Заряженная жидкость на линейке.

[Зиновий]

Mopnex писал(а):

Хорошо, хорошо, не в кассу. Но тем не мение, и в одномерном случае задача вполне подлежит формулировке, и не страдает от отсутствия понятия понятия площади.

А я и не возражал против этого.
Но из этих факторов получается, как следствие, плотное (однородное) распределение зарядов в двух крайних группах, и произвольное положение нечетного заряда в свободном пространстве между группами, вплоть до примыкания нечетного заряда к одной из крайних групп.
Другое дело, что, в силу бесконечного значения напряженности электрического поля по всему пространству, кроме пространства между крайними группами (где поле, в отсутствии нечетного заряда, равно нулю), применение понятий "потенциал" и "энергия поля", в этой задаче, невозможно.
Именно в этом и заключается ее "нефизичность".

[Аурелиано Буэндиа]

ИСН писал(а):

Потенциал задаётся как функция от расстояния между точками. Если потенциал такой, как я сказал, то и будет то, что я сказал. Теперь извольте пояснить: где бред?

Объясните, пожалуйста, почему последний (нечетный) заряд-точка должен лечь случайно? Тогда и поясню, если сами не догадаетесь.

[Аурелиано Буэндиа]

незванный гость писал(а):

4) Можно оценить минимальное расстояние между шариками в зависимости от количества оных (например, сравнив энергию наиболее близко рассположенных с энергией всех равноотстоящих друг от друга, имеем $\rho > \approx \frac{a}{n^2 \ln n}$).

А у меня получилось строго $r_{min}>\frac{2a}{n^2}$

незванный гость писал(а):

У меня осталась пара-тройка вопросов:

1) Ну хорошо, для двух, трех, или четырех шариков можно указать явные координаты ответа. А в какой форме подразумевается ответ для миллиона шариков?

2) Аурелиано Буэндиа писал "дальше математика". Подразумевается ли здесь, что считать эту математику неинтересно, или же она все-таки пройдена? Если да, то какой же ответ? Если нет, в решение ли это (я не оспариваю истинность выражения для потенциала, просто не вижу перехода от него к ответу)?

Я потом изложу свой подход подробно и свою точку зрения на предельный переход.

незванный гость писал(а):

3) Следует ли откуда-либо единственность минимума потенциала? Предполагая положительный ответ, хочется задать следующий вопрос -- о стабильности распределения зарядов (например, мы имеем миллион зарядов, и разбиваем линейку на тысячу участков, после чего считаем количество зарядов в каждом отрезке -- линейка все-таки. Получаем распределение. Добавляем еще один заряд -- миллион первый. Получаем второе распределение. Если у нас хотя бы надежда, что эти два распределения будут близки?)

Это слишком сложные вопросы. Можно доказать что существует хотябы один минимум. На самом деле я доказал несколько интересных утверждений о характере расположения точечных зарядов. Например, могу с уверенностью сказать, что при $n\to \infty$ расстояние (при фиксированном $a$) между соседними зарядами $r_i=|x_i-x_{i+1}|$ стремится к нулю. Причем $r_{i} \lesssim \frac{a}{(2n)^{1/3}}$

[незваный гость]

2 Аурелиано Буэндиа:
Простите за некоторуя язвительность, но я хочу хоть раз увидеть Ваши выкладки. Вы неоднократно обещали их в этой теме, и в других (по крайней мере, в еще одной теме). Написать некоторую формулу

Аурелиано Буэндиа писал(а):

строго $r_{min}>\frac{2a}{n^2}$

легко. Продемострируйте, пожалуйста, как Вы ее получили. Иначе это трудно воспринять, кроме как свист. Заметьте, что давая свою оценку, я дал и метод ее получения.

Аурелиано Буэндиа писал(а):

незванный гость писал(а):

У меня осталась пара-тройка вопросов:
2) ... (я не оспариваю истинность выражения для потенциала, просто не вижу перехода от него к ответу)?

Я потом изложу свой подход подробно и свою точку зрения на предельный переход.

Какой предельный переход? Я писал о переходе от выражения для потенциала к ответу в любой форме. Для конечного $n$.

Аурелиано Буэндиа писал(а):

незванный гость писал(а):

3) Следует ли откуда-либо единственность минимума потенциала?...

