Как доказать что путь пересекает границу множества?

[ellipse]

Цитата:

как именно используется факт того, что один из концов непрерывной кривой принадлежит ВНУТРЕННОСТИ множества

Используется в том, что прообразы точек принадлежащих и не принадлежащих множеству $X$ не пусты т.е. содержат минимум по одной точке. Любое множество имеет границу, этим существование граничной точки обосновано.

[Виктор Викторов]

ellipse в сообщении #220234 писал(а):

Любое множество имеет границу, этим существование граничной точки обосновано.

В общих топологических пространствах граница множества может быть пуста. В Вашем случае представьте себе, что $X$ открыто и ещё у Вас есть не пересекающаяся с ним открытая окрестность точки $b$. И объединение этих открытых множеств и есть образ отрезка при отображении $f$. Где Ваша граничная точка $c$ в этом случае? Признать её существование, и почти всё доказано.

[ewert]

ellipse в сообщении #220234 писал(а):

Любое множество имеет границу, этим существование граничной точки обосновано.

Не совсем так. Одна из граничных точек -- это конец отрезка, и она, разумеется, не годится.

[terminator-II]

нюансы от докладчика, как я и думал, ускользнули.
что касается границ.
пусть $M\subset X$ -- подмножество топологического пространства.
опр. 1) максимальное открытое множество принадлежащее $M$ называется внутренностью $M$, обозначается ${\rm Int}\, M$.
2) границей $M$ называется множество $\partial M=\overline{M}\backslash {\rm Int}\, M$
в частности открытозамкнутые множества границы не имеют

[ewert]

Я вот постоянно путаюсь в терминологии: включать ли изолированные точки в число предельных или нет. Вроде и то, и другое встречается. Если включать, то всё просто: искомая точка границы -- это просто образ супремума прообраза (при условии, что левым концом отрезка считается прообраз внутренней точки).

[terminator-II]

ewert в сообщении #220268 писал(а):

включать ли изолированные точки в число предельных или нет

нет. точка $x\in M$ называется предельной точкой для $M$ если $x\in\overline{M\backslash\{x\}}$

[ewert]

Я знаю. Но тогда не проходит достаточно распространённое (и естественное) высказывание: "граничными являются предельные, но не внутренние точки".

[terminator-II]

рассуждение ellipse проходит, но нужно уточнение. ($X$ -- топологическое пространство, $M$ -- его подмножество)
пусть $f:[a,b]\to X$ -- непрерывная кривая, и $f(a)\in{\rm Int}\, M$.
возьмем точку $c=\sup\{u\mid [a,u)\subset f^{-1} ({\rm Int}\, M)\}$. точка $c$ может совпасть с точкой $b$ это не проблема. важно, что $f(b)\notin M$ и потому$f(c)\in \partial M$. (на самом деле достаточно потребовать $f(b)\notin {\rm Int}\, M$)
все это ясно. но для непустоты множества $\{u\mid [a,u)\subset f^{-1} ({\rm Int}\, M)\}$ и следовательно для существования точки $c$ и нужно условие $f(a)\in{\rm Int}\, M$.

[ewert]

terminator-II в сообщении #220280 писал(а):

все это ясно. но для непустоты множества $\{u\mid [a,u)\subset f^{-1} ({\rm Int}\, M)\}$ и следовательно для существования точки $c$ и нужно условие $f(a)\in{\rm Int}\, M$.

А оно изначально и было:

ellipse в сообщении #219968 писал(а):

Пусть $a$ - внутренняя точка и $b$ - внешняя точка множества $X \subset R^m$.

(тут, правда, путаница в обозначениях, но это неважно)

[terminator-II]

ewert в сообщении #220288 писал(а):

А оно изначально и было:

конечно, я просто обратил внимание на то, для чего это условие нужно, а вот предположение о "внешности" точки $b$ излишне

[ewert]

terminator-II в сообщении #220289 писал(а):

, а вот предположение о "внешности" точки $b$ излишне

Нужно, конечно. Если про правый конец ничего не сказать, то путь имеет право проходить просто по внутренности множества.

