Заряженная жидкость на линейке.

[Зиновий]

Someone писал(а):

Зиновий писал(а):

А то, опять получится как с формулой Ньютона- Лейбница...

.....................................
Запишем формулу Остроградского - Гаусса:

$$\iiint\limits_W\rho(x)dxdydz=\iint\limits_{\Pi}\text{пр}_{\vec n}\vec D(x)dS\text{,}\eqno(1)$$

где $\Pi$ - внешняя сторона поверхности, ограничивающей область $W$.
В качестве области $W$ мы возьмём цилиндр, образующая которого параллельна оси $Ox$, а основания лежат в плоскостях $x=a$ и $x=b$, где $a<b$. Обозначим эти основания, соответственно, $D_a$ и $D_b$; кроме того, обозначим $D$ проекцию $W$ на плоскость $Oyz$. Преобразуем интеграл в левой части:

$$\iiint\limits_W\rho(x)dxdydz=\int\limits_a^b\rho(x)dx\iint\limits_Ddydz=S\int\limits_a^b\rho(x)dx$$

,
где $S$ - площадь области $D$.
...........................................................

Зиновий писал(а):

Вектор D равен потоку вектора D деленному на площадь.
Площадь, в одномерном случае равна нулю.
Вектор D стремится к бесконечности.

Это всё хорошо, но только непонятно, на каких основаниях Вы считаете нульмерную "площадь" (математики предпочитают здесь слово "объём") нульмерной сферы равной $0$. Нульмерная "площадь" есть безразмерная величина. Естественно считать, что нульмерная площадь множества равна числу точек в этом множестве. Нульмерная сфера - это граница одномерного шара, то есть, отрезка. Она состоит из двух точек, поэтому её нульмерная "площадь" равна $2$. Поэтому делить нужно на $2$, а не на $0$. И это прекрасно согласуется как с формулой (4), так и с формулой напряжённости электростатического поля заряженной плоскости: $E=\frac{\sigma}{2\varepsilon\varepsilon_0}$.

Мне даже, как-то, неловко указывать Вам на нелепость последнего Вашего утверждения - о "не нулевой площади в одномерном пространстве, нормальной к одномерному пространству"...
Вы сами, выше, пишите, что площадь S является двойным определенным интегралом от произведения dy*dz при равных, нулевых, верхних и нижних пределах и, после этого, утверждаете, что эти интегралы, а, следовательно, и площадь S отличны от нуля.
Вы предлагаете пересмотреть определение понятия "определенный интеграл"?
Как я должен рассматривать подобные рассуждения?
Как неуместную шутку, или флейм?
Или предположить, что Вы плохо владеете основами математического анализа?
Или вы ввели свое, новое определение понятия "одномерное пространство", в котором координаты Y и Z нормальные к пространственной координате "Х" могут отличаться от нуля?
Если сможете, дайте ссылку на теоретическое обоснование такого определения понятия "одномерное пространство".
Попробуем разобраться...

[Someone]

Зиновий писал(а):

Мне даже, как-то, неловко указывать Вам на нелепость последнего Вашего утверждения - о "не нулевой площади в одномерном пространстве, нормальной к одномерному пространству"...
Вы сами, выше, пишите, что площадь S является двойным определенным интегралом от произведения dy*dz при равных, нулевых, верхних и нижних пределах и, после этого, утверждаете, что эти интегралы, а, следовательно, и площадь S отличны от нуля.
Вы предлагаете пересмотреть определение понятия "определенный интеграл"?
Как я должен рассматривать подобные рассуждения?
Как неуместную шутку, или флейм?
Или предположить, что Вы плохо владеете основами математического анализа?
Или вы ввели свое, новое определение понятия "одномерное пространство", в котором координаты Y и Z нормальные к пространственной координате "Х" могут отличаться от нуля?
Если сможете, дайте ссылку на теоретическое обоснование такого определения понятия "одномерное пространство".
Попробуем разобраться...

Нда-а-а, тяжёлый случай. А теперь найдите все эти глупости, которые Вы мне приписываете, в моём тексте.

[Dan_Te]

Цитата:

Вы сами, выше, пишите, что площадь S является двойным определенным интегралом от произведения dy*dz при равных, нулевых, верхних и нижних пределах и, после этого, утверждаете, что эти интегралы, а, следовательно, и площадь S отличны от нуля.

