Как доказать что путь пересекает границу множества?

[ellipse]

Пусть $a$ - внутренняя точка и $b$ - внешняя точка множества $X \subset R^m$. Как доказать, что путь соединяющий эти точки пересекает границу множества $X$? Под путем понимается любое непрерывное отображение отрезка $[x;y]$ в $R^m$

[ewert]

Задайте любое такое отображение. Рассмотрите множество всех точек отрезка, являющихся прообразами элементов исходного множества. Возьмите любую граничную точку построенного множества, не совпадающую с концом отрезка. Докажите, что её образ является граничным для исходного множества.

[ellipse]

пусть: $c$ - граничная точка прообраза $X$, $x:=f(c)$.

так как $f$ непрерывная, то прообраз любой окресности $V(x)$ - также является открытым и кроме того $f(U(c)) \subset V(x)$.

так как $c$ - граничная точка, то в любой ее окресности есть точки, образы которых как принадлежат $X$ и есть точки, образы которых не принадлежат $X$. Но $f(U(c)) \subset V(x)$, поэтому и $V(x)$ содержит точки принадлежащие и не принадлежащие $X$.

Правильно?

[ewert]

Я бы сказал проще. Т.к. $c$ граничная для прообраза, найдётся последовательность $c_n^+\to c$ точек, принадлежащих прообразу и последовательность $c_n^-\to c$ точек, не принадлежащих прообразу. Но тогда по непрерывности $f(c_n^+)\to f(c)$ и $f(c_n^-)\to f(c)$, а это и означает, что точка $x=f(c)$ является граничной для исходного множества, вот и всё.

[Виктор Викторов]

ellipse в сообщении #219968 писал(а):

Пусть $a$ - внутренняя точка и $b$ - внешняя точка множества $X \subset R^m$. Как доказать, что путь соединяющий эти точки пересекает границу множества $X$? Под путем понимается любое непрерывное отображение отрезка $[x;y]$ в $R^m$

Меня продолжает удивлять, как Вы используете русский язык. Ваше доказательство показывает, что Вы понимаете суть дела (оно мне и нравится больше чем доказательство ewert), но что Вы написали в задании?
«…путь соединяющий эти точки пересекает границу множества». В этой фразе отображение должно иметь общие точки с множеством $X$. Вы хотели сказать: как доказать, что если образ пути содержит внутреннюю и внешнюю точки множества $X \subset R^m$, то этот же образ содержит и хотя бы одну граничную точку $X $.

[vlad239]

Путь это непрерывный образ отрезка. А вовсе не отображение. Отображение - это параметризация пути.

Влад.

[Виктор Викторов]

Согласно Зоричу путь это отображение (см. 492 1-го тома по четвертому изданию 2002 года).

[vlad239]

Это проблемы Зорича. Он использует термин "носитель пути" для обозначения образа параметризации, но при этом началом и концом пути называет точки пространства, а не концы отрезка, что было бы логично, хоть и бессмысленно. Называл бы уж тогда началом носителя.

Влад.

[Виктор Викторов]

Я просмотрел некоторые сообщения ellipse. У него всё по Зоричу. Разговаривая с ellipse без Зорича ни шагу.

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #220082 писал(а):

Согласно Зоричу путь это отображение (см. 492 1-го тома по четвертому изданию 2002 года).

И не только по Зоричу, даже и не смотря на его 492-й том, а просто по правилам русского языка: путь -- это параметризация (точнее, некий класс эквивалентности параметризаций), образ же любой из этих параметризаций -- это просто кривая.

Тут другой вопрос интересен: а что такое граничная точка? включать ли в их число возможные изолированные или нет?... Тут терминология плавает. Впрочем, в данной задаче ответ от этого не зависит.

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #220114 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #220082 писал(а):

Согласно Зоричу путь это отображение (см. 492 1-го тома по четвертому изданию 2002 года).

И не только по Зоричу, даже и не смотря на его 492-й том, а просто по правилам русского языка: путь -- это параметризация (точнее, некий класс эквивалентности параметризаций), образ же любой из этих параметризаций -- это просто кривая.

Я с Вами согласен. И русский язык здесь, конечно, подсказывает, что путь непрерывный образ отрезка.
Но, по Зоричу «путь … есть непрерывное отображение», и наш уважаемый ellipse написал «Под путем понимается любое непрерывное отображение». Так, что у него получается пересечение множества с отображением.

ewert в сообщении #220114 писал(а):

Тут другой вопрос интересен: а что такое граничная точка? включать ли в их число возможные изолированные или нет?... Тут терминология плавает. Впрочем, в данной задаче ответ от этого не зависит.

Не понял, что Вас здесь смущает. По определению в топологическом пространстве точка называется граничной точкой множества М, если каждая ее открытая окрестность содержит как точки данного множества М, так и точки его дополнения CM.
Поскольку в $R^m$ точка не может быть открытым множеством, то одноточечное множество у которого существует открытая окрестность, которая пересекается с данным множеством только по этой точке дает нам право считать изолированную точку граничной. Мне понравилось доказательство ellipse. Это классическое топологическое доказательство годящееся в любом топологическом пространстве.

[terminator-II]

мне кажется, что в приведенном доказательстве не достаточно внятно было сказано , как именно и спользуется факт того, что один из концов непрерывной кривой принадлежит ВНУТРЕННОСТИ множества

[ewert]

terminator-II в сообщении #220158 писал(а):

мне кажется, что в приведенном доказательстве не достаточно внятно было сказано , как именно и спользуется факт того, что один из концов непрерывной кривой принадлежит ВНУТРЕННОСТИ множества

это правда, этот момент опущен, но он и банален

[terminator-II]

тут все банально, в таких задачах главное аккуратность

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #220159 писал(а):

terminator-II в сообщении #220158 писал(а):

мне кажется, что в приведенном доказательстве не достаточно внятно было сказано , как именно используется факт того, что один из концов непрерывной кривой принадлежит ВНУТРЕННОСТИ множества

это правда, этот момент опущен, но он и банален

terminator-II в сообщении #220163 писал(а):

тут все банально, в таких задачах главное аккуратность

Посмотрел я на Ваши замечания и понял, что существование граничной точки полного прообраза $X$ не вполне обосновано. И пришла мне в голову идея совсем другого доказательства. Вот оно.
Пусть I отрезок числовой прямой и пусть он и есть область определения непрерывного отображения f в подмножество $R^m$, содержащее точки $a$ и $b$. Тогда это подмножество связное подпространство пространства $R^m$, как образ связного пространства (отрезка) при непрерывном отображении. Рассмотрим в этом подпространстве все открытые окрестности точки $b$, не содержащие точек из множества $X$. Объединение всех этих открытых окрестностей опять открытая окрестность точки $b$, не содержащая точек из множества $X$. А её дополнение до подпространства не открытое (иначе нарушается связность) и не пустое множество, содержащее по крайней мере точку $a$. Но точка $a$ внутренняя и в подпространстве для того, что осталось в нем от $X$. То есть у множества «остатков» $X$ имеется, по крайней мере, одна граничная точка $X$ (она же граничная точка $X$ в $R^m$) и она не совпадает с точкой $a$. Конец. Проверьте, пожалуйста, если вру, то бейте беспощадно.