Dolopihtis писал(а):
К сожалению, я не совсем понял детали Ваших вычислений (Интегрирование по частям и дальнейшие преобразования), но мне кажется , что если допустить возможность появления дельта- особенностей в распределении заряда,типа коллапса на стенки, то мы по сути возвращаемся к исходной задаче о распределении дискретных зарядов, т.е. становится возможным например решение в виде двух зарядов на стенках и одного точно посередине.
Я постарался учесть то что Вы сказали
У т в е р ж д е н и е:
При рассмотрении одномерной сжимаемой заряженной жидкости на отрезке
![$[-a,a]$ $[-a,a]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/0/6/30624ef681fdb64f6180fce8d9c935f182.png)
наступает коллапс на стенки

.
Обоснование:
Рассмотрим одномерную заряженную жидкость с плотностью заряда

на

. Для общности, будем также считать, что на краях отрезка сосредоточены конечные положительные заряды

и

. Рассмотрим бесконечно малый участок такой жидкости в точке

c зарядом

. На него действуют силы, модули которых обозначим через

и
Элементарный анализ показывает, что интегралы расходятся.
Чтобы регуляризовать интегралы введем обрезание (

). Имеем
С точки зрения физики

дает силу, действующую на элемент жидкости. А обрезание можно интерпретировать как устранение самодействия элемента жидкости самого на себя. Поэтому "перенормированные" силы равны

. Вычислим

интегрированием по частям
для

аналогично получаем
На динамику жидкости влияет только разность этих сил

, которая принимает вид
При любых

и

разность конечна. Теперь рассмотрим предел

. Получаем асимптотику

. Её можно интерпретировать так:
при

сила действующая на элемент жидкости направлена против оси

, а при

наоборот Таким образом, жидкость будет течь в область с меньшей плотностью. Причем это вне зависимости от того какие заряды сосредоточены на стенках. Это, кстати гговоря, указывает на невозможность коллапса заряженной жидкости при

! Кроме того, состояние равновесия может быть достигнуто только если

(необходимое условие). Это условие удовлетворяется для

. Получаем
Ни при каких

это выражение не обращается в ноль. Поэтому

не может являться состоянием равновесия. Следовательно нужно положить

. Таким образом, на интервале

в равновесии плотность

и, следовательно, при движении одномерной заряженной жидкости к положению равновесия наступает коллапс на стенки.
З а м е ч а н и е:
Из решения также следует невозможность схлопывания жидкости в точечные заряды на интервале

.