Хм. Вы вообще читали, что написал Someone? Я нашел у него только вот такое:

$$\int\limits_a^b\rho(x)dx\iint\limits_Ddydz=S\int\limits_a^b\rho(x)dx$$

Но здесь, если мне не изменяет зрение, в определении S нет ни верхних, ни нижних пределов. Такое ощущение, что вы не понимаете разницы между

$$\iint\limits_D dydz$$

и

$$\iiint\limits_D dxdydz$$

.

Вам бы сидеть и молчать в тряпочку. Я думал, физики лучше знают мат. анализ... Может быть, вы просто не физик?

[Зиновий]

Dan_Te писал(а):

Вам бы сидеть и молчать в тряпочку. Я думал, физики лучше знают мат. анализ... Может быть, вы просто не физик?

Мне можно ответить Вам в вашем стиле?
Или последуют репрессии?

[Dan_Te]

Отвечайте, пожалуйста.
Заодно расскажите, где Someone использует нижние и верхние пределы для записи площади S.

[Зиновий]

Dan_Te писал(а):

Отвечайте, пожалуйста.
Заодно расскажите, где Someone использует нижние и верхние пределы для записи площади S.

Когда математики рассматривают некие абстрактные математические пространства, мне, как физику, начихать на их "выверты".
Когда речь идет о физических процессах в физическом (пусть и абстрактном) пространстве, то здесь фокусы неуместны.
В том числе и математические.
Someone получает интегрально площадь нормальную к одномерному пространству в одномерном пространстве, как двойной интеграл от произведения dY*dZ и этот интеграл у него равен 1, что соответствует интегрированию, например, в пределах плюс-минус 0,5 по Y и по Z.
Вам, как математику, надеюсь, очевидно, что, в общем случае, для площади равной единице, сумма квадратов Z и Y должна быть равна 1/пи.
Т.е. Z и Y не могут одновременно обращаться в ноль.
Однако, по определению понятия "одномерное пространство", все значения Y и Z не могут отличаться от нуля, как единственного бесконечно малого числа (по определению).
Следовательно, фактически, реально Someone интегрирует в нулевых пределах и получает ненулевой результат.
На что я ему и указал.
Мне казалось, что математики всегда были достаточно осторожны в своих выкладках.
Оказывается, сегодня они, как и в физике, не придерживаются определений понятий и их логических следствий.
P.s.
Прошу обратить внимание, на то, что я, в отличие от Вас, не рекомендовал Вам "сидеть и молчать в тряпочку".
Хотя, это и было бы уместно...

[Dan_Te]

Я уж думал, что вы меня удивите, но вам не удалось.

Цитата:

Вам, как математику, надеюсь, очевидно, что, в общем случае, для площади равной единице, сумма квадратов Z и Y должна быть равна 1/пи.

Я не очень понимаю, что мне должно быть очевидно. Я вообще не очень понимаю вашу фразу. Какой общий случай? Что за сумма квадратов? Что за бред вы вообще написали?
Объясните, пожалуйста, что именно вы имели в виду. Давайте самыми простыми словами, представим себе, что я ничего не знаю. Так будет проще.

Теперь касательно того, что делает Someone. Там нет никакого интегрирования в одномерном пространстве, там есть теорема Фуббини, которая разрешает нам свести двойной интеграл к повторному (точнее, тройной к простому и двойному). Никаких фокусов, вы просто не врубаетесь, о чем он говорит.

[Аурелиано Буэндиа]

Dan_Te писал(а):

Что за бред вы вообще написали?

Судя по всему он пытается сказать об уравнении круга $x^2+y^2=r^2=1/\pi$ с единичной площадью, но я никак не возьму в толк причем тут круг???

[Mopnex]

Я приношу извинения за неправильную формулировку задачи. Конечно, случай одномерного пространства не интересен.

[Зиновий]

Dan_Te писал(а):

Я уж думал, что вы меня удивите, но вам не удалось.

Цитата:

Вам, как математику, надеюсь, очевидно, что, в общем случае, для площади равной единице, сумма квадратов Z и Y должна быть равна 1/пи.

Я не очень понимаю, что мне должно быть очевидно. Я вообще не очень понимаю вашу фразу. Какой общий случай? Что за сумма квадратов? Что за бред вы вообще написали?
Объясните, пожалуйста, что именно вы имели в виду. Давайте самыми простыми словами, представим себе, что я ничего не знаю. Так будет проще.

Теперь касательно того, что делает Someone. Там нет никакого интегрирования в одномерном пространстве, там есть теорема Фуббини, которая разрешает нам свести двойной интеграл к повторному (точнее, тройной к простому и двойному). Никаких фокусов, вы просто не врубаетесь, о чем он говорит.

