Дискретное пространство и время

[VladTK]

zahary писал(а):

Насколько я помню, уравнение Шредингера определяется видом функции потенциальной энергии...

Лучше сказать, что уравнение Шредингера

$$ i \hbar \frac{\partial \psi} {\partial t}=\hat H \psi $$

определяется гамильтонианом физической системы.

[zahary]

По поводу уравнения Шредингера.

Если пространство НЕПРЕРЫВНО, мы можем разбить отрезок прямой линии на сколь угодно малые (бесконечно малые) отрезки.

Допустим, внутри каждого бесконечно малого отрезка потенциальная энергия постоянна.
Допустим, значения потенциальной энергии двух СОСЕДНИХ бесконечно малых отрезков не зависят друг от друга.

То есть, в точке перехода от одного бесконечно малого отрезка к другому потенциальная энергия меняется скачком.
График функции потенциальной энергии - ХАОТИЧЕСКАЯ последовательность БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ступенек.

Безусловно, такая функция - не аналитическая.

Что мешает нам решить уравнение Шредингера для такой функции потенциальной энергии?
То, что ступеньки - бесконечно малые?
Но в НЕПРЕРЫВНОМ пространстве мы можем разбить бесконечно малый отрезок на бесконечно малые БОЛЕЕ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА - то есть, применить дифференциальные методы.

[Xaositect]

zahary в сообщении #220678 писал(а):

Если пространство НЕПРЕРЫВНО, мы можем разбить отрезок прямой линии на сколь угодно малые отрезки

Да.

zahary в сообщении #220678 писал(а):

(бесконечно малые)

Нет.

zahary в сообщении #220678 писал(а):

Но в НЕПРЕРЫВНОМ пространстве мы можем разбить бесконечно малый отрезок на бесконечно малые БОЛЕЕ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА - то есть, применить дифференциальные методы.

Вы не понимаете значения понятия "бесконечно малая величина".

[zahary]

Xaositect в сообщении #220685 писал(а):

Вы не понимаете значения понятия "бесконечно малая величина".

Согласен.
Но мне кажется, что по-настоящему этого никто не понимает

Более того, мне кажется, что это невозможно и не нужно понимать.

Вместо слов "бесконечно малые" поставьте слова "сколь угодно малые".
Допустим, мы разделили отрезок в один миллиметр на десять в миллионной степени отрезков.

[Xaositect]

Тогда мы не можем сказать, что на каждом из них функция постоянна.

-- Пн июн 08, 2009 15:49:12 --

И насчет бесконечно малой величины --- бесконечно малые величины не бывают "сами по себе", они являются предельным случаем обычных, просто малых величин. Бесконечно малая величина - это последовательность убывающих конечных.

[zahary]

Xaositect в сообщении #220699 писал(а):

Тогда мы не можем сказать, что на каждом из них функция постоянна.

Вы не совсем поняли мою мысль.

Я НЕ утверждал, что функция постоянна, ПОТОМУ ЧТО отрезок БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЙ.
Я просто предположил, что функция имеет такую форму - постоянна на каждом из этих СКОЛЬ УГОДНО малых отрезков.

Что мешает нам допустить существование такой функции?

[Xaositect]

zahary в сообщении #220702 писал(а):

Я НЕ утверждал, что функция постоянна, ПОТОМУ ЧТО отрезок БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЙ.
Я просто предположил, что функция имеет такую форму - постоянна на каждом из этих СКОЛЬ УГОДНО малых отрезков.

Что мешает нам допустить существование такой функции?

Ничего.
А теперь стоит подумать, какой системой частиц будет порождаться поле, в котором будет такая потенциальная энергия.

[zahary]

Xaositect в сообщении #220705 писал(а):

А теперь стоит подумать, какой системой частиц будет порождаться поле, в котором будет такая потенциальная энергия.

Это действительно сложный, интересный вопрос.

Насколько я помню, квантовая механика не накладывает ограничений на КОЛИЧЕСТВО частиц в определенном объёме.
Точнее, не накладывает ограничений НИ на количество частиц, НИ на вероятность их нахождения в данном объеме.

