Как доказать что путь пересекает границу множества?

[ewert]

ну накрути-или, ребята.

[terminator-II]

Виктор Викторов в сообщении #220398 писал(а):

У Вас проблема с условием. Вы ограничились непрерывными отображениями в которых $f(b)\notin {\rm Int}\, M$.

это странно, во первых так написано в условии, во вторых если оба конца кривой лежат в $ {\rm Int}\, M$ то и вся кривая может там лежать и никакого пересечения границы вообще не будет

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #220404 писал(а):

ну накрути-или, ребята.

Вы ждёте комментария?

[terminator-II]

ewert в сообщении #220404 писал(а):

ну накрути-или, ребята.

Вы правы, я лично этот педвуз заканчиваю

[Виктор Викторов]

terminator-II в сообщении #220408 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #220398 писал(а):

У Вас проблема с условием. Вы ограничились непрерывными отображениями в которых $f(b)\notin {\rm Int}\, M$.

это странно, во первых так написано в условии, во вторых если оба конца кривой лежат в $ {\rm Int}\, M$ то и вся кривая может там лежать и никакого пересечения границы вообще не будет

Как написано в условии? Мы начинали с того, что одна из точек внешняя. Если одна из точек граничная, то нечего доказывать. А если обе точки внутренние, то, грубо говоря, кривая может коснуться какой-то своей точкой границы (если граница непуста). Но, конечно, если оба конца кривой лежат в $ {\rm Int}\, M$, то и вся кривая может там лежать и никакого пересечения границы вообще не будет. Просто не каждое непрерывное отображение отрезка в случае внутренней точки пересекается с границей. А вот в случае внешней и граничной каждое.

-- Вс июн 07, 2009 20:51:01 --

terminator-II в сообщении #220349 писал(а):

$X$ -- топологическое пространство, $M$ -- его подмножество.
пусть $f:[a,b]\to X$ -- непрерывная кривая, и $f(a)\in{\rm Int}\, M$ и $f(b)\notin {\rm Int}\, M$.
возьмем точку $c=\sup\{u\mid [a,u)\subset f^{-1} ({\rm Int}\, M)\}$.
Утв. $f(c)\in \partial M$.
Док-во.
1) покажем, что $f(c)\notin{\rm Int}\, M$. действительно, если бы $f(c)\in{\rm Int}\, M$ то $f(U(c))\subset{\rm Int}\, M$ где $U(c)$ -- достаточно малая окрестность точки $c$. в силу определения $c$ такое возможно только если $c=b$ и $U(c)=(b-\varepsilon, b]$. но это противоречит тому, что $f(b)\notin{\rm Int}\, M$.
2) это фактически уже было доказано топикстартером: любая окрестность точки $f(c)$ содержит точки точки из ${\rm Int}\, M$. следовательно $f(c)\in \overline M$. чтд

Я вернулся к этому утверждению ещё раз, и понял в чём основная неувязка. Вы рассматриваете непустое собственное подмножество топологического пространства и требуете, чтобы существовало непрерывное отображение отрезка, содержащее точки $f(a)$ и $f(b)$. Но непрерывный образ отрезка связен (и граница $M$ непустая) и поэтому Ваше доказательство проходит. Моё же доказательство прямо использует связность, а докладчик вообще не обосновывает граничность точки $c$, а доказательство существование этой точки и есть, то, что мы доказываем. Дальше-то просто. Теперь если $f(b)\notin {\rm Int}\, M$, то она либо граничная для $M$ (тогда нечего доказывать), либо внешняя (тогда мы вернулись к условиям докладчика).

[inf76]

Виктор Викторов в сообщении #220210 писал(а):

Пусть I отрезок числовой прямой и пусть он и есть область определения непрерывного отображения f в подмножество $R^m$, содержащее точки $a$ и $b$. Тогда это подмножество связное подпространство пространства $R^m$, как образ связного пространства (отрезка) при непрерывном отображении. Рассмотрим в этом подпространстве все открытые окрестности точки $b$, не содержащие точек из множества $X$. Объединение всех этих открытых окрестностей опять открытая окрестность точки $b$, не содержащая точек из множества $X$. А её дополнение до подпространства не открытое (иначе нарушается связность) и не пустое множество, содержащее по крайней мере точку $a$. Но точка $a$ внутренняя и в подпространстве для того, что осталось в нем от $X$. То есть у множества «остатков» $X$ имеется, по крайней мере, одна граничная точка $X$ (она же граничная точка $X$ в $R^m$) и она не совпадает с точкой $a$. Конец.

Но ведь граничные точки множества, рассмотренные относительно подпространства могу уже не быть граничными. Не опровергает ли это Ваше доказательство?

[Виктор Викторов]

Вы правы. Конечно, какие-то граничные точки могут стать внутренними в подпространстве, но хотя бы одна точка останется граничной, так как в противном случае непрерывной образ отрезка будет не связен.

terminator-II в сообщении #220412 писал(а):

ewert в сообщении #220404 писал(а):

ну накрути-или, ребята.

Вы правы, я лично этот педвуз заканчиваю

Вот уточненная, более общая формулировка и доказательство:

Пусть дано непустое множество $X$ и внешняя для него точка $b$ топологического пространства $T$. Тогда, если существует непрерывное отображение отрезка числовой прямой $I$ в $T$ такое, что его образ $f(I)$ содержит точку $b$ и имеет непустое пересечение с множеством $X$, то граница $X$ не пуста и тоже пересекается с $f(I)$.

Доказательство: Рассмотрим $f(I)$ как подпространство. Обозначим непустое пересечение $f(I)$ с множеством $X$ как $D$. Теперь, рассмотрим стандартное разбиение подпространства $f(I)$ на внешность множества $D $, внутренность $D$ и границу $D$. Внешность $D$ непустое открытое множество (оно содержит, по крайней мере, точку $b$). Объединение внутренности $D$ и границы $D$ (т. е. замыкание множества $D$ в подпространстве $f(I)$) тоже не пусто (множество $D$ подмножество этого объединения).
Если граница множества $D$ не пуста, то всё доказано.
Если же граница $D$ пустое множество, то не пуста внутренность $D$. В этом случае подпространство $f(I)$ разбито на два непустых непересекающихся открытых подмножества и, следовательно, несвязно. Но это невозможно, так как $f(I)$ непрерывный образ связного множества (отрезка) и, следовательно, связен. Противоречие. Следовательно, граница множества $D$ не пуста. И cледовательно, граница множества $X$ не пуста и тоже пересекается с $f(I)$.

ewert в сообщении #220274 писал(а):

Я знаю. Но тогда не проходит достаточно распространённое (и естественное) высказывание: "граничными являются предельные, но не внутренние точки".

Граничные точки могут быть и изолированными точками. (Множество на плоскости состоящее из круга и точки вне него. Эта точка одновременно изолированная и граничная). Внутренняя точка не является предельной только, если она как множество открыта. Каждая внутренняя точка круга в предыдущем примере предельная.