интегрируемость функции

[Spook]

Есть функция

$$\sin(\frac1x)$$

, доопределенная в нуле 1. Проверяю ее интегрируемость на $[0,\infty)$. По Риману она не интегрируема в силу наличия бесконечного количества экстремумов. Чтобы доказать, что она интегрируема по Лебегу (принадлежит ли $L_1,L_2$ и т.д.), нужно доказать, что она аппроксимируется простейшими. Но любая функция с конечным числом разрывов аппроксимируется простейшими функциями. Следовательно, исходная функция, непрерывная на $(0,\infty)$ и имеющая бесконечное число экстремумов интегрируема по Лебегу. Верные рассуждения?

[ИСН]

(Ушёл напряжённо думать, что плохого в бесконечном количестве экстремумов.)

[terminator-II]

Spook в сообщении #221212 писал(а):

По Риману она не интегрируема

это очевидно

Spook в сообщении #221212 писал(а):

в силу наличия бесконечного количества экстремумов

чепуха

Spook в сообщении #221212 писал(а):

Чтобы доказать, что она интегрируема по Лебегу (принадлежит ли $L_1,L_2$ и т.д.), нужно доказать, что она аппроксимируется простейшими

не нужно

Spook в сообщении #221212 писал(а):

интегрируема по Лебегу

она не интегрируема по Лебегу

[AD]

terminator-II в сообщении #221239 писал(а):

не нужно

Просто не достаточно. А так, в некоторых конструкциях, нужно. Но еще нужно понимать, что аппроксимация бывает разной. Вообще,

$$\boxed{\text{Бывают разные виды сходимости.}}$$

Spook в сообщении #221212 писал(а):

... на $[0,\infty)$. По Риману она не интегрируема ...

Как определяется интеграл римана на бесконечных промежутках? Речь идет о несобственном интеграле, что-ли?

[terminator-II]

AD в сообщении #221245 писал(а):

Просто не достаточно.

просто не нужно. потому, что измеримость непр. функции доказана в теор. части курса, а для данной задачи нужно понимать, что $\sin 1/x\sim 1/x\quad x\to\infty$ и потому интеграл расходится

AD в сообщении #221245 писал(а):

А так, в некоторых конструкциях, нужно. Но еще нужно понимать, что аппроксимация бывает разной. Вообще,

$$\boxed{\text{Бывают разные виды сходимости.}}$$

и на какой по счету пересдаче функана Вы это поняли?

AKM:

[Spook]

Я понял, что не совсем понимаю задачу (или она неверно сформулирована), нужно уточнить . Получается, что эта функция не принадлежит ни $L_1$, ни $L_2$.

P.S.terminator-II, на сколько я помню, есть такое условие: функция интегрируема на А, если существует последовательность простых интегрируемых на А функций, сходящаяся равномерно к проверяемой.
AD, да, несобственном.

[terminator-II]

Spook в сообщении #221259 писал(а):

Я понял, что не совсем понимаю задачу (или она неверно сформулирована), нужно уточнить . Получается, что эта функция не принадлежит ни $L_1$, ни $L_2$.

она принадлежит $L^2(0,\infty)$

Spook в сообщении #221259 писал(а):

P.S.terminator-II, на сколько я помню, есть такое условие: функция интегрируема на А, если если существует последовательность простых интегрируемых на А функций, сходящаяся равномерно к проверяемой.

я Вам уже написал решение, а Вы его не увидели

[Spook]

terminator-II писал(а):

она принадлежит $L^2(0,\infty)$

Я тоже сейчас это сообразил, потому что $1/x^2$ сходится при $x\to\infty$

terminator-II писал(а):

я Вам уже написал решение, а Вы его не увидели

Да, спасибо, увидел. Исходная задача была неверно сформулирована, но все равно я там ошибся, забыв, что верхний предел интегрирования - бесконечность. Уточнил формулировку, требуется определить существуют ли преобразования Фурье (спектры) у этой функции, если понимать интеграл как несобственный, в смысле лебега, в обобщенном смысле.