Если бы такие ограничения были - функция потенциальной энергии действительно должна была быть аналитической.

Но если таких ограничений нет - потенциальная энергия может зависеть от координаты как угодно.

Вот если бы пространство было ДИСКРЕТНЫМ - такие ограничения естественно вытекали бы из свойств пространства

[Xaositect]

Тут моих поверхностных знаний уже не хватает, пусть специалисты судят.
Хотелось бы знать, насколько разумные вещи я тут говорил.

[Assis]

Здравствуйте !
Не решился создать новую тему. Думаю мои вопросы будут уместны здесь...

Недавно посмотрел фильм "Геометрия пространства", после которого у меня возникло множество вопросов, для ответов на которе я, к сожалению, не обладая упорядоченными знаниями.
Все началось с того, что я хотел найти определения фракталы и пошло поехало...

Сейчас меня интересует вопрос относительно пространства. Мы живем в евклидовом пространстве, т.е. в пространстве, описывемом "обычной" Евклидовой геометрий. Но в литературе встречал наличие некоторых других пространств. Читаю определение пространства Минковского и не могу понять

[zahary]

Если в СКОЛЬ УГОДНО МАЛОМ объеме может находиться СКОЛЬ УГОДНО МНОГО частиц, то функция потенциальной энергии может НЕ быть аналитической -
соответственно, волновая функция каждой частицы может НЕ быть аналитической -
в общем, распределение материи в пространстве (вероятностное) в общем случае - не аналитическое.

Как бы мы ни выкручивались, всё упирается в существование СКОЛЬ УГОДНО МАЛЫХ отрезков, которые мы в принципе не способны наблюдать, и в которых может происходить что угодно;
хотя мы предполагаем, что все эти отрезки согласованы друг с другом (описываются аналитическими функциями) - предполагаем без указания причин.

Поэтому я в СКОЛЬ УГОДНО МАЛЫЕ отрезки не верю.

-- Вт июн 09, 2009 13:14:30 --

Xaositect в сообщении #220726 писал(а):

Тут моих поверхностных знаний уже не хватает, пусть специалисты судят.
Хотелось бы знать, насколько разумные вещи я тут говорил.

Ну, я не большой специалист

Но мне нравится с Вами общаться: как правило, Вы высказываете достаточно глубокие и разумные мысли

-- Вт июн 09, 2009 13:24:02 --

Assis в сообщении #220766 писал(а):

Здравствуйте !
Не решился создать новую тему.

Откуда такая нерешительность?
Здесь создаются и гораздо менее серьёзные темы.

Assis в сообщении #220766 писал(а):

Сейчас меня интересует вопрос относительно пространства. Мы живем в евклидовом пространстве, т.е. в пространстве, описывемом "обычной" Евклидовой геометрий. Но в литературе встречал наличие некоторых других пространств. Читаю определение пространства Минковского и не могу понять

Ну, насколько я помню ОТО (Общую теорию относительности), живём мы в неевклидовом (искривленном) четырехмерном пространстве-времени.
Во как

Если для Вас "понять" - значит "наглядно представить", то я Вам не завидую
Там скорее чистая алгебра, чем наглядные картинки.

Хотя авторы хороших учебников всегда максимально используют наглядные представления.
Ищите хороший учебник.

[zahary]

Сделаю одно лирическое отступление.

Насколько понятия математики непрерывных величин заумнее понятий дискретной математики...

Например, что такое длина отрезка?
Ясно, что это количество чего-то. Но чего?

Количество отрезков одинаковой длины?
Тогда в определении понятия "длина" участвует понятие "длина" - то есть, никакого определения нет.

Для дискретной математики всё просто: длина - это количество точек.
КОНЕЧНОЕ количество точек в отрезке последовательности, ради удобства умноженное на постоянную величину.

А многомерные непрерывные последовательности - это уже предельная заумь.
Там появляется понятие "угол".