1. Касательно того, в чего "Вы не врубаетесь".
Речь идет о решение задачи напряженности электрического поля, создаваемого электрическим зарядом, размещенным на отрезке одномерного пространства.
Я утверждаю, что такой заряд, в силу конечности потока вектора смещения и нулевой площади потока, будет создавать бесконеную напряженность электрического поля (согласно теореме Остроградского-Гаусса).
Someone пытается доказать, что напряженность электрического поля будет конечной и привлекает для этого формулу, которую Вы видели.
2. Из приведенных Someone выкладок следует, только, не равенство нулю интеграла по X и неравенство нулю интеграла по поверхности XY, при неравенстве нулю объемного интеграла.
В случае равенства нулю объемного интеграла, как минимум один из двух интегралов, стоящих в правой части, обращается в нуль, что мы и имеем в одномерном пространстве.
Как я раньше уже сообщал Someone, эта формула неприменима для одномерного пространства, т.к. в одномерном пространстве нет понятия трехмерного объема и двухмерной площади.
Что касается "нуль объема", то это уже математические выверты (т.к. нуль объема содержит всего одну точку, по определению понятия "математическая точка"), не имеющие никакого отношения к физическому пространству.
Вот и вся сказка...

[Зиновий]

Mopnex писал(а):

Я приношу извинения за неправильную формулировку задачи. Конечно, случай одномерного пространства не интересен.

Я с этим согласился с самого начала, указав, что это "школьная задача на сообразительность".
Но, как видите, Someone никак не "сообразит", что поле Е (по величине) создаваемое зарядом, распределенным на конечном отрезке одномерного пространства, полностью аналогично величине поля Е на поверхности точечного заряда с радиусом равным нулю.

[Dolopihtis]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Ну чего Вы так разнервничались? Дело в том, что когда я говорил о своем решении я не имел в виду нахождение положений зарядов при конечных $N$. Мне было достаточно тех утверждений о распределении зарядов, которые я доказал. А стоить численную схему мне было просто лень. Что касается, Ваших предположений о пределе $N \to \infty$, то может это конечно и имеет смысл с точки зрения численных методов, но с точки зрения физики Ваши размышления не имеют никакого отношения к реальности. Если оставлять заряд частиц $q$ фиксированным, то при $N\to \infty$ полный заряд стремится к бесконечности! Поэтому меня интересовал исключительно предельный переход при котором полный заряд остается конечным. В связи с этим можно сформулировать утверждение:
У т в е р ж д е н и е:
В пределе $N \to \infty$, при котором полный заряд остается конечным наступает коллапс частиц на стенки .
Решение:
Из утверждения 3 следует, что при увеличении $N$ расстояние между зарядами стремится к нулю, а значит можно ввести функцию плотности распределения зарядов формулой
$ \int_{-a}^{x_i}\rho_n(x)dx=(i-1)q $
или $\int_{x_i}^{x_{i+1}}\rho_n(x)=q$. Записываем потенциальную энергию конечного числа частиц

$$ V=\sum_{ik} \frac{q^2}{|x_i-x_k|} $$

условие равновесия дает
$\sum_{k=1}^{i-1} \frac{q^2}{(x_i-x_k)^2}=\sum_{k=i+1}^n \frac{q^2}{(x_k-x_i)^2}$
Наивный переход к пределу $N \to \infty$ дает расходимость в выражении

$$ \int_{-a}^x \frac{\rho(x)\rho(t)dt}{(x-t)^2}=\int_{x}^a \frac{\rho(x)\rho(t)dt}{(x-t)^2} $$

Чтобы регуляризовать интеграл нужно исключить самодействие зарядов. В приближении непрерывной плотности, точечный заряд расположенный в окрестности точки $x$ оказывается распределен, по отрезку $(x-q/(2\rho(x)),x+q/(2\rho(x)))$. Поэтому интеграл без самодействия имеет вид

$$ \int_{-a}^{x-q/(2\rho(x))}\frac{\rho(t)dt}{(t-x)^2}=\int_{x+q/(2\rho(x))}^a\frac{\rho(t)dt}{(t-x)^2} $$

Интегрируем по частям и получаем

$$ \frac{\rho(a)}{a-x}-\frac{\rho(-a)}{a+x}+\int_{-a}^{x-q/(2\rho(x))}\frac{\rho'(t)dt}{t-x}= 2\rho'(x)+\int_{x+q/(2\rho(x))}^a\frac{\rho'(t)dt}{t-x} $$

