Кольца - задачи

[Cave]

Я в своем первом посте описался немного и, видимо, сбил с толку: можно взять $\|a + b\sqrt{2}\| = |a^2 - 2b^2|$, тогда должно получиться.

[steph]

что должно получиться????
скажите , пожалуйста , что именно делать надо дальше?

[Cave]

Евклидовость нормы должна получиться.
Проверять по определению. Достаточно показать, что для $x,y\in R, y\ne 0$ хотя бы одно из чисел $\|x - y\|, \|x + y\|, \|x - y\sqrt{2}\|, \|x + y\sqrt{2}\|$ меньше $\|x\|$, тогда делить с остатком будет можно. Правда, с ходу не вижу, верно ли это.

[steph]

$\|x - y\|=(x^{2}-y^{2})$, тут зависит от $y$- не подходит
$\|x + y\|=(x^{2}+y^{2}+2\cdot x \cdot y)$ - только если $y=-x$
$\|x - y\sqrt{2}\|$- зависит от $y$
$ \|x + y\sqrt{2}\|$-всегда больше $\|x\|$
В общем однозначно сказать нельзя----> оно не эвклидово.

[Бодигрим]

Нет, в сообщении Cave $x$ и $y$ - уже сами по себе элементы кольца $\mathbb{Z}[\sqrt2]$, а не просто числа из $\mathbb{Z}$. Так что ваши вычисления норм неверны.

steph в сообщении #219903 писал(а):

В общем однозначно сказать нельзя----> оно не эвклидово.

Еще раз: то, что вы не можете доказать евклидовость, еще не дает вам право утверждать, что ее нет. Вам надо либо привести норму (вам тут предложили несколько наиболее вероятных норм), относительно которой это кольцо будет евклидовым, и доказать это, либо показать, что для любой нормы это кольцо не будет евклидовым.

[steph]

Цитата:

Еще раз: то, что вы не можете доказать евклидовость, еще не дает вам право утверждать, что ее нет. Вам надо либо привести норму (вам тут предложили несколько наиболее вероятных норм), относительно которой это кольцо будет евклидовым, и доказать это, либо показать, что для любой нормы это кольцо не будет евклидовым.

Но ведь в принципе можно показать , что оно не факториально и, следовательно , не евклидно.

Разделим с остатком $a$ на $b$, в кольце $Z$.
Получили $a=br+q$
Домножим на $(c+d \cdot \sqrt{2})$ обе части равенства.
получили $a\cdot (c+d \cdot \sqrt{2}) =br \cdot (c+d \cdot \sqrt{2}) +q \cdot (c+d \cdot \sqrt{2})$ .
Предположим , что $r=(c_{1}+d_{1} \cdot \sqrt{2}), q=(c_{2}+d_{2} \cdot sqrt{2})$.
Тк $ \exists, c_{1} ,c_{2},d_{1},d_{2}$ , НОД $(q,r) \ne 1$, тогда оно не евклидово

[Бодигрим]

Если вы делите в кольце целых чисел, то $r,q\in\mathbb{Z}$. Тогда с какого перепугу вы позволяете предполагать, что $r=(c_{1}+d_{1} \cdot \sqrt{2}), q=(c_{2}+d_{2} \cdot sqrt{2})$? Здесь у вас $c_1,d_1,c_2,d_2$ - это целые числа?

[steph]

я описался , делю в кольце $Z \sqrt{2}$.
$c_1,d_1,c_2,d_2$-любые.

[Бодигрим]

Предположим. И чем отсутствие взаимной простоты $q$ и $r$ мешает кольцу быть евклидовым? Вот мы взяли $a=30$, разделили с остатком на $b=12$. Получили $r=2$, $q=6$, $\text{НОД}(r,q)=2$. И что с того?

steph, признаться честно, я запутался в ваших сообщениях. Давайте вы попробуете начать с чистого листа: сформулируете еще раз все определения, сформулируете, что вы собираетесь доказывать, и попробуете доказать, не скупясь на объяснения.

[steph]

Хорошо.
Определить , являются ли кольца $Z\sqrt{2},Z\sqrt{-6}$ ,факториальными , кольцами главных идеалов , эвклидовыми.

Представление элемента $a$ ввиде произведения простыхэлементов $a = p_{1} p_{2} ...p_{n}$
где $n >=1$ с условием,что в каждом таком представлении элемента $a$ число $n$ ограничено сверху натуральным числом,зависящим только от кольца $K$ и элемента $a$,называется факторизацией элемента $a$.
Если в кольце с факторизаций каждый регулярный элемент обладает однозначной факторизацией, то оно называется факториальным кольцом.

Область целостности $N$ называется евклидовым кольцом, если на множестве $N \cup\{0\}$ определена функция $e$ со значениями в множестве $N \cup\{0\}$. так,что выполняются следующие аксиомы:
1.если $a,b$,то $e(a) >= e(b)$;
2.для любых $a$ и $b=0 $существуют $q$ и $r$ из $E$ такие,что $a = bq+r$,где либо
$r =0$,либо $e(r) <e(b)$.

При этом если кольцо эвклидово , то оно и главных идеалов и факториально . И наоборот, если не факторриально , то не эвклидово.
Кольца $Z\sqrt{2},Z\sqrt{-6}$ , не эвклидовы , тк не факториальны.
Тк $(6-\sqrt{-6})(6+\sqrt{-6})=(6-i \sqrt{6})(6+i \sqrt{6})=42=21*2=3*7*2$
$(6-\sqrt{2})(6+\sqrt{2})=42=34=2*17$

[VAL]

steph в сообщении #220372 писал(а):

Хорошо.

Бег по кругу продолжается!
Что ж, попробую и я сделать еще один виток.

