Наибольшее произведение

[nikov]

Определим функцию $f$ на положительных действительных числах так: $f(x)$ - наибольшее число, которое можно получить, представив $x$ в виде суммы одного или нескольких положительных слагаемых, и перемножения этих слагаемых. Можно ли описать эту функцию какой-то формулой? Как будет выглядеть ее график?

[Xaositect]

Если число слагаемых $k$ фиксировано, то максимум достигается, если все слагаемые одинаковы, и равен $\dfrac{x^k}{k^k}$. Нужно выбрать максимум из всех таких выражений.
$\dfrac{x^{k+1}}{(k+1)^{k+1}}/ \dfrac{x^k}{k^k} = x\dfrac{k^k}{(k+1)^{k+1}}$
$\dfrac{k^k}{(k+1)^{k+1}}$ убывает. Значит, надо найти минимальное $k$ такое, что $\dfrac{k^k}{(k+1)^{k+1}} < \dfrac{1}{x}$

[Бодигрим]

Если я не ошибаюсь, можно просто находить аналитически максимум $x^k/k^k$ при $k\in\mathbb{R}$, а затем выбирать два ближайших целых приближения к полученному $k$ и смотреть, какое из них оптимальнее.

Кроме того

$$ {1\over e(k+1)} \le {1\over k+1}\left(1+{1\over k}\right)^{-k}=\dfrac{k^k}{(k+1)^{k+1}}= {1\over k}\left(1-{1\over k+1}\right)^{k+1} < {1\over ek} $$

[nn910]

Можно ли описать эту функцию какой-то формулой? Как будет выглядеть ее график?
Элементарной-нет. Эквивалентна показательной функции. А оптимальные слагаемые все будут тройками и двойками (не к сессии будь помянуты) как исключение 1 четверка, но никаких пятерок. Вам это никого не напоминает? Тогда мы идем к вам...

[Бодигрим]

nn910 в сообщении #219827 писал(а):

Можно ли описать эту функцию какой-то формулой?

Ну да. Например, $f(x)=\max_{k\in\mathbb{N}} (x/k)^k$. Чтобы было конструктивнее, можно разобраться, при каких именно $k$ может достигаться максимум - см. выше наши с Xaositect сообщения.

nn910 в сообщении #219827 писал(а):

Как будет выглядеть ее график?

Он будет осциллирующе приближаться снизу к графику $e^{x/e}$.

[nn910]

Бодигрим в сообщении #219831 писал(а):

nn910 в сообщении #219827 писал(а):

Можно ли описать эту функцию какой-то формулой?

Ну да. Например, $f(x)=\max_{k\in\mathbb{N}} (x/k)^k$. Чтобы было конструктивнее, можно разобраться, при каких именно $k$ может достигаться максимум - см. выше наши с Xaositect сообщения.

nn910 в сообщении #219827 писал(а):

Как будет выглядеть ее график?

Он будет осциллирующе приближаться снизу к графику $e^{x/e}$.

Это не я это цитата. Вообще Вам спасибо за формулу из 1-го сообщения похожую на е.Отсюда каждое слагаемое должно быть близко к е те 2 или 3. И вообще f=$3^k$ при х=3к, итд

[temp01]

Xaositect
Бодигрим
Интересное вы нашли решение. Признаюсь я пришел к тому же выводу, но другим способом.

Xaositect в сообщении #219807 писал(а):

Если число слагаемых $k$ фиксировано, то максимум достигается, если все слагаемые одинаковы, и равен $\dfrac{x^k}{k^k}$.

Согласен.
Но и не только если фиксировано, а вообще в любом случае!
Пусть $k$ - число слагаемых, на которые всеми возможными способами можно разделить число $x$. Таких способов - бесконечное множество, т.к. число $k$ - может быть иррациональным.
К сожалению современной математике неизвестно, каким образом можно разделить число на нецелое количество слагаемых, скажем, на $\dfrac57$ слагаемых или $\sqrt{31}$ слагаемых. Это задача будущей науки.
Но уже даже в рамках данной задачи это возможно, т.к. если $k$ - число слагаемых, то каждое слагаемое есть не что иное как $\dfrac{x}{k}$. Тогда искомое значение $f(x)=\left(\dfrac{x}{k}\right)^k$. Причем никаких ограничений ни на $x$, ни на $k$ нет.
Теперь нам необходимо найти из всех такое $k$, что $f(x)\to max$.
Очевидно, что функция достигнет максимума, когда ее производная равна 0. Но прежде, чем переходить к производной, необходимо разобраться, а что собственно нам необходимо дифференцировать? Очевидно, что каким бы ни было число $x$, разбитие его на $k$ слагаемых будеи всегда описываться функцией $f(x)$, поэтому можно считать, что $x$ - фиксировано или константа. А $k$ - дифференцируемая переменная.
Тогда перепишем нашу функцию в более понятном виде:
$f(x)=\left(\dfrac{x}{k}\right)^k=\left(\dfrac{A}{x}\right)^x$,
где $A$ - начальное число $x$, а $x$ - дифференцируемая переменная $k$.
Теперь можно переходить к производным:
$f'(x)=\left(\dfrac{A}{x}\right)^x'=\left(\dfrac{A}{x}\right)^x\left(ln\left(\dfrac{A}{x}\right)-1\right)$.
Приравняем производную к нулю:
$f'(x)=0$, когда $ln\left(\dfrac{A}{x}\right)-1\right=0$. Или
$\dfrac{A}{x}=e$.
Переходя к старым переменным:
$\dfrac{x}{k}=e$.
Откуда функция будет максимальной, если каждое слагаемое будет равно $e$, вне зависимости от $x$.
Ввиду того, что у числа не может быть $\dfrac{x}{e}$ слагаемых, то ближайшее целое число к $e$ - это $3$. Таким образом, искомая функция:
$f(x)=e^{\left(\dfrac{x}{e}\right)}$ - в общем абстрактном случае или
$f(x)=3^{\left(\dfrac{x}{3}\right)}$ - для целого числа слагаемых.

-- Пт июн 05, 2009 22:32:36 --

Для любого целого $x$ таких функций будет три:
$f(x)=3^{x/3}$ - для целых $x=3k$
$f(x)=2\cdot 3^{x/3}$ - для целых $x=3k-1$
$f(x)=4\cdot 3^{(x-4)/3}$ - для целых $x=3k+1$

Prorab:

клон заблокированного пользователя МАТ

[Бодигрим]

temp01 в сообщении #219912 писал(а):

Переходя к старым переменным:
$\dfrac{x}{k}=e$.
Откуда функция будет максимальной, если каждое слагаемое будет равно $e$, вне зависимости от $x$.
Ввиду того, что у числа не может быть $\dfrac{x}{e}$ слагаемых, то ближайшее целое число к $e$ - это $3$. Таким образом, искомая функция:
$f(x)=e^{\left(\dfrac{x}{e}\right)}$ - в общем абстрактном случае или
$f(x)=3^{\left(\dfrac{x}{3}\right)}$ - для целого числа слагаемых.

Тут ошибка, разумеется. Если $k$ - ближайшее целое к $x/e$, то неверно полагать, что $k$ - ближайшее целое к $x/3$. Контрпример - $x=22$, $x/e=8,09$, $x/3=7,33$.

[nn910]

Цитата:

temp01 в сообщении #219912 писал(а):

- ... для целого числа слагаемых.

Бодигрим, это у него опечатка. Для целого х и целого числа целых слагаемых.Я тоже этот ответ давно привел. Дана одна задача, решили две. Разве плохо?