интегрируемость функции

[Spook]

AD писал(а):

Не верю

А поверите, если я дам ссылку на учебник допущенный министерством образования, где это сказано? Если опять не поверите, то будем разбираться Кстати, интеграл не лебеговский, и не обобщенный.

AD,ewert. Уточню на вскяий случай. Изометричность - это же эквивалентность норм?

[ewert]

Spook в сообщении #221297 писал(а):

Изометричность - это же эквивалентность норм?

Нет. Изометричность -- это точное равенство нормы на входе оператора норме на его выходе.

А эквивалентность норм -- понятие, да, родственное (с точки зрения топологии), но всё же другое.

[AD]

Spook в сообщении #221297 писал(а):

А поверите, если я дам ссылку на учебник допущенный министерством образования, где это сказано?

Нет, не поверю. Так что давайте

Spook в сообщении #221297 писал(а):

Изометричность - это же эквивалентность норм?

См. равенство Планшереля.

-- Чт июн 11, 2009 00:33:36 --

Ну вот функция.

AD в сообщении #221288 писал(а):

$f(x)=\frac1{x^2}\sin^2 x$.

Имеем $|f(x)|\le\frac1{x^2}$, и к тому же $f$ ограничена в окрестности нуля. Поэтому $f\in L^1$. Далее, из $|e^{izx}f(x)|=|f(x)|$ следует, что $\|e^{izx}f(x)\|_1=\|f\|_1$, в частности, произведение всегда интегрируемо по Лебегу (и даже абсолютно интегрируемо по Риману), и преобразование Фурье всюду существует.

[Spook]

Все это очень странно и даже выглядит правдоподобно. Мое утверждение приводится в учебнике Сергиенко "Цифровая обработка сигналов", 2007г. На стр.41 говориться, что абсолютной интегрируемости не достаточно и требуется еще выполнение условий Дирихле, который состоят из трех условий: не должно быть разрывов второго рода, число разрывов первого рода должно быть конечно и число экстремумов должно быть конечно.

-- Чт июн 11, 2009 00:46:32 --

Кстати сказать, Вы учли, что пределы в формуле $(-\infty,+\infty)$? По-моему, интеграл не сходится при $x\in[0;1]$.

[AD]

Spook в сообщении #221303 писал(а):

По-моему, интеграл не сходится при $x\in[0;1]$.

AD в сообщении #221301 писал(а):

$f$ ограничена в окрестности нуля

$\sin x\sim x$. Но даже если бы я тут ошибся - всегда можно домножить на индикатор $(1,+\infty)$.

-- Чт июн 11, 2009 00:52:50 --

Подозреваю, что речь идет о достаточных условиях существования обратного преобразования. Там какая-то размазанная формулировка (условия "применимости" преобразования Фурье).

Вообще, никогда не учите математику по таким книжкам!

[ewert]

Spook в сообщении #221303 писал(а):

На стр.41 говориться, что абсолютной интегрируемости не достаточно и требуется еще выполнение условий Дирихле, который состоят из трех условий: не должно быть разрывов второго рода, число разрывов первого рода должно быть конечно и число экстремумов должно быть конечно.

Ну уж конечность числа экстремумов -- откровенно не по делу и уж во всяком случае необходимым ни для чего быть не может. Что вызывает естественные вопросы по поводу тов. Сергиенки: а чего он, собственно, хочет-то?... сходимости в среднем?... или поточечной?... или равномерной?... или вообще хоть чего-то?...

И закрадывается страшное подозрение: не исключено, что т. Сергиенко попросту перепутал конечность к-ва экстремумов с ограниченностью вариации.

[Spook]

AD, не зря мы начали разбираться, и то утверждение у меня не верно . Но его легко исправить, да и конструкция функций у нас разная. У меня бесконечное число экстремумов на конечном промежутке, а у вас конечное число на любом конечном промежутке. А в учебнике была речь (правда это гораздо раньше говорилось) именно о конечных периодах.

-- Чт июн 11, 2009 01:06:40 --

Или это не существенно?

[inf76]

Spook в сообщении #221282 писал(а):

inf76 писал(а):

если рассмотреть вышеуказанный интеграл на конечном интервале $[0, \frac{2}{\pi}]$, то имеется всего один разрыв и интегрируемость по Риману «имеет место». Но как это сделать?

MathLab выдал следующее

MathLab писал(а):

Warning: Explicit integral could not be found.

Но интеграл существует или я ошибаюсь?