Интегрируя еще раз по частям получаем

$$ -\rho'(x) -\frac{\rho(-a)}{a+x} + \rho'(x)\ln\left|t-x\right|^{x-q/(2\rho(x))}_{-a}-\int_{-a}^{x-q/(2\rho(x))}\rho''(t)\ln|t-x| dt = $$

$$ \rho'(x)- \frac{\rho(a)}{a-x} +\rho'(x)\ln\left|t-x\right|_{x+q/(2\rho(x))}^a-\int_{x+q/(2\rho(x))}^a \rho''(t)\ln|t-x| dt $$

оставшиеся интегралы регулярны в пределе $q/(2\rho(x)) \to 0$ при всех $x\in (-a,a)$. Видим, что присутствует нескомпенсировангная сила, которя расталкивает заряды к стенке. В итоге имеем

$$ \rho'(x)\ln(q/(2\rho(x)))= -\rho'(x)\ln(q/(2\rho(x))) $$

В пределе баланс сил может быть достигнут только если $\rho'(x)=0$. С другой стороны, если $\rho(x \in (-a,a))=\hbox{const} \neq 0$, то это распределение не может являться равновесным, следовательно $\rho(x)=0$. А это значит, что заряды сколлапсировали на стенки.

К сожалению, я не совсем понял детали Ваших вычислений (Интегрирование по частям и дальнейшие преобразования), но мне кажется , что если допустить возможность появления дельта- особенностей в распределении заряда,типа коллапса на стенки, то мы по сути возвращаемся к исходной задаче о распределении дискретных зарядов, т.е. становится возможным например решение в виде двух зарядов на стенках и одного точно посередине.

[Аурелиано Буэндиа]

Dolopihtis писал(а):

К сожалению, я не совсем понял детали Ваших вычислений (Интегрирование по частям и дальнейшие преобразования), но мне кажется , что если допустить возможность появления дельта- особенностей в распределении заряда,типа коллапса на стенки, то мы по сути возвращаемся к исходной задаче о распределении дискретных зарядов, т.е. становится возможным например решение в виде двух зарядов на стенках и одного точно посередине.

Я постарался учесть то что Вы сказали
У т в е р ж д е н и е:
При рассмотрении одномерной сжимаемой заряженной жидкости на отрезке $[-a,a]$ наступает коллапс на стенки $x=-a,a$.
Обоснование:
Рассмотрим одномерную заряженную жидкость с плотностью заряда $\rho(x)$ на $(-a,a)$. Для общности, будем также считать, что на краях отрезка сосредоточены конечные положительные заряды $Q_{1}$ и $Q_{1}$. Рассмотрим бесконечно малый участок такой жидкости в точке $x$ c зарядом $\rho(x)dx$. На него действуют силы, модули которых обозначим через $f_1\rho(x)dx$ и $f_2\rho(x)dx$

$$ f_{1}=\frac{Q_1}{(x+a)^2}+\int_{-a}^x \frac{\rho(y)dy}{(x-y)^2} $$

$$ f_{2}=\frac{Q_2}{(x-a)^2}+\int_x^{a} \frac{\rho(y)dy}{(x-y)^2} $$

Элементарный анализ показывает, что интегралы расходятся.
Чтобы регуляризовать интегралы введем обрезание ($\delta>0$). Имеем

$$ F_{1}=\frac{Q_1}{(x+a)^2}+\int_{-a}^{x-\delta} \frac{\rho(y)dy}{(x-y)^2} $$

$$ F_{2}=\frac{Q_2}{(x-a)^2}+\int_{x+\delta}^{a} \frac{\rho(y)dy}{(x-y)^2} $$

С точки зрения физики $f_1-f_2$ дает силу, действующую на элемент жидкости. А обрезание можно интерпретировать как устранение самодействия элемента жидкости самого на себя. Поэтому "перенормированные" силы равны $F_{1,2}$. Вычислим $F_{1,2}$ интегрированием по частям

$$ F_1=\frac{Q_1}{(x+a)^2}+\frac{\rho(x-\delta)}{\delta}-\frac{\rho(-a)}{x+a} -\int_{-a}^{x-\delta} \frac{\rho'(y)dy}{x-y}= $$

$$ \frac{Q_1}{(x+a)^2}+\frac{\rho(x-\delta)}{\delta}-\frac{\rho(-a)}{x+a} +\rho'(x)\ln\delta -\rho'(x)\ln|x+a|-\int_{-a}^{x-\delta} {\rho''(y)\ln|y-x| dy $$

