называют.

Да и Шабат назвал это из чистого пижонства -- в ТФКП (с точки зрения её внутренних потребностей) эта компактификация откровенно не пришей кобыле хвост. Хотя формально -- и впрямь компактификация: действительно, после такого пополнения комплексная плоскость (с естественной топологией) и впрямь становится компактом. Только зачем становится-то?...

[мат-ламер]

MGM. Цитируйте. Но я имел в виду следующее. Обычно в анализе символы $+\infty$ и $-\infty$ используются в формулах как значения некоторых пределов (т.е. в смысле потенциальной бесконечности). Теперь см. Рокафеллар Р.Т. Выпуклый анализ, стр. 40. Действительная прямая дополняется двумя символами $+\infty$ и $-\infty$, которые дальше во всех формулах участвуют наравне с обыкновенными числами, т.е. на них распространяются операции арифметики (с некоторыми исключениями). Т.о. мы имеем актуальную бесконечность.

[MGM]

мат-ламер в сообщении #222704 писал(а):

MGM. Цитируйте. Но я имел в виду следующее. Обычно в анализе символы $+\infty$ и $-\infty$ используются в формулах как значения некоторых пределов (т.е. в смысле потенциальной бесконечности). Теперь см. Рокафеллар Р.Т. Выпуклый анализ, стр. 40. Действительная прямая дополняется двумя символами $+\infty$ и $-\infty$, которые дальше во всех формулах участвуют наравне с обыкновенными числами, т.е. на них распространяются операции арифметики (с некоторыми исключениями). Т.о. мы имеем актуальную бесконечность.

мат-ламер, с добрым утром. Мне не это понравилось.
Действительный анализ, в противовес мнимому.
Хотя понимаю, что это уже устойчивый сленг.
Кстати о бесконечности. Для $\[ IR^2 \]$ также можно замкнуть на одну точку.
и для одномерного случая иногда используют замыкание.
Или в выражениях для предела числа Эйлера используют просто бесконечность, чотбы не писать плюс.минус.

[terminator-II]

компактификация $\mathbb{C}$ это как раз вещь очень важная. один пример: риманова поверхность многочлена (точнее обратной к нему функции)замкнута (компактное многообразие без края). на основании этого факта, в терминах разрешимости группы монодромии, доказывается, теорема Абеля о неразрешимости уравнения степени $\ge 5$ в радикалах. другие содержательные примеры см. Шабат Введение в комплан том 2.
тривиальньный пример использования компактификации (тут можно, конечно, и без не обойтись) связь суммы вычетов функции в конечных точках с вычетом в бесконечности. если представить себе замкнутую кривую на сфере Римана по одну сторону от которой находятся все особенности функции в конечных точках, а по другую бесконечная точка то смысл теоремы становится очевидным.
вообще о компактификациях топологических пространств полезно почитать в книжке Энгелькинга Общаяя топология.

-- Wed Jun 17, 2009 13:06:10 --

MGM в сообщении #222718 писал(а):

Для $\[ IR^2 \]$ также можно замкнуть на одну точку.

каждое локально компактное хаусдорфово пространство можно компактифицировать добавлением одной точки