[ewert]

Существует, конечно. Независимо от доопределения функции в нуле.

[AD]

Spook в сообщении #221307 писал(а):

Или это не существенно?

Совершенно несущественно.

Вот ewert правдоподобную гипотезу выдвинул:

ewert в сообщении #221305 писал(а):

не исключено, что т. Сергиенко попросту перепутал конечность к-ва экстремумов с ограниченностью вариации.

Ну или не перепутал, а просто заменил "для простоты". Раз уж речь о рядах пошла, то можно и признак Дирихле--Жордана помянуть.

Но это всё не важно, так как в любом случае определено преобразование Фурье (да и ряд Фурье тоже) для всех интегрируемых на прямой (соответственно, на периоде) функций, а ответ на вопрос

ewert в сообщении #221305 писал(а):

чего он, собственно, хочет-то

видимо, история умалчивает.

[inf76]

ewert в сообщении #221311 писал(а):

Существует, конечно. Независимо от доопределения функции в нуле.

А как его посчитать?

[Spook]

ewert, все-таки Сергиенко по-своему прав, он же указал, что это для фрагмента сигнала длительностью в один период. То есть он подразумевает, что период конечный. А у AD периода просто нет (то есть он бесконечный).

[AD]

Spook в сообщении #221314 писал(а):

он же указал, что это для фрагмента сигнала длительностью в один период

Но так и это неверно!

Spook в сообщении #221314 писал(а):

А у AD периода просто нет (то есть он бесконечный).

Что вы там про меня сплетничаете? А вот не скажу, есть у меня период, или нету

-- Чт июн 11, 2009 01:29:26 --

То есть давайте еще раз подробно перескажу наши версии. Преобразование Фурье существует у любой интегрируемой функции. Но это не гарантирует возможность обратного преобразования. Вот видимо имелось в виду, что эти условия "достаточны, чтобы вернуться", и не более того.

-- Чт июн 11, 2009 01:31:15 --

Spook в сообщении #221314 писал(а):

периода просто нет (то есть он бесконечный).

Еще раз: Вы не путайте ряды и преобразования, ладно? Преобразование Фурье от периодической функции (в классическом смысле; с обобщенными функциями интереснее) определено тогда и только тогда, когда она есть нуль почти всюду.

[ewert]

inf76 в сообщении #221313 писал(а):

А как его посчитать?

Численно. Откуда вообще такая мысль, что все интегралы обязаны считаться именно явно?...

Spook в сообщении #221314 писал(а):

То есть он подразумевает, что период конечный. А у AD периода просто нет (то есть он бесконечный).

Я совершенно не понимаю, кто что подразумевает и об чём ваще речь. Конечный период -- это для рядов Фурье, до предельного перехода. Бесконечных периодов -- нет просто как класса. Это лишь жаргон, и притом довольно неудачный, и притом принадлежит, между прочим, вовсе не AD'у.

[Spook]

AD писал(а):

Но так и это неверно!

У меня тут еще Колмогоров есть, правда там интегралы в смысле Лебега, но необходимых условий все равно нет (касательно экстремумов и разрывов).

AD писал(а):

Что вы там про меня сплетничаете? А вот не скажу, есть у меня период, или нету

Я подумал и соглашусь, что конечность периода здесь действительно не имеет значения.
Хотя с ОПФ как быть пока не знаю, сначала бы похожие необходимые условия найти.

AD писал(а):

Преобразование Фурье существует у любой интегрируемой функции. Но это не гарантирует возможность обратного преобразования. Вот видимо имелось в виду, что эти условия "достаточны, чтобы вернуться", и не более того.

Скорее всего так. Получается, ПФ у моей функции в обычном смысле не существует? А в смысле Лебега и в обобщенном смысле существует? А с ОПФ как быть?

AD писал(а):

Еще раз: Вы не путайте ряды и преобразования, ладно? Преобразование Фурье от периодической функции (в классическом смысле; с обобщенными функциями интереснее) определено тогда и только тогда, когда она есть нуль почти всюду.

Ну с этим я вроде как разобрался, правда только в классическом смысле.

-- Чт июн 11, 2009 01:57:09 --

ewert писал(а):

и притом принадлежит, между прочим, вовсе не AD'у.

Так я и не говорил, что это AD начал так говорить. Я первый так написал, чтобы их разделить. Кстати, а почему неудачный термин? Мне кажется, наоборот, это как бы подчеркивает нулевую частоту.