Это слишком сложные вопросы. Можно доказать что существует хотябы один минимум. На самом деле я доказал несколько интересных утверждений о характере расположения точечных зарядов. Например, могу с уверенностью сказать, что при $n\to \infty$ расстояние между соседними зарядами $r_i=|x_i-x_{i+1}|$ стремится к нулю.

Сказать, что существование хотя бы одного минимума тривиально -- ничего не сказать. Не менне тривиально утверждение, что расстояние между соседними зарядами стремиться к нулю. А Ваша оценка мне представляется странноватой. У меня сложилось впечатление, что с ростом $n$ распределение зарядов все меньше отличается от равномерного (Что делает оценку несомненно истинной, но как-то малоинтересной. Поскольку мало что говорит о распредеелнии.). Но тут я могу быть не прав.

[незваный гость]

Некоторые результаты численных эксперименов:

Отдельные точки -- нормированное отклонение шариков от равномерного распределения (n = 50, n = 100, n = 200): по оси абцис -- $x = \frac{2 k -(n+1)} {n-1}$, по оси ординат -- $ y = n^{1/5} (x[k]-\frac{2 k -(n+1)} {n-1} )$. Непрерывные циан ($\lambda = 0.6$) и маджента ($\lambda = 0.5$) дают аппроксимацию этих линий в виде $\frac{x (1-x^2)^\lambda}{5}$.
А это -- нормированное расстояние между точками, точнее, его отклонение от среднего для тех же $n$, в тех же абцисах:

($\delta = n (r_i - \frac{2}{n-1}$). Общее впечатление -- $\frac{3 n}{2} < r_i < \frac{9}{4 n}$.

[Аурелиано Буэндиа]

незванный гость писал(а):

Простите за некоторуя язвительность, но я хочу хоть раз увидеть Ваши Выкладки. Вы неоднократно обещали их в этой теме, и в других (по крайней мере, в еще одной теме). Продемострируйте, пожалуйста, как Вы ее получили. Иначе это трудно воспринять, кроме как свист. Заметьте, что давая свою оценку, я дал и метод ее получения.

Продемонстрирую, только сразу скажу что там опечатка там третья степень. Да можно например так. Рассмотрим систему из $n$ точечных зарядов в точках $x_k\in [-a,a]$
У т в е р ж д е н и е 1:
Полная энергия в состоянии равновесия положительна и ограничена сверху и снизу.
Доказательство:
тривиально.

С л е д с т в и е:
Т.к. энергрия ограничена сверху, то существует минимальное расстояние $r_m$ между зарядами и справедлива оценка $r_{m}>\frac{a}{n(n-1)(\ln\frac{1}{2}(n-1)+1)}$
Доказательство:
Перевая часть тривиальна. Теперь рассморим $n$ (нечетное, для определенности) неподвижных зарядов расположенных эквидистантно так, что расстояние между ближними зарядами равно $2a/(n-1)$. Такая конфигурация не является равновесной (это тривиально), поэтому равновесная энергия

$$ E<\sum_{ik}\frac{q^2}{|x_i-x_k|}< 2n\sum_{i=1}^{(n-1)/2}\frac{q^2}{2ai/(n-1)} < \frac{n(n-1)q^2}{a} (\ln\frac{(n-1)}{2}+1) $$

теперь подключаем другое неравенство $ \frac{q^2}{r_m}< E$, которое следует из утверждения 1. Находим, что
$\frac{q^2}{r_m}< \frac{n(n-1)q^2}{a} (\ln\frac{(n-1)}{2}+1) $
отсюда
$r_{m}$ строго больше $\frac{a}{n(n-1)(\ln\frac{1}{2}(n-1)+1)}$$

Устраивает?
Напомните, пожалуйста, в какой еще теме я еще "просто свистел"? Стало очень интересно.

Незванный гость писал(а):

Какой предельный переход? Я писал о переходе от выражения для потенциала к ответу в любой форме. Для конечного $n$.

А.. понимаю. Мне казалось, что это Вам понятно, судя по Вашему способу. Меня больше интересовала проблема предельного перехода, когда число частиц стремится к бесконечности.

Незванный гость писал(а):

Сказать, что существование хотя бы одного минимума тривиально -- ничего не сказать. Не менне тривиально утверждение, что расстояние между соседними зарядами стремиться к нулю. А Ваша оценка мне представляется странноватой. У меня сложилось впечатление, что с ростом $n$ распределение зарядов все меньше отличается от равномерного (Что делает оценку несомненно истинной, но как-то малоинтересной. Поскольку мало что говорит о распредеелнии.). Но тут я могу быть не прав.