[terminator-II]

Spook в сообщении #221267 писал(а):

Уточнил формулировку, требуется определить существуют ли преобразования Фурье (спектры) у этой функции, если понимать интеграл как несобственный, в смысле лебега, в обобщенном смысле.

преобразование Фурье является изометрией (с точностью до мультипликативной константы) $L^2(\mathbb{R})$

[Spook]

terminator-II писал(а):

преобразование Фурье является изометрией (с точностью до мультипликативной константы) $L^2(\mathbb{R})$

Таким образом, ответ для всех трех вопросов: нет? В силу того, что функция $f(t)=\sin(\frac1t)$ не абсолютно интегрируема на $\mathbb{R}$? Преобразование Фурье: $g(\lambda)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\lambda t}dt$.

[terminator-II]

ответ для последних двух вопросов "да"

[inf76]

ИСН в сообщении #221236 писал(а):

(Ушёл напряжённо думать, что плохого в бесконечном количестве экстремумов.)

Мне в этом слышится отголосок того, что несобственный интеграл от $sinx$ в интервале $[0,\infty)$ не существует.

terminator-II в сообщении #221253 писал(а):

…измеримость непр. функции доказана в теор. части курса, а для данной задачи нужно понимать, что $\sin 1/x\sim 1/x\quad x\to\infty$ и потому интеграл расходится

Отсюда мне стало ясно, что несобственный интеграл расходится.

Но появился вопрос: если рассмотреть вышеуказанный интеграл на конечном интервале $[0, \frac{2}{\pi}]$, то имеется всего один разрыв и интегрируемость по Риману «имеет место». Но как это сделать?

[Spook]

ИСН в сообщении #221236 писал(а):

(Ушёл напряжённо думать, что плохого в бесконечном количестве экстремумов.)

ИСН, попробую сэкономить Вам время. Если понимать интеграл как обычный несобственный, то наличие бесконечного числа экстремумов является достаточным условием несуществования преобразования Фурье.

-- Ср июн 10, 2009 23:46:01 --

Поэтому ответ на первый вопрос - нет.

-- Чт июн 11, 2009 00:00:24 --

inf76 писал(а):

если рассмотреть вышеуказанный интеграл на конечном интервале $[0, \frac{2}{\pi}]$, то имеется всего один разрыв и интегрируемость по Риману «имеет место». Но как это сделать?

MathLab выдал следующее

MathLab писал(а):

Warning: Explicit integral could not be found.

terminator-II писал(а):

ответ для последних двух вопросов "да"

Как я понял ответ на третий вопрос следует из второго, если второй "да". А можно сслыку на тот факт, что ПФ - это изометрия $L^2[\mathbb{R}]$?

[AD]

Spook в сообщении #221282 писал(а):

Если понимать интеграл как обычный несобственный, то наличие бесконечного числа экстремумов является достаточным условием несуществования преобразования Фурье.

Не верю, так как у любой функции из $L^1$ преобразование Фурье есть. В частности, у $f(x)=\frac1{x^2}\sin^2 x$.

-- Чт июн 11, 2009 00:06:52 --

Spook в сообщении #221282 писал(а):

А можно сслыку на тот факт, что ПФ - это изометрия $L^2[\mathbb{R}]$?

В Хелемском есть точно.

[ewert]

Spook в сообщении #221282 писал(а):

. А можно сслыку на тот факт, что ПФ - это изометрия $L^2[\mathbb{R}]$?

Это как минимум фольклор. Само преобразование Фурье традиционно принято выводить как предельный переход от рядов Фурье. Параллельно с этим переходом автоматически получается и предельный переход от равенства Парсеваля для рядов к изометричности для преобразования Фурье. Формально эта изометричность получается для некоего узкого класса функций, но по непрерывности автоматически распространяется на всё Эль-два.
(На котором, между прочим, изначально-то преобразование Фурье вовсе и не определено, но вот доопределяется, и именно по изометричности.)