Угол - это количество ЧЕГО?
Количество прямых линий, пересекающихся в одной точке?

Конечно, я понимаю, что всё это можно математически корректно сформулировать.
Но, тем не менее, я не понимаю ни полслова во всей этой абракадабре.

Мне кажется, что такие понятия, как "угол", нуждаются в более корректном определении - по крайней мере, в физике.

Единственное, что можно сказать определённо: угол - это нечто повторяющееся (периодическое).
По всей видимости, это вторичное понятие, отражающее повторяемость в неких первичных процессах.

[Xaositect]

zahary в сообщении #220916 писал(а):

Ну, я не большой специалист

Но мне нравится с Вами общаться: как правило, Вы высказываете достаточно глубокие и разумные мысли

Я математик. Дискретчик. И я понимаю, что мысли, которые я тут высказываю, вряд ли относятся к физике - они непроверяемы в эксперименте.

zahary в сообщении #221130 писал(а):

Насколько понятия математики непрерывных величин заумнее понятий дискретной математики...

Вы плохо представляете себе дискретную математику

zahary в сообщении #221130 писал(а):

Например, что такое длина отрезка?
Ясно, что это количество чего-то. Но чего?

Очень нестрого:
Длина - это количество эталонных отрезков, умещающихся в данном. Скажем, 3.5м - это 3 эталона метра и еще одна его половинка.

zahary в сообщении #221130 писал(а):

Для дискретной математики всё просто: длина - это количество точек.
КОНЕЧНОЕ количество точек в отрезке последовательности, ради удобства умноженное на постоянную величину.

А что такое "количество", "конечное количество"? И так ли уж это понятие проще понятия "длина"?

zahary в сообщении #221130 писал(а):

Угол - это количество ЧЕГО?
Количество прямых линий, пересекающихся в одной точке?

Если уж лезем в определения, то угол - это геометрическая фигура.
А мера угла - это длина дуги, высекаемой этим углом на окружности с центром в вершине угла, измеренная в радиусах этой окружности. Как в этом знчке: $\measuredangle$

zahary в сообщении #221130 писал(а):

Конечно, я понимаю, что всё это можно математически корректно сформулировать.
Но, тем не менее, я не понимаю ни полслова во всей этой абракадабре.

Еще раз говорю, Вы не пробовали читать серьезных книг по дискретной математике, у Вас о ней идеализированное представление. Серьезная теория чисел (целых) - это зубодробительная вещь. А упрощенно можно объяснить и непрерывные вещи.

zahary в сообщении #221130 писал(а):

Единственное, что можно сказать определённо: угол - это нечто повторяющееся (периодическое).

Этого вообще не понял.

[zahary]

Попробую отвечать по порядку.

Xaositect в сообщении #221157 писал(а):

Еще раз говорю, Вы не пробовали читать серьезных книг по дискретной математике, у Вас о ней идеализированное представление. Серьезная теория чисел (целых) - это зубодробительная вещь. А упрощенно можно объяснить и непрерывные вещи.

Да ведь я говорю не о ТЕОРИИ целых чисел, а об ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЯХ этой теории -
о том, насколько они проще ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ непрерывной математики.

Xaositect в сообщении #221157 писал(а):

А что такое "количество", "конечное количество"? И так ли уж это понятие проще понятия "длина"?

Ну вы даёте!

Сравните два утверждения:

1. У Миши было десять яблок.

2. У Миши был непрерывный отрезок яблок длиной 9,(9) яблочных метров.


Какое из них понятнее?

[Xaositect]

zahary в сообщении #221162 писал(а):

2. У Миши был непрерывный отрезок яблок длиной 9,(9) яблочных метров.

Так не бывает. Это не непонятное, а абсурдное утверждение.
Кстати, есть ровно два корректных взгляда на 9.(9) - либо такая запись некорректна, либо это то же самое, что 10.

А вот если
У Миши было $1.3450\cdot 10^{23}$ молекул воды.
У Миши было $1.250$ литра воды.
То я бы не сказал, что проще, а что сложнее.