Вот теперь пришла моя очередь язвить. Вот возьмите и строго докажите тривиальное утвержднение, что расстояние между любыми соседними зарядами стремиться к нулю при $n\to \infty $. Можно без оценки, но строго! Это конечно не супер сложно, но тем не менее, куча народа в этой теме (Зиновий и др.) считают, что заряды сгрупируются по стенкам...

[Аурелиано Буэндиа]

незванный гость писал(а):

Некоторые результаты численных эксперименов:

Ну теперь понятно почему для вас это было тривиально.

[незваный гость]

Вы не оставляете мне выбора, кроме как обосновывать мои высказывания. Ну что ж, начнем.

Я писал Июн 02, 2006 03:33:36:

Цитата:

4) Можно оценить минимальное расстояние между шариками в зависимости от количества оных (например, сравнив энергию наиболее близко рассположенных с энергией всех равноотстоящих друг от друга, имеем $\rho > \approx \frac{a}{n^2 \ln n}$).

Вы ответили Июн 02, 2006 23:57:06:

Аурелиано Буэндиа писал(а):

А у меня получилось строго $r_{min}>\frac{2a}{n^2}$
...
Я потом изложу свой подход подробно и свою точку зрения на предельный переход.

Я попросил у Вас обоснование. В ответ Вы привели вывод формулы "$r_{m}$ строго больше $\frac{a}{n(n-1)(\ln\frac{1}{2}(n-1)+1)}$". Возникает вопрос -- в чем новы Ваш способ и Ваша формула по сравнению с моим (ну не тем же, что вы называете равноотстоящие узлы эквидистантными, правда?)? Где вывод Вашей, более сильной формулы? Из каких соображений можно ее получить? (Замечу вскользь, что и в выводе Вашем ньюансы имеются... Энергия равноотстоящих зарядов равна $\frac{q^2}{a} \ n(n-1)\sum\limits_{k=2}^{n}\frac1k$. Так что детали Вашей оценки (типа 1/2 в логарифме) только вводят в заблуждение.)

Существование минимума ограниченной снизу функции на компакте мне казалось тривиальным. Стремление к 0 максимума расстояния между зарядами -- тоже, хотя я готов и пересмотреть эту оценку. У меня были кое-какие соображения, но может, мне и не удастся их формализовать на удовлетворяющем меня уровне. Тогда я признаю свою ошибку. Но и Вы до сих пор не изволили поместить свой подход на форуме.

Просто свист -- это кинуть формулу без обоснования (и даже без намека на то, из чего она получена). Если Вы будете настаивать, я готов привести еще по крайней мере один пример. Вам это надо?

Остановлюсь на нашем взаимопонимании. Я в первый раз сталкиваюсь с использованием интегралов для описания потенциала дискретных зарядов. В цитированном же Вами сообщении я рассматривал непрерывный разряд (отчасти именно под впечатлением от Вашего сообщения), на что и получил Вашу же отповедь. В которой Вы обещали свое решение потом. Интересно, почему? Вы пытаетесь помочь Mopnexу решить самому?

И последнее. Я с пользой потратил два часа на численные эксперименты. Я поделился своими результатами со всеми участниками. Но из чего Вы сделали вывод, что я использовал их для мотивации своих предшествующих утверждений, я ума не приложу. Мне казалось, я достаточно ясно объясняю, что есть доказательное утверждение, что гипотеза, а что -- результат эксперимента. Или Вам "теперь понятно" что-то другое?

Я все-таки склонен считать, что общение с целью решения задачи было бы более продуктивным, чем попытки пререканий """ты такая -- ты такой -- ты плохая -- ты плохой""". Публикация обоснований дает возможность заниматься физикой, а не базаром. Если не все участники дискурсии согласны с обоснованием -- это можно обсуждать. Но если обоснования нет -- обсуждать нечего. Можно, конечно, обсуждать эмпирическую формулу, метод ее получения и следствия из нее. Но отдавая себе отчет, что она эмпирическая, а не формально обоснованная.

[Зиновий]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

У т в е р ж д е н и е 1:
Полная энергия в состоянии равновесия положительна и ограничена сверху и снизу.
Доказательство:
тривиально.
...................................................................................................
Это конечно не супер сложно, но тем не менее, куча народа в этой теме (Зиновий и др.) считают, что заряды сгрупируются по стенкам...