[terminator-II]

ewert в сообщении #220294 писал(а):

Нужно, конечно. Если про правый конец ничего не сказать, то путь имеет право проходить просто по внутренности множества.

что именно достаточно сказать про правый конец я написал выше

[Виктор Викторов]

terminator-II в сообщении #220266 писал(а):

в частности открытозамкнутые множества границы не имеют

Вот именно поэтому доказательство докладчика не проходит. Доказательство должно основываться на связности отрезка. Представьте себе, что вместо отрезка числовой прямой берём два непересекающихся отрезка и каждый из них отобразим в открытое множество один в открытую окрестность точки $b$ (не пересекающуюся с множеством $X$), а другой в непустую внутренность множества $X$. Такое отображение может быть непрерывным. Я только вместо отрезка (связного множества) взял два непересекающихся отрезка (связности нет). И граничных точек у образа в подпространстве образа тоже нет. Смотрите моё доказательство на предыдущей странице. (Определение пути, конечно, нарушено).

ewert в сообщении #220268 писал(а):

Я вот постоянно путаюсь в терминологии: включать ли изолированные точки в число предельных или нет. Вроде и то, и другое встречается. Если включать, то всё просто: искомая точка границы -- это просто образ супремума прообраза (при условии, что левым концом отрезка считается прообраз внутренней точки).

Замыкание множества в топологическом пространстве имеет два различных разбиения с одной стороны на внутренние и граничные точки, а с другой на предельные и изолированные точки. Причём, и изолированная точка, и предельная точка могут быть как внутренней, так и граничной.

ewert в сообщении #220274 писал(а):

Я знаю. Но тогда не проходит достаточно распространённое (и естественное) высказывание: "граничными являются предельные, но не внутренние точки".

Точка топологического пространства называется граничной точкой множества М, если каждая ее открытая окрестность содержит как точки данного множества М, так и точки его дополнения CM.
Точка множества М называется его внутренней точкой, если она входит в него с какой-либо своей открытой окрестностью.
Точка топологического пространства называется предельной точкой множества М, если каждая ее открытая окрестность содержит отличные от данной точки точки данного множества М.
Точка топологического пространства называется изолированной точкой множества М, если существует ее открытая окрестность, пересекающаяся с множества М только по этой точке.
Поэтому изолированная точка может быть как внутренней (если она открыта как множество) так и граничной, и предельная точка может быть как внутренней, так и граничной.

terminator-II в сообщении #220289 писал(а):

а вот предположение о "внешности" точки $b$ излишне

Если точка $b$ граничная для множества $X$, то нечего доказывать.
Если точка $b$ внутренняя для множества $X$, то это мало интересно.

[terminator-II]

Виктор Викторов в сообщении #220325 писал(а):

terminator-II в сообщении #220266 wrote:
в частности открытозамкнутые множества границы не имеют

Вот именно поэтому доказательство докладчика не проходит. Доказательство должно основываться на связности отрезка.

доказательство проходит, я привожу его ниже. если найдете ошибки в нем -- скажите.
(далее я пользуюсь немного другими обозначениями)
что касается связности отрезка. дело в том, что открытозамкнутыми множестваи являются компоненты связности топологического пространства и только они. границ не имеют открытозамкнутые множества и только они.
вывод: образ отрезка (как связное множество) может лежать только в одной из компонент связности топ. пространства назовем эту компоненту $X$. при этом раз в ней имеется подмножество $M$, которое с ней не совпадает, то поневоле $M$ имеет границу.

таким образом связность отрезка играет в этой задаче очень опосредованную роль: если бы множество $M$ не имело границы то отображения отрезка с указанными свойствами в топологическое пространство просто не существовало бы.
______________________________________________________
итак.
$X$ -- топологическое пространство, $M$ -- его подмножество.
пусть $f:[a,b]\to X$ -- непрерывная кривая, и $f(a)\in{\rm Int}\, M$ и $f(b)\notin {\rm Int}\, M$.
возьмем точку $c=\sup\{u\mid [a,u)\subset f^{-1} ({\rm Int}\, M)\}$.
Утв. $f(c)\in \partial M$.
Док-во.
1) покажем, что $f(c)\notin{\rm Int}\, M$. действительно, если бы $f(c)\in{\rm Int}\, M$ то $f(U(c))\subset{\rm Int}\, M$ где $U(c)$ -- достаточно малая окрестность точки $c$. в силу определения $c$ такое возможно только если $c=b$ и $U(c)=(b-\varepsilon, b]$. но это противоречит тому, что $f(b)\notin{\rm Int}\, M$.
2) это фактически уже было доказано топикстартером: любая окрестность точки $f(c)$ содержит точки точки из ${\rm Int}\, M$. следовательно $f(c)\in \overline M$. чтд