Цитата:

Определить , являются ли кольца $Z\sqrt{2},Z\sqrt{-6}$ ,факториальными , кольцами главных идеалов , эвклидовыми.

Представление элемента $a$ в виде произведения простых элементов $a = p_{1} p_{2} ...p_{n}$
где $n >=1$ с условием,что в каждом таком представлении элемента $a$ число $n$ ограничено сверху натуральным числом,зависящим только от кольца $K$ и элемента $a$,называется факторизацией элемента $a$.
Если в кольце с факторизаций каждый регулярный элемент обладает однозначной факторизацией, то оно называется факториальным кольцом.

Ладно, допустим.
Хотя, насколько я помню, факториальное кольцо обязано быть областью целостности. Кроме того, по-хорошему, надо бы определить: с какой точностью понимается однозначность (до порядка сомножителей и их ассоциированности); что такое простой элемент (тут есть нюансы: если кольцо - не ОГИ, то понятия "простой" и "неприводимый" не равносильны); что такое регулярный элемент.

Цитата:

Область целостности $N$ называется евклидовым кольцом, если на множестве $N \cup\{0\}$ определена функция $e$ со значениями в множестве $N \cup\{0\}$. так,что выполняются следующие аксиомы:
1.если $a,b$,то $e(a) >= e(b)$;

Странная, мягко говоря, аксиома!

Цитата:

2.для любых $a$ и $b=0 $существуют $q$ и $r$ из $E$ такие,что $a = bq+r$,где либо
$r =0$,либо $e(r) <e(b)$.

Деление на ноль - это сильно!

Цитата:

При этом если кольцо эвклидово , то оно и главных идеалов и факториально . И наоборот, если не факториально , то не эвклидово.

Это так.

Цитата:

Кольца $Z\sqrt{2},Z\sqrt{-6}$ , не эвклидовы , тк не факториальны.

Вам уже сообщили (несколько страниц назад), что $Z\sqrt{2},$ - евклидово (а, стало быть, и ОГИ и факториально). От Вас требуется лишь грамотно ввести евклидову норму и проверить аксиомы нормы.

Цитата:

Тк $(6-\sqrt{-6})(6+\sqrt{-6})=(6-i \sqrt{6})(6+i \sqrt{6})=42=21*2=3*7*2$

Подобный "контрпример" я уже комментировал. По такой логике и обычное кольцо целых чисел - не евклидово. Ведь и там $42=21 \cdot 2=3\cdot 7\cdot 2$. Повторяю (надеюсь, в последний раз): однозначным обязано быть разложение на простые, а не на произвольные множители!

Цитата:

$(6-\sqrt{2})(6+\sqrt{2})=42=34=2*17$

Равенство $42=34$, пожалуй оставлю без комментариев

[steph]

Вообщем и целом все эти определения из учебника : Методическое пособие "Факториальные кольца" , Мурзикова за 2002 год уральскгого пед института, и из учебника ван дер Вардена . Мне кажется они врят-ли пишут ахинею.
Теперь про $Z\sqrt{2}$ , вот здесь , написано про числа вида $a+b\sqrt{2}$ , и сказаны , что они не эвклидовы.http://www.math.ru/dic/24?n=25&page=2&o=0&o_by=title.
Вот взял норму $ |a^2 - 2b^2|$. Начинаю делать по определению

Цитата:

1.если $a,b$,то $e(a) >= e(b)$;
2.для любых $a$ и $b=0 $существуют $q$ и $r$ из $E$ такие,что $a = bq+r$,где либо
$r =0$,либо $e(r) <e(b)$.

1-$a+b\sqrt{2}=e$ ----> e(a)>=e(b)--- вполне возможно
2.$a+a\sqrt{2}=(b+b\sqrt{2})q+r$ - если $a=bq$ , то $r=0$
$e(r) <e(b)$-как тогда это доказать ?????????????????????????????????
$Z\sqrt{-6}$ -не эвклидово , а почему , как , откуда , на каком основании ,исходя их каких теорем, я так и не понял , даже вдумчиво перечитав по двадцатому разу все посты.

-- Вс июн 07, 2009 22:22:08 --

Цитата:

$(6-\sqrt{2})(6+\sqrt{2})=42=34=2*17$
Равенство $42=34$, пожалуй оставлю без комментариев

Ну да ,есть такое))))

[Бодигрим]

steph в сообщении #220477 писал(а):

Вообщем и целом все эти определения из учебника : Методическое пособие "Факториальные кольца" , Мурзикова за 2002 год уральскгого пед института, и из учебника ван дер Вардена . Мне кажется они врят-ли пишут ахинею.

Если там написано то, что процитировали вы, то там таки да пишут ахинею. Ваши аксиомы для евклидовой нормы, как выше уже отметил VAL, некорректны. Ну не может быть (для любой числовой функции), чтобы для любых $a$ и $b$ было $e(a)\ge e(b)$. Поменяйте местами $a$ и $b$ и придете к противоречию. Во второй приведенной вами аксиоме нет условия $b=0$ - это, наверное, опечатка. При $b=0$ она обращается в совершенную нелепицу: вы по сути утверждаете, что для любого $a\in E$ выполнено $e(a)\le e(0)$.

[steph]

Можете , пожалуйста , тогда написать правильное определение?

[Бодигрим]

steph в сообщении #220477 писал(а):

Теперь про $Z\sqrt{2}$ , вот здесь , написано про числа вида $a+b\sqrt{2}$ , и сказаны , что они не эвклидовы.http://www.math.ru/dic/24?n=25&page=2&o=0&o_by=title.

Неправда там написана - я неким абстрактным редакторам не верю. Вот последовательность "Square-free values of n for which the quadratic field Q[ Sqrt(n) ] is Euclidean". Там в отличие от вашей ссылки, хоть сноски на литературу приведены.