Не буду давать оценку причин такой "краткости", но попрошу доказать с указанием действующих сил, а не просто формулой, какими силами обеспечивается ограниченность полной энергии системы при бесконечной энергии электрических зарядов в ней.
Все-таки, речь идет о физике, а не о математике.
А то, опять получится как с формулой Ньютона- Лейбница...
Со своей стороны, коль скоро мои предыдущие обоснования плотной упаковки зарядов, разведенных до краев линейки, для Вас оказались не убедительными, я обязуюсь предоставить дополнительные доводы.

[незваный гость]

Да нет его, этого обоснования ограниченности сверху в сообщении Аурелиано Буэндиа. Из того, что энергия ограничена при равноотстоящих зарядах следует существование положения равновесия с меньшей энергией. Но не следует несуществование положения равновесия с большей энергией. Вот если бы была единственность равновесного состояния. Но нет ее -- и все плохо.

[Зиновий]

незванный гость писал(а):

:evil:
Да нет его, этого обоснования ограниченности сверху в сообщении Аурелиано Буэндиа. Из того, что энергия ограничена при равноотстоящих зарядах следует существование положения равновесия с меньшей энергией. Но не следует несуществование положения равновесия с большей энергией. Вот если бы была единственность равновесного состояния. Но нет ее -- и все плохо.

Равновесность системы обеспечивается силой упоров на краях линейки.
Отсюда, устойчивое состояние реализуется, исключительно, при непосредственном касании зарядов в группах, что и обеспечивает передачу уравновешивающей силы от заряда к заряду.
Окончательный ответ: расстояние между зарядами в группах, разведенных к краям линейки, равно нулю.
Задача "на сообразительность" 8-го класса общеобразовательной школы...

[незваный гость]

Не извольте гневаться, но прочтите-таки результаты численных экспериментов.

Хотя я начинаю догадываться. Вы решаете задачу совершенно иную, чем я и некоторые другие участники форума. Я рассматриваю отрезок бесконечно тонкой проволоки в трехмерном пространстве, на которой как счеты, нанизаны "точечные" заряды. Вы, по-видимому, считаете само пространство одномерным. У разных задач -- разные ответы, и спорить, какое из условий правильное -- бессмысленно. Можно лишь пытаться объяснить свою трактовку условия и свое решение.

[Зиновий]

незванный гость писал(а):

:evil:
Не извольте гневаться, но прочтите-таки результаты численных экспериментов.

Хотя я начинаю догадываться. Вы решаете задачу совершенно иную, чем я и некоторые другие участники форума. Я рассматриваю отрезок бесконечно тонкой проволоки в трехмерном пространстве, на которой как счеты, нанизаны "точечные" заряды. Вы, по-видимому, считаете само пространство одномерным. У разных задач -- разные ответы, и спорить, какое из условий правильное -- бессмысленно. Можно лишь пытаться объяснить свою трактовку условия и свое решение.

Вы совершенно правы.
Я говорю о предложенном мной решении задачи, данной автором в первом варианте, по которому Аурилеано высказывает несогласие.
Также, поскольку автор не указал массы единичных зарядов, я исключил из рассмотрения динамические процессы.
Что касается распределения привнесенного заряда на бесконечную, тонкую проволоку, то это классическая задача электродинамики и решается соответствующими средствами.
См. электромагнитные явления в длинных линиях.

[Аурелиано Буэндиа]

незванный гость писал(а):

Да нет его, этого обоснования ограниченности сверху в сообщении Аурелиано Буэндиа

Ну что Вы такое говорите?? В утверждении речь идет об одном глобальном минимуме, а он есть и ограничен сверху.

[Шимпанзе]

Вот, пожалуй, практическое применение решения данной задачи: определить распределение линейной плотности заряда бесконечно тонкого янтарного ( или пластмассового) стержня, заряженного путем трения.
Задача все же физическая и мне не понятно, почему её стараются свести к чистой математике. Во-первых, это делает задачу принципиально неразрешимой ( возникает множество граничных эффектов) или, по крайней мере, с неудовлетворительным (или не полным) физическим решением.
Хотя бы то, что заряженная линейка имеет верхний предел энергии, да и вообще конкретную энергию следует из элементарной физической формулы.

W = q^2/2C,
где соответственно суммарный заряд и емкость линейки, которая зависит лишь от геометрической формы и размеров линейки.


Шимпанзе