для $F_2$ аналогично получаем

$$ F_2=\frac{Q_2}{(x-a)^2}+\frac{\rho(x+\delta)}{\delta}-\frac{\rho(a)}{a-x} +\rho'(x)\ln|x-a|-\rho'(x)\ln\delta-\int_{x+\delta}^a {\rho''(y)\ln|y-x| dy $$

На динамику жидкости влияет только разность этих сил $F_{1}-F_{2}$, которая принимает вид

$$ F_1-F_2=\frac{Q_1}{(x+a)^2}-\frac{Q_2}{(x-a)^2}-2\rho'(x)-\frac{\rho(-a)}{x+a}+\frac{\rho(a)}{a-x} +2\rho'(x)\ln\delta $$

$$ -\rho'(x)\ln(a^2-x^2)-\int_{-a}^{x-\delta} {\rho''(y)\ln|y-x| dy +\int_{x+\delta}^a {\rho''(y)\ln|y-x| dy $$

При любых $x\in (-a,a)$ и $\delta>0$ разность конечна. Теперь рассмотрим предел $\delta \to 0$. Получаем асимптотику $F_1-F_2 \sim 2\rho'(x)\ln\delta$. Её можно интерпретировать так:
при $\rho'(x)>0$ сила действующая на элемент жидкости направлена против оси $x$, а при $\rho'(x)<0$ наоборот Таким образом, жидкость будет течь в область с меньшей плотностью. Причем это вне зависимости от того какие заряды сосредоточены на стенках. Это, кстати гговоря, указывает на невозможность коллапса заряженной жидкости при $x\in (-a,a)$! Кроме того, состояние равновесия может быть достигнуто только если $\rho'(x)=0$ (необходимое условие). Это условие удовлетворяется для $\rho(x)=\hbox{const}=c< \infty$. Получаем

$$ F_1-F_2=\frac{Q_1}{(x+a)^2}-\frac{Q_2}{(x-a)^2}+ \frac{2xc}{a^2-x^2}. $$

Ни при каких $x\in (-a,a)$ это выражение не обращается в ноль. Поэтому $\rho(x)=c \neq 0$ не может являться состоянием равновесия. Следовательно нужно положить $c=0$. Таким образом, на интервале $(-a,a)$ в равновесии плотность $\rho(x)=0$ и, следовательно, при движении одномерной заряженной жидкости к положению равновесия наступает коллапс на стенки.

З а м е ч а н и е:
Из решения также следует невозможность схлопывания жидкости в точечные заряды на интервале $x\in (-a,a)$.

[Зиновий]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Таким образом, на интервале $(-a,a)$ в равновесии плотность $\rho(x)=0$ и, следовательно, при движении одномерной заряженной жидкости к положению равновесия наступает коллапс на стенки.

З а м е ч а н и е:
Из решения также следует невозможность схлопывания жидкости в точечные заряды на интервале $x\in (-a,a)$.

1. Таким образом, У Вас получился результат, в точности совпадающий с результатом предложенным мной для первого варианта задачи.
Разница только в том, что, положив заряженную жидкость сжимаемой, Вы получили, что бесконечные напряженности сожмут жидкость в точки, на краях одномерного отрезка.
2. По поводу "Замечание".
Вы задали "сжимаемость" жидкости, но не задали ее "растяжимость".
Если задать соответствующую растяжимость, то появится "схлопывание жидкости" в единичные заряды, любой конечной протяженности.
В случае учета растяжимости жидкости, образовавшийся единичный заряд может занимать любое произвольное положение на одномерном отрезке, вплоть до примыкания к стенке, в силу отсутствия внешней для него, электрической напряженности внутри отрезка, и симметричности, относительно него самого и независимости от удаления, создаваемого им самим поля.
Резюме.
Конечный результат Вашего длительного решения в точности совпал с данным мной при решении первого варианта задачи.
Все это было предсказано наглядными физическими построениями ("пальцевая физика") в 5 строк.
В чем "прелесть" вашей методы???

[Шимпанзе]

Но все же вопрос. Есть заряженный тонкий стержень длиной L , суммарный заряд - Q , энергия стержня - W . Можно ли оценить возможные варианты (или ограничения) распределения линейной плотности заряда по длине стержня? Варианты же вроде не бесконечны. Обращаю внимание – интерес представляет не минимальное или максимальное расстояние между шарами, а именно распределение по длине стержня линейной плотности заряда при известных интегральных данных.


Шимпанзе