-- Sun Jun 07, 2009 17:37:41 --

Виктор Викторов в сообщении #220325 писал(а):

Если точка $b$ граничная для множества $X$, то нечего доказывать.
Если точка $b$ внутренняя для множества $X$, то это мало интересно.

еще бывают предельные точки, для них Ваше доказательство не проходит

[Виктор Викторов]

terminator-II в сообщении #220349 писал(а):

вывод: образ отрезка (как связное множество) может лежать только в одной из компонент связности топ. пространства

Именно на этом и базируется моё доказательство. Непрерывный образ отрезка связен. Поэтому при наличии внешней точки и внутренней точки множества $X$ в этом образе в нем должна быть и граничная точка $X$. Пожалуйста, укажите ошибку в этом тексте и в доказательстве на предыдущей странице. (Если ошибки есть, конечно).

terminator-II в сообщении #220349 писал(а):

назовем эту компоненту $X$. при этом раз в ней имеется подмножество $M$, которое с ней не совпадает, то поневоле $M$ имеет границу.

А зачем далеко бегать? Возьмем мой пример. Непустое открытое множество $W$ в $R^m$ и его внешняя точка $b$. Пусть $L$ наибольшая не пересекающаяся с $ W $ открытая окрестность точки $b$ (такая существует как объединение всех таких открытых окрестностей не пересекающихся с $W$). Рассмотрим объединение $ W $ и $L$ как подпространство. Как видите, множество $W$ в подпространстве не имеет границы (точнее она пуста) и отображение отрезка на это подпространство существует. Все в порядке. Но это подпространство несвязно и отображение не непрерывное. Именно связность играет в этой истории (и в определении пути) главную роль.

terminator-II в сообщении #220349 писал(а):

таким образом связность отрезка играет в этой задаче очень опосредованную роль: если бы множество $M$ не имело границы то отображения отрезка с указанными свойствами в топологическое пространство просто не существовало бы.

Уточните, пожалуйста, с какими свойствами? Именно связность играет в этой истории (и в определении пути) главную роль.

terminator-II в сообщении #220349 писал(а):

итак.
$X$ -- топологическое пространство, $M$ -- его подмножество.
пусть $f:[a,b]\to X$ -- непрерывная кривая, и $f(a)\in{\rm Int}\, M$ и $f(b)\notin {\rm Int}\, M$.
возьмем точку $c=\sup\{u\mid [a,u)\subset f^{-1} ({\rm Int}\, M)\}$.
Утв. $f(c)\in \partial M$.
Док-во.
1) покажем, что $f(c)\notin{\rm Int}\, M$. действительно, если бы $f(c)\in{\rm Int}\, M$ то $f(U(c))\subset{\rm Int}\, M$ где $U(c)$ -- достаточно малая окрестность точки $c$. в силу определения $c$ такое возможно только если $c=b$ и $U(c)=(b-\varepsilon, b]$. но это противоречит тому, что $f(b)\notin{\rm Int}\, M$.
2) это фактически уже было доказано топикпастером: любая окрестность точки $f(c)$ содержит точки точки из ${\rm Int}\, M$. следовательно $f(c)\in \overline M$. чтд

У Вас проблема с условием. Вы ограничились непрерывными отображениями в которых $f(b)\notin {\rm Int}\, M$.

terminator-II в сообщении #220349 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #220325 писал(а):

Если точка $b$ граничная для множества $X$, то нечего доказывать.
Если точка $b$ внутренняя для множества $X$, то это мало интересно.

еще бывают предельные точки, для них Ваше доказательство не проходит

Нет. Каждая предельная точка внутренняя или граничная.